一例定积分问题的教学与思考
王成强
(成都师范学院 数学学院，成都 611130)*
摘 要： 基于华东师范大学数学系编撰的《数学分析》(第四版)下册第十九章第一节例4的教学实践，阐述大学数学典型例题讲解过程中要注重引导学生从多视角理解问题，要注重一题多解，要注重变式训练，以及要注重讲练结合。
关键词： 大学数学；定积分；一题多解；变式训练；讲练结合
1引言
定积分也称Riemann积分，是大学数学中最重要的理论之一。在数学上，在几乎所有数学分支中都能找到定积分的影子；在应用领域中，定积分可用来计算几何体的面积、物体的质量、带电体的带电量等，它是诸如工程力学、经济学等众多学科领域的基础[1]。
定积分的定义涉及极限、偏序集等理论，在大学数学中，定积分中的思想贯穿曲线积分、重积分、曲面积分、Riemann-Stieltjes积分等理论[2]。从定义看，定积分与不定积分、导函数之间毫无关联，但事实上，这三者之间有实质性的内在联系[1,2]。
定积分相关的问题形式多样，考查内容灵活多变，它们的求解往往需要受考查对象具有很好的公式记忆能力、观察能力、联想能力与计算能力。定积分相关的问题的解答能力“蜕变”于广泛充分的习题训练，但必然始于教材例题的有效模仿学习。为更好达成定积分理论的教学目的，教师必须注重知识体系、精讲典型例题。为了能做到精讲典型例题，教师课前必须对所讲例题进行充分的教学设计，必须在完成教学后进行教学反思。本文阐述华东师范大学数学系编撰的《数学分析》(第四版)下册[1]第十九章第一节例4(即定积分
的计算)课前的教学设计与完成教学之后的反思，以期在典型例题精讲方向带来更多思考。
企业创新、产权性质与组织冗余..................................................................................................................曹文文 李 健 潘 镇（78）
定积分I 中的被积函数的构成“材料”朴素、形式结构简单，但它的计算过程极其复杂。定积分I 的计算过程的模仿学习能帮助提高学生的观察能力、联想能力、公式记忆能力与计算能力，因此，它是很多大学数学教材的例题，见文[2]及其所引文献。定积分I 的计算问题在教材[1]出现了两次，第一次出现的目的是借助于该例示范如何运用变量替换法计算定积分，第二次出现的想法是利用该例“展示”含参量积分的性质(具体地说是Fubini定理)在定积分计算中的巧妙应用。本文阐述的是第二次对该例的教学设计与教学反思。
[43]Roger M. Smith, ed., Southeast Asia: Documents of Political Development and Change, Ithaca and London: Cornell University Press, 1974, pp.101-102.
2定积分 
的计算例题教学
2.1 定积分I 的计算例题的教学设计
授课对象是成都师范学院2017级数学与应用数学专业1、2班，这两个班的学生完成了“高等数学”课程与“数学分析”课程大部分内容的学习。授课对象班级的班风学风极好，学生们的“数学分析”课程学习兴趣浓、学习目标明确、学习主观能动性强，他们勤于思考、记住了大量数学公式、勇于挑战数学中的难题。
车辆识别检测是侦查工作中不可或缺的环节，目前，对于车辆的识别与追踪多基于车牌，对于无牌、套牌车等无法实现有效地追踪。另外，一线民警在进行图侦工作时，仍以人工识别追踪为主，正确率虽有保证，但耗时耗力影响办案效率，如何对车辆进行有效地识别、追踪迫在眉睫。
基于上述分析，针对定积分I 的计算例题的教学设计如下。将定积分I 的计算例题的教学过程设计为两个环节，环节一是教师提出复习如何用变量替换法计算定积分I 的要求，学生讨论并回答问题(计划耗时5 min)；环节二是教师板书示范如何利用Fubini定理计算定积分I (计划耗时10 min)。通过这两个环节，希望达到能引导学生记住用Fubini定理的应用条件、掌握用Fubini定理计算某些定积分的原理、方法与步骤。用Fubini定理计算定积分的关键是引入新变量并将定积分的计算转化成二次积分的计算，怎么找准适当的位置、怎么选择新变量的形式是该过程最困难的地方。
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2.2 定积分I 的计算例题的教学执行情况简介
