基于 q 指数贴现函数的反按揭支付偏好研究
陆 阳， 王 健， 庄新田
(东北大学 工商管理学院， 辽宁 沈阳 110169)
摘 要： 为研究人们对反按揭支付方式的偏好特征，分别建立基于指数函数和q 指数函数的反按揭模型并求解.根据模型按照本金递减、本金不变和本金递增的还款方式设计三种反按揭合同并进行满意度调查，三种还款方式按指数函数估值相同，按q 指数函数估值不同.对调查结果进行Kruskal-Wallis非参数检验发现:三种方式中，人们最偏好本金递增的还款方式，其次是本金不变，最次是本金递减的还款方式.结论显示金融企业可在不提高利率的情况下通过改变支付方式提高客户对反按揭的满意度.
关 键 词： q 指数函数; 跨期决策; 反按揭; 经济物理学; 反按揭
经济物理学相关研究发现人们在进行跨期决策时需要对远期收入进行贴现[1-4].经典经济理论认为人们是理性决策者，故其时间偏好不会变化，即用指数函数以一个固定贴现率进行估值.然而，众多实证研究发现人们的心理贴现率并非常数，瞬时贴现率随时间递减，q 指数贴现函数是拟合度最高的贴现函数[5-14].
跨期决策领域的研究进展对研究借贷决策有明显意义.实证研究发现人们在借贷决策时存在非理性借贷行为[15-18]，这是由于人们在面临多时间维度借贷决策时会放弃计算总成本而仅通过该贷款的主要特征进行决策[17].由于金融企业使用指数函数估值，而客户使用q 指数函数估值，故对于金融企业成本相同的贷款在其客户眼中有不同价值.近期研究认为债务的偿还可视为一系列随时间变化的付款，故可使用跨期决策理论解释借贷决策[15，18].该领域研究进展为提高反按揭的民众参与意愿提供了新思路.反按揭是解决中国老龄化问题的重要补充途径，但近年民众参与意愿低.本文依托跨期选择理论，尝试在不改变金融企业利率，不提高其成本前提下， 根据q 指数函数设计多种还款方式的反按揭合同，观察人们满意度差异，找出满意度最高的还款方式.
本文介绍考虑还款方式的反按揭基本模型及通解，并基于q 指数函数提出研究假说；设计三种反按揭合同并进行满意度调查；分析调查结果验证研究假说.
(2)国务院国发[1999]12号文中明确,鄱阳湖区重点圩堤为Ⅱ级堤防,但现阶段重点圩堤除险加固建设基本按4级堤防进行设计。
1 还本方式不同的反按揭模型
1.1 基于指数函数的模型及通解
反按揭俗称以房养老，即与普通住房按揭贷款相反，金融企业定期向住户支付本金和利息，直至偿还等于房产现值的全部本金后取得房屋产权.令总本金(房屋现值)为M ，反按揭利率为r ，令各年支付的本金为
A n =A +(n -1)d
.
(1)
其中:A 为第一年支付本金；常数d 为邻近两年的本金偿还数之差.每年的总支付额a n 为当年的本金A n 加利息R n :
a n =A n +R n
其中利息等于剩余本金乘利率，即
(2)
.
R n =(M -∑A n )r .
(3)
将式(1)，式(3)代入式(2)可得
(4)
(5)
调查对象为某985大学的本科生39人(男10人,女29人)，平均年龄21.08(标准差为1.26岁).表2汇总三种反按揭评分结果，μ 为均值，σ 为标准差.
q 指数函数是非广延热力学中常用的一种变形代数，最早由Tsallis提出，因此也被称为Tsallis统计量[14].Cajueiro首次将q 指数函数引入跨期选择问题，并定义q 指数函数的倒数为q 指数贴现函数[8]，按q 指数函数贴现则a n 的现值为
Ar -d -dr .
