论数学真理的检验标准，本文主要内容关键词为：真理论文,数学论文,标准论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1.真理是人们认识中同客观事物及其发展规律相符合的内容，所谓认识的真理性，即认识与其对象的一致。因此，检验真理的标准与认识水平及认识对象的状况有关。认识在发展，真理在发展，检验真理的标准也在发展。笔者认为，在科学认识真理性标准问题中，数学的真理性标准有其特殊性，实践和逻辑证明是检验数学知识真理性的两个不可或缺的标准，而在数学发展的不同阶段，数学的真理性标准也有所变化。
2.上古时代，不论是在古埃及、巴比伦，还是在古代中国，数学都是由于历法、生产、贸易等的需要而得到发展，经验性的计算和测量术是数学的主要内容。虽然数学已认识到某种普遍性，但还没有形成严密的体系，它所包含的必然性还没有得到揭示和证明。它在实践中不断被重复，并在生产和生活中起了相当大的作用，从而使其真理性得到检验证实。
3.此后，从古希腊毕达哥拉斯学派开始，数学变得抽象起来，并形成了理论系统，追求知识也成为数学发展的动力之一。但是，直到上一世纪40年代前的2000多年间，数学研究的对象都可用“现实世界的空间形式和数量关系”①来概括。表面看来，这些抽象的东西似乎是“自由创造物和想象物”，“可是情形恰恰相反。自然界对这一切想象的数量都提供了原型。”②如何知道抽象的数学知识是否正确地反映了客观实际呢？最终还是要看数学理论体系能否在实践中被成功地运用。但是，自从希腊人使数学迈出“永远不必回头的”③决定性一步，即把数学纳入严格的演绎证明的轨道，并使数学成为关于“思想事物”的一种抽象的科学之后，数学真理性的标准就同自然科学真理性的标准有所不同。
4.自然科学通常被称为经验科学。一般说来，首先得到的是经验水平的认识，一种知其然而不知其所以然的认识。化学中的定比定律、倍比定律，物理学中的气体三定律，天文学中的行星运动三定律，等等，它们在被提出之初都只是经验性知识。这类知识是通过对大量个别事实的归纳而得到的，没有给出本质根据。但是，作为建立理论前的准备，在自然科学中仍占有重要地位。不言而喻，这类知识是否具有客观真理性，要看它在实践中是否总可以重复。因为既然人皆可以复按，那么就是不依人的意志为转移的。
5.自然科学进一步的发展，是要超越经验水平，达到对对象本质的把握，即理论水平的认识。大自然的猜不透的史芬克斯之谜使得自然科学以假说作为自己的发展形式，而假说的成立与否只有通过实践才能检验。说是详细一些，在自然科学中，经验事实是研究的出发点，人们在对经验材料的归纳、类比中达到关于对象本质的某种洞察，并以此为契机进一步设立假说。但假说在提出时毕竟还是一种猜测，其真理性还没有得到证明。社会实践是一个试金石。如果人们依据假说确实能造成现象间的一定顺序，如果假说预测的现象在观察、实验乃至生产中被证实，那以，这就证明了假说内容的普遍性和必然性。正如恩格斯在谈到哥白尼的日心说时所讲的，“当勒维烈从这个太阳系学说所提供的数据，不仅推算出一定还存在一个尚未知道的行星，而且还推算出这个行星在太空中的位置的时候，当后来加勒确实发现了这个行星的时候，哥白尼的学说就被证实了。”④
6.自然科学中对立假说的发展，进一步说明了实践是检验自然科学真理性的标准。定域决定论的隐变量理论与量子力学的统计因果描述是两个互相对立的假说，谁是谁非，不能依据假说本身来判定。由于多种实验结果，违背了根据隐变量理论所逻辑地推出的贝尔不等式，而与量子力学相符，这就否定了隐变量的设想，而证实了量子力学的正确性。又如，关于光的本性的“微粒说”和“波动说”在经典光学理论中争论由来以久，但是由于现代物理中关于光的波模型和光量子模型，已经在各自的条件下得到广泛的证实，人们就只有改变传统的观念，接受波粒二象性作为光的固有性质。
