基于两种相关故障类型的预防性维修模型
马晓洋1，付玉强2
(1.北京信息科技大学 信息管理学院，北京 100192；2.中国科学院大学 经济管理学院，北京 100049)
摘 要 ：研究了基于2种故障类型的单部件系统：一种故障模式为基于延迟时间理论的两阶段故障；另外一种为传统的0-1故障模式。该研究假设2种故障模式是存在相关性的，并用Copula函数来表示联合分布函数。为了检测2阶段故障模式下的缺陷状态，采用定期诊断策略；为了避免0-1故障模式下的故障发生，同时考虑预防性更换策略。分析了系统的更新过程，计算了期望长期单位时间成本(ELRCUT)。通过最优化成本函数，最终得到了最优的诊断周期和预防性更换间隔。最后给出了案例分析，证明了模型的有效性。
关 键 词 :预防性更新；定期诊断；延迟时间；Copula函数
0 引言
诊断是避免关键机械设备失效的有效方法(可以检测到这些项目的状态)，可以满足提高工厂安全性、生产率和降低维护成本的需求。通过诊断可以确定机械设备的状态，然后检查是否需要进行维护操作：如果设备处于良好的工作状态，则不需要维护操作；如果设备处于缺陷状态，则需进行预防性更换[1]。与故障更换相比，这可以节省大量成本。
首先，教务管理人员要提前对毕业班学生的学分进行摸底排查，对个别重点学生的学分，更是要把他们的课程总表打印出来，对照他们的专业人才培养方案一一核对，并和班主任、学习委员及其本人联系，帮助他们联系相关的任课教师，及时选修、补修课程，完成专业人才培养方案规定的最低学分要求；同时尽可能地采取一些政策范围内的补救措施，如，争取创新学分和素能拓展学分等.还要及时把学分的最新消息更新在班主任、班级的QQ群中，保证信息的畅通和对称，使学生及时了解此类信息，以便及时采取补救措施.
在预防性维修模型中，延迟时间概念已被证明是判断诊断活动必要性的最有效方法之一[2]。延迟时间概念最初是由Christer[3]提出。它将机械设备的失败过程分为2个阶段：第一个阶段是从安装后全新状态到确定缺陷的点；第二个阶段是从这一点到失败点，称为“延迟时间阶段”。如果可以通过适当的诊断活动识别缺陷阶段，则可以在系统故障发生之前去除缺陷。基于延迟时间这一概念，学者们[4-5]已经进行了许多研究，并且与许多其他维护模型相比，也有很多成功应用的案例[2]。
上面提到的大多数论文都假设失效模式或阶段彼此独立。但实际情况并非如此。在本文中，我们提出了一种模型，其中设备受到了2种相关的故障模式的影响：延迟时间故障模式和传统的0-1故障模式，其中故障过程的联合分布采用Copula函数。Copula函数广泛用于表示相关部件的联合分布。使用Copula函数，Eryilmaz通过获得2个多态部件之间的联合状态概率定义了一个s-相关的维修模型，并且验证了当部件退化满足马尔科夫过程下的模型有效性[6]。Copula方法也用于计算相关连续k-out-of-n：G系统和相关性指标的可靠性[7]。
1 系统描述和符号表示
本研究考虑一个单部件系统，其故障可由2种不同但相关的故障模式导致。对应于两阶段延迟时间模型，故障模式1是指系统在正常状态下启动，在经历一段时间的缺陷状态之后最终导致故障。设定正常状态和缺陷状态的持续时间分别由随机变量X 1和X 2描述，其联合分布函数用F i (·)(i =1,2)来表示，并假设X 1和X 2存在相关性。
对应于传统的0-1逻辑故障模型，故障模式2是指在故障状态发生之前只会经历正常状态。但是，故障模式1的状态将影响故障模式2，即当故障模式1下系统处于正常状态时，故障模式2的退化是稳定的，而系统在故障模式1的缺陷模式时，失效模式2会加速退化。设定故障模式2的随机故障时间由X 3，相应的初始分布函数由F 3(·)表示。X 1和X 3的联合分布函数用G (X 1,X 3)，并且G (X 1,X 3)为Copula函数。如果2种故障模式中的任何一种发生了，则系统立即失效。
为了检测故障模式1下的可能缺陷状态，在系统运行期间采用定期诊断策略。 每当检测到故障模式1的缺陷状态时，立即对系统进行预防性更换。由于故障模式2没有缺陷状态，因此诊断对这种故障模式无效；然而，为了避免由于故障模式2导致的故障而可能造成的损失，考虑加入预防性更换策略，并假设如果故障模式1在n -1次诊断中处于正常状态并且在((n -1)T ,nT )时间段内没有发生故障，则在nT (n ≥1)进行预防性更换。同时假设，无论何时发生故障，都可以立即被检测到，并且可以立即更新系统。假设检查和更换所花费的时间可以忽略不计。假设单次诊断成本预防性更换成本分别为C I 和C R 。系统发生故障时的更新成本及其他损失用C F 来表示。很显然，C F 应满足C F >C R 。
1.6 统计学方法 使用SPSS 17.0软件统计分析数据，黑染组织中淋巴结均数和对照组的Ⅵ区淋巴结均数量符合正态分布，统计分析采用t检验，计数资料的比较用χ2检验，P<0.05为差异有统计学意义。