(6)
代入式(3)得到利息通解为
S曲线过零点偏差是对失真信号测距偏差的一个标准度量参数，测距偏差受到多个因素影响，在相关间隔d1的情况下表达式为：
根据日常习惯，反按揭被设计为按月支付并以等额本息原则令同一年12个月的月收入相同，即将年支付款a n 平均分摊到月，每月收到的月供MPn 为
(7)
在选煤厂中，坚持个体防护，是防止粉尘对人体危害的重要措施。个体防护的主要措施是佩戴防尘口罩，使用最多是自吸式防尘口罩。它靠人体肺部吸气使空气通过口罩中的滤料，将粉尘滤掉，然后让清洁空气进入肺部。自吸式口罩可分为简易口罩(纱布，泡沫塑料)和带换气阀的口罩2种。
因此，秸秆作为一种低碳燃料，是不可多得的绿色可再生能源，在有效的排污保护措施下，秸秆直燃发电的发展将大大提高环境质量。利用秸秆资源直燃发电，不但可以增加发电量，缓解部分地区电力紧张问题，还可以减轻田间焚烧造成的环境压力。秸秆直燃发电后剩余的草木灰，含有丰富的钾、钙、镁等矿物质，也可以还田作为农作物肥料。此外，利用秸秆直燃发电可增加就业岗位，提高就业率及农民收入，创建和谐社会。
(8)
其中
为月利率.注意到a n 是年末数，式(8)表示a n 在年初的现值a n /(1+r )等于各月MP在年初的现值之和，故年末数a n 和月末数MPn 分别使用年利率r 和月利率
1.2 基于q 指数函数的分析
因此a n 为二阶等差数列，其通解为
(9)
反按揭合同现值M 为
结合专家经验以及相应的技术对各类气象灾害进行定性和定量的分析是建立气象预警机制的重要基础。而资料的积累和相关的技术支持及指标分析有赖于农业、气象等部门的紧密合作。但是，由于我国相关理念和技术出现较晚，缺乏长期的资料和经验累积，导致当前我国的农业气象技术研究的基础信息和数据的不足，难以有效的满足现代农业生产的需求。
两组治疗前VAS疼痛评分无统计学差异,治疗后,观察组患者的VAS疼痛评分明显低于对照组,两组比较差异均有显著性(均p<0.001)。见表1。
(10)
其中:V (M )为人们基于q 指数函数的主观贴现值，常数q 和r q 为q 指数函数的参数，注意到使用指数贴现函数时，a n 现值为a n /(1+r )，所以对于同一款反按揭，客户与金融企业估值不同.易知，当q →1,q 指数函数变为指数函数；当q →0, 变为简单双曲线函数[8-9].当1-q >0时，q 指数函数贴现率呈现动态不一致性，即短期高于指数函数贴现率，但远期高于指数函数贴现率，其瞬时贴现率DR(n )=-(dF (a n )/dn )/F (a n )=r q /(1+r q (1-q )n )随期限n 递减.而金融企业估值使用指数函数F ′(a n )=a n exp(-rn )，其瞬时贴现率DR′(n )=-(dF ′(a n )/dn )/F ′(a n )=r ，是一个常数[12].因此，q 指数函数的瞬时贴现率在近期高于指数函数的瞬时贴现率(DR(n )>DR′(n ))，但在远期则更低(DR(n )<DR′(n )).
可知对提供反按揭的金融企业，只要本金M 和反按揭利率r 一样，则不同还本方式的反按揭成本相同.但对参与反按揭的客户，其基于q 指数函数的估值函数V (M )是d 的增函数(d 越大意味着支付款越集中在远期，在远期人们的主观贴现率低于金融企业的贴现率，其主观估值高于金融企业估值).因此，对于本金递增(d >0)，本金递减(d <0)和本金不变(d =0)三种反按揭合同，显然有V (M )(d >0)>V (M )(d =0)>V (M )(d <0).据此提出假说:其他情况不变，客户对本金递增合同的估值最高，满意度最高.
2 三种反按揭合同满意度调查
假设总本金(房屋现值)M =150万元，反按揭利率年息为r =2%，期限15年，金融企业按月向客户支付款项，月利率
令d 代表相邻两年之间的还本差，即后一年偿还本金减前一年偿还本金之差.根据还本方式不同设计三种反按揭合同，分别令d =1万元，d =0，d =-1万元.其中d =-1万元为本金递减型(记为P 3)，第一年收到本金17万元，之后每年递减1万元；d =0为本金不变型(记为P 2)，每年收到本金为固定10万元(150万元/15年)；d =1万元为本金递增型(记为P 1)，第一年收到本金3万元，之后每年递增1万元.代入式(6)可得a n 通解，并根据式(8)可得三种合同每年的月支付款MPn ，即客户在15年里每月收到的养老金(由于三种合同本金还款顺序不同，故各年收入不同，但每一年中各月相同，见表1).
表1 三种反按揭合同月支付款
Table 1 Monthly payment of three reverse mortgages 元
根据表1设计调查问卷，调查对象被告知在无子女继承房屋的假设下考虑将现值150万元的自住房屋进行15年反按揭作为补充养老金.有三种反按揭合约可供选择，由于房主延迟取得房款，故提供反按揭的金融企业会对延迟部分支付利息，房主在15年中收到的总款项将高于150万，三种合同的利率均为年息2%，合同之间的惟一区别在于还本先后顺序不同.问卷还列明三种合同月支付款详细信息(表1)，调查对象在仔细阅读合同内容和月支付款后需对三种方案进行满意度评分，分值范围1～7，满意度越高，分值越高，7表示最满意，1表示完全不考虑.