7.与零散的经验性知识揖别之后的数学，则要求由逻辑证明来保证的严格的确实性。数学也遵循着“实践、认识、再实践、再认识”的辩证途径，但是由于数学对象的特点，数学理论的形成和发展表现出不同于自然科学的特点。作为数学研究对象的现实世界空间形式和数量关系，在这里已舍弃了任何特定事物的质的规定性，使数学成为一种关于结构模式的科学。这样一种科学承认“抽象的同一性及其与差别的对立”⑤。它所研究的范围内，概念、关系等都是确定的，不存在不确定因素的影响（概率论中，随机事件发生的原因是不确定的，但作为数学问题，其概率是确定的；模糊数学中，模糊子集的界限是不明确的，但作为数学问题，其隶属函数及元素对其隶属度都是确定的）。这样，数学由经验水平上升到理论水平的过程，就是公理系统形成的过程。公理则是从经验性命题中选择出来的，它们是互相独立的、不矛盾的、完备的，一般来说也是简单易明的。在这一过程中，原来在实践中得到验证的经验性命题又通过逻辑联系而构成系统，实现了互相确证，于是公理被“辩证地证明。”⑥公理系统一旦形成，本来作为认识结果的公理集就成为该系统固有的基本关系（性质），成为研究的前提和出发点，而不是待证实的假说，这也就是马克思所说的“方法上的转变。”⑦此后，系统的进一步发展和新命题的确立，就成为由公理出发的、独立的逻辑演绎过程。需要解决的是逻辑上的复杂性问题，而不象自然科学那样是“科学发现——提出假说——实践检验——确立理论”的周期过程。在数学公理系统的范围内，严谨的推理和计算保证了数学的确实性，使得每一个数学结论都不可动摇，放之四海而皆准。正如爱因斯坦在评价欧几里得几何时所说的：世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以致它的每一个命题都是绝对不容置疑的。
8.反过来，公理之外的数学命题只要未经证明，就不能认为是可靠的。当然，数学理论系统形成前，其中经过实践检验的各个命题地位是平等的，本没有公理和定理的区别。对一个公理系统来说，公理集的选择也不是唯一的，因此很难说哪些命题可由实践辩证地证明，哪些命题一定要经过逻辑证明。而在数学理论系统形成之后的发展中，虽然数学仍然具有经验科学的一些特点，但在数学理论殿堂中已不再有“周三径一”、“勾三股四弦五”等经验性命题的位置了。数学命题的正确性，既不能借助于自明性来说明，也不能借助于可重复的经验事实来检验。例如“凡连续函数皆可导”这一命题在很长时期中被认为是不证自明的，也可以举出无数多个例证；但后来黎曼提出了反例，否定了它的正确性。事实上，对于涉及无穷个对象的数学命题（如哥德巴赫猜想、四色定理等）来说，验证的次数不论如何多都是不完全的，都只是证明了或然性，而没有证明必然性，没有揭示出由本质根据所决定的普遍性。正因为如此，弗雷格才说：“数学的本质就在于一切能证明的都要证明，而不能通过归纳法来检验。”⑧
9.与自然科学不同，在数学理论系统内，一个命题是否具有客观真理性的检验标准是逻辑证明。自然科学中，“存在具有负能量的电子”这一认识被证实，不是在1928年狄拉克求解自由电子的相对论性波动方程，得出自由电子能量有正、负两个解的时候，也不是在他1930年提出正电子的“空穴理论”的时候，而是在1932年布莱凯特和奥查里尼从宇宙射线中发现正、负电子对的时候。但在数学中，四色定理真理性的确立却并不是在千万次绘图实践验证之时，而是在逻辑证明成功之日。这一证明经过一个多世纪的努力没有完成，直到1976年才在计算机上得到实现，证明中竟然含有近100亿个逻辑判定。