2 模型分析
2.1 更新过程模型
本文假定更新是唯一的维修活动，并且在更新后系统修复如新。系统在以下情况下可以进行更新：①在第k (k =1,2，...，n -1)次诊断中检测到故障模式1的缺陷状态；②在nT 时进行预防性更换；③在((k -1)T ,kT )(k =1,2，...，n )期间发生故障。在下文中，我们首先分析这3种情况并计算出它们相应的概率；然后，可以获得期望更新周期长度E (T c )和期望成本E (C c )；最后，可得到关于T 和n 期望单位时间长期成本函数。这是一个E C (T ,n )函数，并且有
(1)
2.2 更新过程概率分析
第一种情况的发生表明故障模式1在(k -1)T 时刻仍然处于正常状态，故障模式2在kT 之前没有发生。图1所示为预防性更新的时间点，其中Δ 为预防性更新的时间点。因此，这种情况发生的概率为
慢性阻塞性肺疾病炎症机制及中药单体成分对其治疗作用的研究进展 …………………………………… 刘 娟等（8）：1145
如上文所述，每当发生故障时，系统立即更新。假设系统在t ∈((k -1)t ,kT )时刻发生故障，则意味着以下2种可能的情况：1) 故障模式1在τ ∈((k -1)T ,t )时进入缺陷状态并且在时间t 导致系统故障，而故障模式2在t 时刻仍然处于正常状态，如图3(a)所示，其中，●为故障点；2) 故障模式2在时刻t 发生系统故障，而此时故障模式1处于正常状态或缺陷状态，如图3(b)和图3(c)所示。
每个更新周期内的期望更新周期长度为
Pr{(k -1)T <X 1<kT ,X 1+X 2>kT ,X 3>
k =1,2，…,n -1
(2)
图1 基于故障模式1的缺陷状态更新
如果在前(n -1)次检查中没有检测到缺陷状态，且((n -1)T ,nT )时间内未发生故障，则在nT 时间点无论系统处于何种状态，都要进行预防性更新。这种情况表明故障模式1仍然在(n -1)T 时间点内处于正常状态，且在nT 之前2种故障模式下均未发生故障，如图2所示。这种情况的相应发生概率为
P (T c =nT )=
(3)
图2 预防性更新
煤矿井下通风监控系统是为保证煤矿井下作业安全所设计实施的一种煤矿作业安全自动化控制系统。通常情况下，煤矿井下通风监控系统主要是采用单片机控制形式、以总线挂接式结构设计实现的。在该系统的通信控制应用中主要是应用CAN现场总线通信控制技术，通过各种通信监控传感器，实现对于煤矿矿井作业中各种通风指标进行运行监控，对保证煤矿井下作业的安全有着极大的积极作用和意义。
为了得到联合概率密度函数，首先讨论随机变量X 1和X 3的相关性。根据二维Sklar理论[8]，Copula函数可用于组合变量的联合分布和边际分布。设F 和G 为联合分布函数H 的边际分布，且
节奏管理，是管理工作中的一种艺术，其含义属于抽象概念，其实质是按时间节点有序地对项目的实施进行管理。不仅是工程施工中需要节奏的管理，各个行业均适合应用节奏化的管理。
本文所用的数学符号标识如下。
(4)
在((k -1)T ,kT )时间内系统发生失效的概率为
(5)
图3 故障更新
从式(2)～(5)，可以很容易地获得每次更新的期望成本为
(6)
P (T c =kT )=
(7)
3 相关性分析
此时，对应的概率密度函数为
其中x =F -1(u ),y =G -1(v )。
①炎症因子水平：超敏C反应蛋白（hs-CRP）。②治疗前后检测两组患者的24 h尿微量白蛋白和24 h尿蛋白定量。
(8)
U =F (x ),V =G (y )，则变量U ,V 在[0,1]区间内均匀分布[9]。可以证明存在一个Copula函数，对任意的x ,y ∈R ，满足如下条件：
目前有很多双变量Copula函数。本文选择Frank Copula函数来描述X 1和X 3的相关性。假设U =F 1(x 1),V =F 3(x 3)，则X 1和X 3的联合分布函数和联合概率密度安函数分别为
(9)
(10)
式中：c (·)为C (·)的概率密度函数；θ (θ ≠0)为相关系数。那么X 1和X 3的联合概率密度函数可以表示为
g (x 1,x 3)=c (u ,v ,θ )f 1(x 1)f 3(x 3)
发展冰雪旅游需要相关的产业配套，这离不开政府的招商引资和财政投入。据《2016年吉林省旅游业发展报告》统计，2016年全省旅游项目总投资2776.95亿元，在建旅游项目248个，其中温泉养生类和冰雪类项目分别占19个和11个，约占总在建项目的10%，主要是有关滑雪场地、温泉度假和雪乡雪村等项目的筹建。2017年，吉林省出台了《吉林省省级旅游产业发展专项资金管理办法》，针对省级项目和主要市县冰雪旅游项目，将会通过贴息、奖励和补助的方式择优支持。由此可见，吉林省十分重视发展冰雪旅游，相关的资金支持力度较大。
(11)