3 调查结果分析
比较式(4)，(5)易知a n =a n-1 +d -A n-1 r .注意到，a n -a n-1 =d -A n-1 r ，a n-1 -a n-2 =d -A n-2 r ，相减后有(a n -a n-1 )-(a n-1 -a n-2 )=(d -A n-1 r )-(d -A n-2 r )=-dr .
由于三种合同利率相同，对提供反按揭的金融企业没有任何区别.但表2显示人们更偏好本金递增型的反按揭合同P 1(μ =5.1).P 1满意度评分均值高于其他两种合同，男女两性均表现出相同趋势，P 1的女性评分均值μ =5.24，男性评分均值μ =4.7，均高于P 2和P 3的男性和女性评分.
表2 三种反按揭评分
Table 2 Evaluation of three reverse mortgages
在描述性统计结果基础上进一步检验差异的显著性.使用SPSS作Kolmogorov-Smirnov检验发现部分样本不符合正态分布，故采用Kruskal-Wallis进行非参数ANOVA检验.表3结果显示组间值在99%置信度水平下差异显著(sig=3.74E-3<0.01).
表3 Kolmogorov-Smirnov和Kruskal-Wallis检验结果
Table 3 Kolmogorov-Smirnov and Kruskal-Wallis test results
图1检验结果发现P 1的平均秩为3，P 2的平均秩为2，P 3的平均秩为1.调查问卷评分的原始赋值在[1,7]之间，分数越高满意度越高，而Kruskal-Wallis检验结果按升序排列结果，故平均秩高代表统计意义上满意度显著高，即P 1满意度显著高于P 2，P 2满意度显著高于P 3.统计结果验证了假说，可得结论1.
称取冬凌草和麸皮于250 ml三角烧瓶中，装瓶量为20 g，加入基础营养盐液，用玻璃棒搅拌均匀，然后用透气封口膜封口，于灭菌锅内121℃灭菌20 min。灭菌完成后，在超净工作台中，用移液枪吸取所需体积的黑曲霉孢子悬液于三角烧瓶中，用灭过菌的玻璃棒搅拌均匀，用封口膜封口后，放入霉菌培养箱培养72 h，间隔一定时间摇动拍打三角烧瓶，使均匀发酵。发酵结束后，测定发酵产物中纤维素酶活力，探究最优发酵条件。
图1 按反按揭类别的Kruskal-Wallis检验结果
Fig.1 Results of Kruskal-Wallis test sorted by reverse mortgages types
结论1 反按揭的本金支付越集中在前期，客户的满意度越高.
进一步按性别分析，图2和图3检验结果均显示P 1平均秩为3，P 2平均秩为2，P 3平均秩为1.说明无论性别，本金递增反按揭的满意度评分在统计上显著高于本金不变和本金递减方案，即V (M )(d =1万元)>V (M )(d =0)>V (M )(d =-1万元).显然客户对反按揭的主观估值是d 的增函数，该结果符合q 指数贴现函数的假设，因此有推论1.
对照组患者护理前心理健康指标汉密尔顿焦虑、抑郁指数评分24.11±8.36分、24.33±8.44分，护理后心理健康指标汉密尔顿焦虑、抑郁指数评分16.12±5.36分、16.33±5.41分；试验组患者护理前心理健康指标汉密尔顿焦虑、抑郁指数评分24.11±8.32分、24.33±8.44分，护理后心理健康指标汉密尔顿焦虑、抑郁指数评分6.11±1.21分、5.33±1.41分。
推论1 研究客户对反按揭的主观估值时，q 指数贴现函数优于指数贴现函数.
图2 男性Kruskal-Wallis检验结果
Fig.2 Results of Kruskal-Wallis test of male participants
图3 女性Kruskal-Wallis检验结果
Fig.2 Results of Kruskal-Wallis test of female participants
4 结 论
1) 反按揭的本金支付越集中在前期，客户的满意度越高.
2) 研究客户对反按揭的主观估值时，q 指数贴现函数优于指数贴现函数.
参考文献：
[1] Loewenstein G F,Prelec D.Anomalies in intertemporal choice:evidence and an interpretation[J].Quarterly Journal of Economics ,1992,57(1):573-598.