环节一(实际耗时6min)：教材中出现过的利用换元积分法计算
的回顾。教师提出问题，有同学“主动请缨”并快速写下下述解解答。
解：令
则u =arctanx ，dx =sec2udu ，于是
教师仔细观察学生的解题速度、符号书写规范性与流畅性、解题步骤，并在明确肯定学生的解答正确之后再趁机对学生提出基于学生解题过程观察的数学学习方法建议与要求，简要强调确定换元法求积分过程中参数的取值范围的方法与利用换元法求定积分的基本步骤。回顾旧知环节结束，立马进入例题的新方法讲解环节。
杆塔寻路助手设计思路见图1，基于GIS技术构建配网线路地理空间模型，在此基础上采用高精度定位服务，通过移动APP应用为线路、杆塔、设备、人员提供高精度位置服务。
环节二(实际耗时18 min)：教材中的利用Fubini定理计算定积分的讲解。刚才已经提到，新方法的思想是“引入新变量，转化成二次积分，再利用二次积分的Fubini定理避开按原来的积分顺序求二次积分的困难”。教师边板书、边讲解，学生理解、识记并做笔记，师生互动。新方法解答细节如下。
再令
则
解得
相比于教材[1]，这里提供的解答步骤更详细。通过师生互动，学生掌握了在推导每个等号过程中用到的数学原理，但因还缺乏一定数量的习题训练，故对解答的总体思路与新方法在其他应用还是比较陌生，因此笔者还在教学设计中原有的两个环节的基础之上，增加了第三个环节。
新解三(Euler替换方法)：令
则
于是
3定积分 的计算例题的教学反思
3.1 教学设计与教学过程的反思
则
3.2 教材[1]解答方法的反思与新方法
对教材[1]提供的定积分I 的基于Fubini定理的计算过程反思如下。该过程主要想法是避开直接计算I 本身，而转化成计算一个二次积分。定积分I 的基于Fubini定理的计算方法有两个缺点，一是技术性太强，二是计算过程特别复杂；优点是新引入变量位置选择巧妙、思路简单明了。
对教材[1]提供的定积分I 的基于变量替换方法的计算反思如下。该过程想法的出发点是“变量替换x =tanu 可使得，
量替换计算方法的思路稍显“曲折”，但计算量比较小。
有鉴于这些反思，笔者还根据定积分I 的特殊结构“设计出”了六种新解法。接下来的新方法与教材[1]提供的定积分I 的基于Fubini定理的计算过程的想法极其类似，其细节表述如下。
新解一(基于含参积分的可微性结果)：令
注意到函数I (y )在区间[0,1]上可导，并借助于教材解法二中的思路，有
又I (0)=0。故由Newton-Leibniz定理可得
解得
定积分I 的基于含参积分的可微性结果的计算方法与教材[1]提供的定积分I 的基于Fubini定理的计算方法数学实质一样，在本文中，前者受到后者巨大的启发。值得一提的是，某些定积分的基于Fubini定理的计算过程往往会由求导并进而转化为定积分的基于含参积分的可微性结果的计算过程，从这种角度看，定积分I 的基于含参积分的可微性结果的计算方法优于教材[1]提供的定积分I 的基于Fubini定理的计算方法。例如，在利用基于Fubini定理的计算方法计算φ (r )=
e -x2 cosrxdx 时会遇到
为继续，必须对以上等式两端同时求导，但可发现以上等式求导就得
这意味着这里用到的就是基于含参积分的可微性结果的定积分φ (r )的计算方法。
新解二：令
则
于是
江大亮也不是第一次做爱，也是有过经历的人了，人的第一次永远是最难忘的，包括第一次谈恋爱，第一次约会，第一次做爱等等，反正这些都是人生中最难忘的。
抗体的产生需要有一定的时间且要求机体免疫应答能力正常，而大多数血液系统恶性肿瘤、造血干细胞移植、长期应用糖皮质激素等患者免疫应答能力不足，且IPA患者短期内通常不发生血清转化和抗体反应。因此，抗体检测的临床应用价值不大。
再令
教学设计时，笔者心目中的授课对象对运用换元积分法计算定积分I 非常熟悉、对用Fubini定理计算定积分I 也会很快接受，因此，旧方法回顾阶段用时只设计了5min，新方法讲解阶段用时只设计了15min，而且，也没设计知识点与技能的总结环节。但教学执行情况表明，笔者“高估”了学生对旧方法的掌握程度与对新方法的学习效果，整个例题的讲解耗时29 min，这比计划用时多了45%。经过反思，笔者认为这种现象出现的原因有二，一是因高估学生真实学习情况与学习能力导致了的不科学的教学设计，二是阶段过渡不合理、语言阐述不简洁明快、步骤讲解详略不当等导致的例题教学用时过长。有鉴于此，笔者认为要到达精讲利用Fubini定理计算定积分I 的目的，必须得耗时25min。