10.当然，当数学是对现实世界的反映时，逻辑证明不能离开实践独立成为其真理性的检验标准。第一，数学公理是否与现实世界的空间形式和数量关系相符合，不能由逻辑证明来保证，只能由实践辩证地证明。如前所述，数学由经验性认识上升为理论性认识的过程，是概念、命题间建立逻辑联系、形成严密的公理系统的过程，实践使公理集具有无可怀疑的确实性，从而成为逻辑证明的正确前提。第二，逻辑证明过程中往往含有习惯因素，使逻辑严密性受到破坏，还可能出现操作上错误，这是逻辑证明本身所无法解决的，而让逻辑证明的结论再回到实践中接受检验，就可以发现这方面的问题。第三，有的数学理论在初创时期逻辑上发生困难，但作为方法在实践中运用却非常有效，屡试不爽。在逻辑与实践看来发生矛盾的情况下，社会实践作为真理标准更具有权威性，就是说不能简单地因逻辑问题而否定在社会实践中极其有效的理论。有时，严格的逻辑证明不能完成是由于原来的公理系统本身不够完善，即数学在实践的推动下发生了质的进步，突破了原来公理系统所能容纳的范围；而在对公理系统进行补充、调整之后，在新的框架内可以完成逻辑证明。微积分理论的情况就是如此。在微积分理论初创时期，不论是牛顿还是莱布尼兹，都无法越过从有限到无穷小量间的鸿沟。他们的证明都要依靠一个模糊的原理，即一个无穷小量既可以是一个极其微小的量，同时又可以是零。这就直接违反了最基本的逻辑规则矛盾律，问题不可谓不大。但这一方法在实践中的巨大威力——人们普遍地进行着微分和积分，都能得到正确的结果——激起了数学家的创造活力，终于，极限概念提出来了，连续公理提出来了，经过200年的努力，微积分最后获得了牢固的逻辑基础。
11.综合上述两方面的情况，结论便是：当数学知识是客观世界的反映时，检验其客观真理性的标准是实践和逻辑证明的结合。实践检验是对内部建立了严密的逻辑关系的整个数学理论系统的检验：如果实践表明，数学理论与客观事物相符合，那么，该数学理论具有客观真理性；反之则不具有。逻辑证明是在经实践辩证地证明了的公理集的基础之上对其他数学命题的检验：如果在这样的公理系统内，一个数学命题经证明具有逻辑真，那么，它也具有客观真理性；反之，尚未纳入数学理论系统中的那些只有实际例证而未经数学证明的命题，其普遍性、必然性得不到保证，既不具有逻辑真，也不能被看作客观真理。
12.在对数学知识客观真理性的检验中，实践标准与逻辑标准二者不是并列的。实践标准是根本的，逻辑标准是辅助的、派生的，因为逻辑证明之所 以具有检验真理的标准的资格，也是经人类社会亿万次实践辩证地证明了的。实际上，若把逻辑证明看作实际操作，就是一种间接的实践检验，它考察的是通过个别而存在的一般，从而使证明过程等效于完全归纳，成为对所有无限多对象普遍适用的检验过程。
13.但是，逻辑标准对于要求严格确实性的数学是不可缺少的。数学理论系统已内在地包含了严格的逻辑关系的建立；而对尚未纳入理论系统的新数学命题来说，只有逻辑证明才能给出其具有客观真理性的本质依据。80年代初，陶德麟先生曾在一篇文章中批判数学推导能证明数学定理是真理的观点。他在文章中强调，“数学推导所证明的，只是数学概念之间的逻辑联系，公理和定理之间以及定理和定理之间的逻辑联系。至于这些概念、公理、定理与客观世界的客体（或关系）是否符合，即是否真理，数学推导是没有证明、也不能证明的。”⑨（着重号系原文所有）他问道，作为原始论据的公理本身是否与客观现实符合，推导所遵循的逻辑规则本身是否普遍有效，尚且不能证明，它又怎么能证明由公理推导出来的定理是否与客观现实符合呢？他还举出爱因斯坦关于“‘真实’的概念与纯几何学论点不相符”的话来作说明。笔者认为，当数学是客观现实的反映时，推导总是在公理、逻辑规则已经得到实践证明的前提下进行的。我们提出要把逻辑标准与实践标准结合起来，在这种情况下，陶先生反驳逻辑标准的理由不能成立。关于推导能否证明定理是否符合客观实际，且看马克思主义哲学创始人是怎样说的。恩格斯指出：“如果我们有正确的前提，并且把思维规律正确地运用于这些前提，那么结果必定与现实相符。”⑩这也就回答了陶先生的问题。反过来，笔者也想问一问，实践检验的普遍性从何而来？人类已经进行过的实践总是有限的，有限的实践中如何能证明认识与无限的客观对象是普遍地符合的呢？没有逻辑是做不到的。至于陶先生文中所引用的爱因斯坦关于“几何学并不涉及其中所包含的观念与经验客体之间的关系”等语，也不能作为否定逻辑标准的证词。因为正如爱因斯坦所说，他指的是纯几何学，在那里任何经验内容都被撇开，点、线、面等都只是纯粹的符号；其中的公理也不需要经过实践检验，因为它无实际内容，无从检验。而我们现在是讨论那种作为现实世界的反映的数学。至于纯几何学，我们后面将要谈到。