[2] Laibson D.Golden eggs and hyperbolic discounting[J].Quarterly Journal of Economics ,1997,62(1):443-478.
[3] Diamond P,Koszegi B.Quasi-hyperbolic discounting and retirement[J].Journal of Public Economics ,2003,87(9):1839-1872.
[4] Angeletos G,Laibson D,Repetto A,et al.The hyperbolic consumption model:calibration,simulation,and empirical evaluation[J].Journal of Economic Perspectives ,2001,15(3):47-68.
[5] Lu Y,Wu D,Zhuang X T.Part-whole bias in intertemporal choice:An empirical study of additive assumption[J].Physica A ,2016,463(1):231-235.
[6] Lu Y,Zhuang X T.Impact of gender and working experience on intertemporal choices[J].Physica A ,2014,409(1):146-153.
[7] Strotz R H.Myopia and inconsistency in dynamic utility maximization[J].Review of Economic Studies ,1955,23(3):165-180.
[8] Cajueiro D O.A note on the relevance of the q -exponential function in the context of intertemporal choices[J].Physica A ,2006,364(1):385-388.
[9] Takahashi T.Theoretical frameworks for neuroeconomics of intertemporal choice[J].Journal of Neuroscience ，Psychology ，and Economics ,2009,2(1):75-90.
[10] Han R K,Takahashi T.Psychophysics of time perception and valuation in temporal discounting of gain and loss[J].Physica A ,2012,391(24):6568-6576.
[11] Gustman A L,Steinmeier T L.Policy effects in hyperbolic vs.exponential models of consumption and retirement[J].Journal of Public Economics ,2012,96(5/6):465-473.
[12] Takahashi T.A comparison of intertemporal choices for oneself versus someone else based on Tsallis’ statistics[J].Physica A ,2007,385(2):637-644.
[13] Rambaud S C,Torrecillas M J.A generalization of the q -exponential discounting function[J].Physica A ,2013,392(14):3045-3050.
[14] Tsallis C.What are the numbers that experiments provide?[J].Qu ímica Nova ,1994,17(6):468-471.
[15] Hoelzl E,Kamleitner B,Kirchler E.Loan repayment plans as sequences of installments[J].Journal of Economic Psychology ,2011,32(4):621-631.
[16] Wonder N,Wilhelm W,Fewings D.The financial rationality of consumer loan choices:Revealed preferences concerning interest rates,down payments,contract length and rebates[J].Journal of Consumer Affairs ,2008,42(2):243-270.
[17] Thaler R.Mental accounting and consumer choice[J].Marketing Science ,2008,27(1):15-25.
[18] Rambaud S C,Pascual J L,Alvarez M.Preferences over sequences of payments:A new validation of the q -exponential discounting[J].Physica A ,2019,515(1):332-345.
Research on Payment Preferences for Reverse Mortgage Based on q -Exponential Discount Function
LU Yang ,WANG Jian ,ZHUANG Xin -tian
(School of Business Administration, Northeastern University, Shenyang 110169, China. Corresponding author: LU Yang, E-mail: ylu@mail.neu.edu.cn)
Abstract ： In order to examine the payment preferences for reverse mortgage, the reverse mortgage models were established based on the exponential discount and q -exponential discount function, whose general solutions were obtained. Then, three reverse mortgages were designed with three different repayment plans (falling, constant, and rising). A satisfaction survey of the mortgage plans was conducted, and it was found that the values of the mortgages are the same using the exponential discount function but are different using the q -exponential discount function. The results showed that the rising profile is better evaluated than the other two options, and the falling profile is less evaluated than the other two. This indicates that financial institutions can improve their clients′ satisfaction of reverse mortgage without any interest rate hike by changing payment preferences.
Key words ：q -exponential function; intertemporal decision making; reverse mortgage; econophysics; reverse mortgage
中图分类号： F 830
文献标志码： A
文章编号： 1005-3026(2019)12-1796-04
收稿日期： 2019-03-12
基金项目： 国家自然科学基金资助项目(71571038)； 辽宁省自然科学基金资助项目(20180550441)； 中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(N180604006).
作者简介： 陆 阳(1978-)，男，辽宁沈阳人，东北大学讲师，博士； 王 健(1980-)，女，河北唐山人，东北大学教授； 庄新田(1956-)，男，吉林四平人，东北大学教授，博士生导师.
doi： 10.12068/j.issn.1005-3026.2019.12.023
标签：q指数函数论文; 跨期决策论文; 反按揭论文; 经济物理学论文; 东北大学工商管理学院论文;