于是，
系统的稳定性通过脉冲进入离子源的 CO2或 N2参考气来控制，碳同位素和氮同位素比值稳定，且SD＜0.06，每次测样前必须检查系统的稳定性。
环节三(实际耗时5min)：知识点与技能的总结。提醒学生记住Newton-Leibniz定理的完整内容与应用条件、二次积分的Fubini定理的完整内容与应用条件，引导学生回忆起一般的有理函数不定积分的计算方法，和学生一起归纳利用Fubini定理计算一些定积分的步骤：引入新变量；利用Newton-Leibniz定理得到将定积分转化成二次积分；利用Fubini定理交换二次积分的顺序；先对原来的变量积分，再对新引入的变量积分，解答结束。
根据美的2017年年报披露的信息，美的对存货均采用先进先出法进行计价。每种计价方法都会对企业成本的核算产生影响，根据不同计价方法的特点，结合企业自身情况和市场情况来选择。在物价上涨时期采用先进先出法核算存货成本，会使利润虚增，导致企业应纳税所得额增加，在这个时期采用移动加权平均法或月末一次加权平均法可以避免成本过低的现象，计算出来的利润和税额也不会有很大波动。但是，在物价下降时，应该考虑采用先进先出法，先购进的存货成本较高，计算出的当期发出存货成本也越高，可以减少当期利润和应纳税所得额，减轻企业税负。美的应该结合市场环境综合分析，选择最优的计价方式。
再令
则
于是
Euler替换是非常重要的换元积分法，主要目的是克服被积函数中的
带来的困难，其具体内容可表述为：若a >0，令
或
若c >0，令
或
新解四：令
则
于是，
当地主要种植的作物包括大田作物和经济作物。据尹剑飞介绍，湖南隆科农资连锁有限公司今年的化肥销售量与去年同期相比基本持平，利润有所上升，主要原因是今年国家对于环保的控制力度越来越严格，化肥生产成本上升，导致肥料整体价格呈上涨趋势。所以对于经销商来说在销售量基本持平的情况下，今年的利润空间更大。
解：利用Newton-Leibniz公式与二次积分的Fubini定理，有
于是
急性心肌梗死的发生致死率较高，经院前急救，可为患者的抢救与治疗赢得更多时间[3]。而院内急诊急救护理的实施则有利于确保护理工作有序、规范开展，减少由于盲目护理而造成的护理差池，从而提高患者预后[4]。依据本次实验数据结果亦可见，将院前急救与急诊急救护理应用到对急性心肌梗死患者的护理过程中，可缩短急救时间、提高患者存活率。
解题过程中定义的sinhu 与coshu 分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数，它们在数学、经济管理、物理等学科中有广泛应用。数学上双曲正、余弦函数常用到的性质有：cosh2u -sinh2u =1，cosh2u +sinh2u =cosh2u ，sinh2u =2sinhu coshu ，(coshu )′=sinhu ，(sinhu )′=coshu ，(sinhu /coshu )′=cosh-2u 。除受第三种新解法启发想到之外，第四种解法的思路还可来自于双曲正、余弦函数的性质。
测量并记录两组患者HbAlc(糖化血红蛋白)、FPG（空腹血糖）、2 hPG（餐后 2 h 血糖）[3]。
新解五：令
于是，
解得
新解六：令于是，
从而，
新解六与新解五类似，但更充分地利用了被积函数的特殊结构。
4结束语
本文阐述了华东师范大学数学系编撰的《数学分析》(第四版)下册[1]第十九章第一节例4的教学设计、教学执行过程以及教材提供的解法的思路来源等的反思，受反思结果的启发，根据被积函数的结构的特殊性找出了定积分的六种新解法。定积分理论，甚至大学数学的有效教学依赖于典型例题的精巧讲授。为做到问题的精讲、巧讲，教师可以从以下几方面入手：
注重引导学生从不同知识视角理解典型例题。从不同知识视角理解典型例题，可给例题本身带来更深刻的理解，可为用到的各知识视角带来有说服力的例子，还可为用到的各知识提供“彼此相识”的桥梁。正如上世纪美国著名心理学家E.L. Thorndike曾说的那样，学习就是形成联结，教学则是安排情景，以“激发”有效迅捷的联结(见文献[3,4])。从不同知识视角理解典型例题能帮助学生形成更具体的、系统的、有机的知识结构。