14.非欧几何的创立及其被承认，又一次给数学的发展带来重大转机。人们发现，由企图证明欧氏几何第五公设未能成功而导出的非欧几何，虽然其中的定理与欧氏几何完全相左，与人们的直观完全违背，却能象欧氏几何一样在逻辑上相容。人们还发现，欧氏几何与之相符的人们日常接触的空间（欧氏空间），并非客观世界中唯一真实的空间，某些非欧空间也是客观存在的。如果说，自然科学的发展揭示了其他天体上与地球上存在着一致的物理运动规律，那么，数学的发展则表明，宇宙中存在着数学结构不一致的现实世界，其中的真理也是不一致的。于是，数学理论客观真理性的适用范围就被限制在具有某种数学结构的现实世界（该数学理论的现实原型）之中。其称为真理，也只是关于这个特定世界的真理；离开了这个特定世界，它就不是放之四海而皆准的。例如，欧氏几何是欧氏空间的真理，黎曼几何是黎曼空间的真理，等等。
15.非欧几何的创立还带来了数学研究方法的革新，使得滥觞于欧氏几何的公理方法成为数学研究的一个基本方法。现代数学中公理方法的进一步发展，使人们可以研究各种可能的数学结构，而这些结构在被研究时可能并没有现实原型。这样一来，对数学理论的真理性及其检验标准问题就必须重新加以认识。对现代数学来说，可以把真理性划分为模式真理性与现实真理性两个层次。(11)所谓模式真理性，指的是公理系统具备无矛盾性，或命题具有逻辑真。所谓现实真理性，是指数学内容与客观现实事物相符合。
16.对于未找到现实原型的公理系统来说，暂时还说不上现实真理性的问题。这样的公理系统是由数学家按一定要求“自由”构造出来的，但是一经构造成功，它就成为独立于人的意识的客观信息，即波普尔的世界3。然而，与世界3中的科学知识又不同，这种公理系统不是外界客体在我们意识中的映象。作为对“可能世界”的反映，它们是现实世界折射的结果，而在现实世界中暂时还没有发现其对应物。但这样一种理论系统，通过理论向方法的转化，可成为一种供人们选用的工具——信息工具。如同实物工具有自身规律，可成为人们认识对象一样，公理系统作为信息工具也有自身规律，可以成为人们的认识对象。这就好比奕棋，棋的规则是人制订的，但一经固定下来，各种死活棋的定式等就是不依人的意志为转移的。对公理系统自身规律认识的结果，得到的就是模式真理。
17.检验模式真理的标准是什么？是逻辑证明。虽然公理系统的直接的相容性证明，在逻辑上是一种不可能性证明，但是，数学上检验一个公理系统是否相容，还是依靠逻辑证明：或者是使用解释法进行相对相容性证明，即在已被认为是相容的公理系统内为待检验的公理系统建立模型，用模型的相容性来证明待检验系统的相容性；或者是推广元理论中所使用的推理工具，进行直接相容性证明。
18.对于存在着现实原型的公理系统来说，既存在模式真理性问题，也存在现实真理性问题。也有的原来未发现现实原型的数学理论，后来找到了现实原型，即它们作为工具找到了“用武之地”，于是，作为研究对象的可能结构转化为现实结构，数学理论也就具备了现实真理性。这样的事已经不止一次地发生了。例如，黎曼几何是1854年黎曼在研究非欧几何体系时，发展前人理论研究成果而创立的，其中任何两条直线只要延长到足够远就可相交，所有直线都是无界的，但其长度却是有限的。这同人们日常接触的空间当然不一致，当时也没有现实原型。但是爱因斯坦1915年创立的广义相对论中度规不均匀的弯曲空间恰好可以用黎曼几何来加以描述，而广义相对论已得到实验的验证。又如，1858年开莱创造了矩阵算法，1925年这一算法被海森伯作为工具用在量子力学中。再如，元限维的希尔伯特空间也在量子力学中找到自己的现实原型——所有物理上有意义的德布罗意波函数所形成的矢量空间。在这些情况下，我们当然应该认为数学理论也是对现实世界数学结构的反映，具有现实真理性。
