问题驱动的探索与魅力的互动展示--“正弦定理”听课的意义_数学论文

问题驱动探究，互动彰显魅力——“正弦定理”听课有感，本文主要内容关键词为：正弦论文,互动论文,定理论文,魅力论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      “正弦定理”是《普通高中课程标准实验教科书·数学5（必修）》（人教A版）“正弦定理和余弦定理”一章第一节的内容，是初中解直角三角形的延伸.本文，笔者简录一节“正弦定理”市级公开课教学过程并谈几点听课感悟.

      一、课堂教学过程简录

      1.创设情境，引入课题

      师：画面上是我国古代《嫦娥奔月》的神话故事，明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问，遥不可及的月亮离地球有多远呢？1671年两个法国天文学家测出了地球与月球之间的距离大约为385400km，你们想知道他们是怎样测出这个距离的吗？

      

：想知道.

      师：好，学习本章“解三角形”内容之后，这个问题就会有明确答案了.

      2.提出问题，启动探究

      问题1：我们知道，在三角形中有大边对大角、小边对小角的边角关系.我们能否得到边、角关系的准确量化表示呢？

      师：按照认识事物的基本方法，要探究三角形中的边角关系，可以先从特殊三角形入手，我们应该选择哪一种三角形呢？

      

：直角三角形.

      

      （把直角三角形中的边角关系变形组合，得到一个新的等量关系，为探究正弦定理奠定基础，体现了从特殊到一般的研究问题的方法.）

      3.类比猜想，探究新知

      问题2：上述结论对任意三角形成立吗？

      学生思考、讨论.

      师：（1）上述结论对等边三角形成立吗？（2）上述结论对三个内角分别为30°，30°，120°的三角形成立吗？

      

      师：很好，思路清晰！对于钝角三角形的证明，请同学们接着完成.

      

      

：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等.

      师：很好，上述问题就是我们今天要研究的内容（板书课题：正弦定理）.

      （教师引导学生构造直角三角形，将未知问题转化为已知问题，使学生领悟转化与化归、分类与整合、构造等数学思想方法.）

      4.探究新的证明思路，丰富数学认知活动

      问题3：还有其他方法证明正弦定理吗？

      

      师：利用三角形外接圆的直径将任意三角形转化为直角三角形，体现了化特殊为一般的思想.

      （对于

的发现，教师及时给予表扬，激发了学生的探究热情.引导学生作出三角形外接圆证明，将高中知识和初中知识联系起来，让新的问题与学生原有的认知同化、顺应，实现了知识的有效迁移.）

      问题4：△ABC中存在怎样的向量等式？

      

      师：如何将它转化为数量等式呢？

      

：化为向量的数量积运算.

      

      5.应用公式，巩固新知

      问题5：在三角形中，已知什么条件可以用正弦定理求解？

      

      问题6：已知△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a.

      问题7：已知△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，解三角形.

      （教师由易到难、由单一到综合，为学生搭建思维跳板，循序渐进地引导学生分析问题、解决问题，这符合学生的认知规律，有利于学生形成问题解决能力.）

      

      师：你们说对吗？

      

      师：你考虑得很周密，两解都满足条件吗？如何验证.

      

：如下页图3，作CD⊥BA，D为垂足，在Rt△CAD中，CD=bsinA=3＜a，故以C为圆心、3为半径的圆与边AB一定交于两点，所以本题有两解.

      师：太妙了！能拓展到一般情况吗？比如已知a，b，∠A，解三角形，如何判断解的情况？……

      

      6.课堂小结，深化认知

      （1）你对正弦定理的推导和公式的特征有何认识？（2）正弦定理可以解决三角形中什么样的问题？（3）已知两边和其中一边的对角解三角形，解的情况有几种？（4）本节课运用到了哪些数学思想方法？（5）请大家课后思考正弦定理还有哪些证明方法？

      二、听课感悟

      本课，在问题引导下，学生充分经历了知识的形成、应用和深化的过程，在探究过程中促进了自身数学素养和能力的提升.以下，笔者谈几点感悟.

      1.精心创设有利于学生探究的问题情境

      本课引用神话故事，创设形象的、富有感情色彩的问题情境，让学生感受到数学与生活紧密相连，激发了学生探索的热情.

      2.以问题串驱动探究，引领学生火热思考

      不少教师在讲解定理时，匆忙地抛给学生一些证明方法，然后将教学的重心放在定理的应用上，以大量的例题、习题充斥课堂，学生疲于应付.数学发展史表明，每一个数学概念、公式、定理的形成和发展都有着丰富的经历，但它们出现在数学教科书中时，隐去了人类探索的“火热的思考”，凝固成了“冰冷的美丽”.教师如果照本宣科，学生就很难进行火热思考和主动建构，也就难以欣赏“冰冷的美丽”、领会数学的本来面目了.因此，除了展示数学结论，我们还应该对教材进行二次开发，把学生学习新知的过程，变成“再发现”“再创造”的过程，将数学的形式化逻辑链条恢复为数学家当初发明、创新时的“火热的思考”，让学生亲身经历概念、定理的建构过程，逐步形成主动探究问题的习惯.

      3.有思想的课堂才能魅力四射

      一节好课，只有公式的证明、题目的积累是不够的，还需要有数学思想方法的渗透.离开数学思想方法的渗透，师生就无法整合起零散的知识点，重视思想方法的渗透，会使许多看起来并无关联的知识产生横向联系.正弦定理的提出、发现、证明、应用过程，是学生产生认知冲突、求知欲不断膨胀的过程.本课充分利用了从特殊到一般这一思想方法：用直角三角形猜想正弦定理，进而推广到一般三角形，而一般三角形转化为直角三角形，又是论证“正弦定理”的关键.在课堂小结环节，教师引导学生提炼出特殊到一般的归纳推理思想、数形结合思想、转化与化归思想、分类与整合思想、方程思想等.一节课下来，思想方法一以贯之，环节设置紧扣公式的发现、论证与运用，学生在探询知识和方法的内在联系中，逐渐理解数学学习的本质：运用数学思想方法，从问题的特征出发，抓住问题的本质，一定能创造性地解决问题，从而达到增长知识与发展能力和谐统一的学习目的.

      4.留给学生充足的反思时间、空间

      有效的反思、总结，一方面可以促使学习者“精加工”知识，为记忆、存储做足准备；另一方面可以促使学习者抓住知识的规律和本质，提升学习者的认知水平和自我评价能力.本课容量大、时间紧，课堂小结环节显得很仓促.在详细给出一种证明方法后，教师可将正弦定理证明作为研究性学习素材，让学生课后完成，同时鼓励学生将自己的探究成果撰写成小论文，因为这有利于培养学生善于提出问题、深入探究的个性品质.如此，总结、反思环节就可多安排一些时间，在学生交流的基础上，教师进行画龙点睛式的点评.

      5.教师的引导要把握“度”

      教师引导“过度”会导致“包办代替”，数学问题就会失去思维价值.由于课堂时间紧，本课问题4给出后，教者没有留给学生思考的时间，而是直接指出可在

的两边同乘以i，很多学生不知其所以然.对这个美妙无比的向量等式的探究，建议放在下一节课进行，让学生通过探究既证明正弦定理，又得到余弦定理.这样安排，学生的思考就有了深度.

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