4 案例分析
在本文中，我们考虑一个单部件系统。假设X 1、X 2和X 3的初始分布均满足最常见的Weibull分布
其中各个随机变量的分布参数如表1所示。单次诊断成本、更新成本和故障成本分别设置为C I=10、C R=100和C F=800。相关系数设定为θ =2。
表1 单部件系统的寿命分布参数
将上述所设参数代入式(1)，用MATLAB计算，可以得到最佳诊断周期和预防性更换策略为(T *,n *)=(35,3)，表明如果系统没有发生故障，则应在第2个检查点进行预防性更换。 对应的期望更新周期长度和期望更新周期成本分别为E (T c )=93.546 5和E (C c )=197.586 4，最佳单位时间期望更新成本为EC (T *,n *)=2.504 4。
5 结束语
本文考虑了一个2种相关故障模式影响的单部件系统：两阶段延迟时间模式和传统的0-1逻辑模式。为了检测系统在延迟时间故障模式下的可能缺陷状态，需要对系统执行定期诊断，并且为减轻由0-1逻辑模式引起的故障还需要实施预防性更换策略。该模型的实际意义在于它允许我们集成这两种故障模式，即同时考虑延迟时间模式的缺陷状态如何影响0-1逻辑模式。本文采用Copula函数表示两种失效模式的联合分布。在此基础上构建了系统维护模型，研究了检查周期和预防性更换周期对系统性能的影响。为验证模型的有效性，选择Frank Copula函数作为联合分布函数。作为本研究的延伸，我们将考虑可调整的诊断周期和基于三阶段延迟时间理论的维修模型。
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A preventive maintenance model based on two types of correlated failure
MA Xiaoyang1,FU Yuqiang2
(1.School of Information Management, Beijing Information Science & Technology University, Beijing 100192，China;2.School of Economics and Management, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)
Abstract :This paper studies a single-unit system based on two types of failure: a two-stage delay-time failure and a traditional 0-1 logic failure. The two failure modes are assumed to be correlated, and a copula function is utilized to describe the joint distribution. Periodic inspections are used to detect the defective stage of the two-stage failure mode, while preventive replacement is used to avoid possible failure in the 0-1 logic mode. The renewal process of this system is analyzed and the expected long-run cost per unit time (ELRCUT) is derived. The optimal inspection period and preventive replacement interval that minimize ELRCUT are studied. Numerical examples are presented to illustrate the proposed model.
Keywords :preventive replacement;periodic inspection;delay-time;copula function
中图分类号 : C 94
文献标志码： A
文章编号 ：1674-6864(2019)05-0025-04
DOI :10.16508/j.cnki.11-5866/n.2019.05.005
收稿日期 ：2019-05-27
基金项目 ：国家自然科学基金资助项目(71231001)；北京信息科技大学学校校科研基金(1935013)
第一作者简介 ：马晓洋，女，博士，讲师。
标签：预防性更新论文; 定期诊断论文; 延迟时间论文; Copula函数论文; 北京信息科技大学信息管理学院论文; 中国科学院大学经济管理学院论文;