19.这种反映的途径与通常“从生动的直观到抽象的思维”(12)那样一种认识途径不同，它从考察可能的世界开始，而这种可能世界是人无法感知的，因为它当下并不存在于人的认识范围之内，甚至根本不是物质存在，只是信息。现实原型的发现是在映象产生以后，即反映是超前的。超前反映之所以能实现，是由于这种公理系统其实并不是幻想出来的，乃是数学家受到某些数学事实的启发而构造出来的，我们也可以把它看作数学上的“假说”，它有待证实，即找到自己的现实原型。
20.值得注意的是，公理系统的现实真理性是对整个系统而言的。检验一个公理系统是否与它所反映的客观现实相符合，或者检验一个现实结构是否一个公理系统的原型，标准是什么呢？只能是实践。当公理系统在某个现实领域的研究中成为有力的数学工具时，这个领域的数学结构自然就成为这个公理系统的现实原型，这个公理系统自然也就具有现实真理性。显然，这种具有现实原型的公理系统兼有科学与技术的双重性质，既是对客观世界的反映，又是改造客观世界的工具。
21.至于象希尔伯特在《几何基础》中所建立的形式公理几何学（纯几何学）那样的形式系统，因为它撇开了具体内容，所以我们只能考察其模式真理性。模式真理性并不等于现实真理性。但形式系统可以有多种解释（即模型），而具有内容的模型如果存在现实原型，那么现实真理性的问题也就产生了。
22.现代数学的发展，使数学有可能暂时离开客观现实的结构而研究可能的结构，有可能暂时只关注模式真理性而不管现实真理性，但是这并非它的最终归宿。数学总是要以反映客观现实为目的的，实践在检验数学中的作用也是不可取消的。不久前，李浙生先生著文认为，现代数学的真理性是以逻辑上的真取代主客观相符合的真，检验数学真理的标准不再是实践，而是逻辑上的相容性。文中论证说，“逻辑联系由于已经排除了主观成份，自然是很客观的”，“逻辑上的真是由前提推演出来的，对于任何人来说都是同等的真的”。(13)笔者在此不想对李先生的观点作详细评论，只想指出，他的论证不能成立。首先，客观真理就是主客观的一致。没有主观，认识从何谈起？如果说脱离了经验就是排除了认识内容中的主观成份，那么，自然科学、社会科学的客观性不就根本不能实现了吗？其次，哲学家们可以有不同的真理观，但真理只有一个，检验真理的标准也不以哲学家的解释为转移。反过来，人们对逻辑真的理解也不是绝对相同的。排中律真不真？古典逻辑认为它是真的，而直觉主义者认为它既非“真”，也非“不真”，而只是“不假”的。
23.总之，虽然由于现代数学的发展，数学的真理性可划分为模式真理性和现实真理性两个层次，但作为检验标准，仍然是实践标准和逻辑标准的结合。
注释:
①《马克思恩格斯选集》第3卷，第77页。
②⑤⑥恩格斯《自然辩证法》人民出版社1971年版，第245页、192页、235页。
③丹皮尔《科学史》商务印书馆1979年版，第84页。
④《马克思恩格斯选集》第4卷，第222页。
⑦马克思《数学手稿》人民出版社1975年版，第31页。
⑧《The foundations of aritmetic》，Oxford，1950，第2页。
⑨《哲学研究》1981年第1期，第28页。
⑩《马克思恩格斯全集》第20卷，第661页。
(11)徐利治、郑毓信《略论数学真理及真理性程度》（《自然辩证法研究》1988年第1期）。
(12)《列宁全集》第38卷，第181页。
(13)《自然辩证法研究》1993年第6期，第37页。
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