注重讲授典型例题不同知识视角下的解答思路与过程。一题多解有助于发现简明的解答，通常情况下，越是简明的解答，其揭示的数学就越深刻，因此，一题多解不仅提高解题能力，也能提高数学素养；一题多解有助于优化解题思路与过程，即能帮助学生清晰认识哪些步骤是关键、哪些步骤是冗余，认清各种方法的数学实质；一题多解有助于发现美的解答，简明、思路与过程优化的解答都是美的解答，18世纪法国杰出的哲学家D. Dideroit 曾说：“数学中所谓美的解答，是指一个困难复杂问题的简易解答。”[5]；一题多解能帮助学生认识各方法的局限性，能帮助学生明晰各方法、结果、理论等的应用条件，进而能帮助提高学生学习新知识时辨识条件与结论的意识；一题多解能加深学生对典型例题的理解，一种解题方法往往意味着问题的一个侧面，看完了问题的所有侧面就看清了问题本身；一题多解能提高学生的创新意识、创新能力，能增强知识的应用性，能让知识活起来，正如德国哲学家E. Spranger曾说的，“教育的最终目的不是传授已有的东西，而是要把人的创造力量诱导出来，将生命感、价值感唤醒，一直到精神食粮的根”[6]。
注重典型例题的变式训练。美国著名教育家G. Pólya在其书中写到：“掌握数学意味着什么？这就是说善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考，思路合理，见解独到和有发现创造的题。”[7]数学的学习是以有针对性的习题训练为基础。变式训练有助于培养发散性、开放性思维，激发创新热情，能帮助学生形成整理归纳、总结规律的好习惯。
注重典型例题的讲练相结合。在课堂教学中，例题讲授完之后应进行一些有针对性的随堂练习，在进行练习过程中，教师要注意观察学生的解题速度、符号书写的流畅与规范性等。课堂观察是师生交流的一种重要方式之一，近二十年，其研究越来越活跃，新想法、新实践层出不穷，据笔者观察，这股“热潮”还远没有停下来的趋势[8-11]。另外，随堂练习过程中，生与生、生与师之间的思想上的对撞可能带来问题的创新解法。
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Teaching and Reflection on a Problem Concerning Definite Integral
WANG Chengqiang
(School of Mathematics, Chengdu Normal University, Chengdu 611130, China)
Abstract ： Based on the practice of teaching Example 4 included in Section 1 of Chapter 19 of Mathematical Analysis (Fourth Edition ) written by the mathematics faculty of East China Normal University, we claim that in teaching a typical problem of college mathematics one should focus on guiding students to understand the problem in multiple perspectives, sharing multiple solutions to the problem, designing a series of related variant problems as exercises, and combining teaching and exercise in the class.
Key words ： college mathematics; definite integral; multiple solutions to one problem; variant problems training; combination of teaching and exercise
*收稿日期 ：2018-11-19
基金项目： 国家自然科学基金青年基金“几类色散波方程能稳问题的统一处理”(11701050)
作者简介： 王成强(1985—)，四川武胜人，副教授，博士，研究方向：数学控制论、数学教育。
doi :10.3969/j .issn .2095-5642.2019.07.109
中图分类号： G642.0； G633.6
文献标志码： A
文章编号： 2095- 5642( 2019) 07- 0109- 08
(实习编辑：杨晓玲 责任校对：曲 比)