基于票额分配的高速铁路动态定价分治优化方法
邓连波，曾宁鑫，陈雨欣，肖龙文
(中南大学 交通运输工程学院，湖南 长沙 410075)
摘 要：研究基于票额分配的高速铁路多列车多OD的动态定价问题。以多列车的总收益最大为目标函数，建立多列车多OD的动态定价和票额分配联合优化模型，并在约束条件中充分考虑实际运营的需要。设计了将模型分解为双层规划的分治优化方法，通过票额分配与动态票价的分治优化，有效降低该类大规模问题的求解难度，并提高了求解效率。最后用20列车350个乘车OD的大型算例对模型和方法进行验证，为高速铁路动态定价的实际应用提供支持与参考。
关键词：高速铁路；动态定价；票额分配；多列车；分治优化
随着中国高铁网络的迅速发展，中国已经从政策层面逐步放开了高铁的自主定价权，并在部分线路上进行了尝试。在政策实施的大背景下，借鉴其他行业应用收益管理的成功经验，将收益管理理论与方法应用到我国高速铁路票价制定体系中，对提升高速铁路的运营效率和收益具有重要的现实意义。收益管理的主要内容包括需求预测、超售、座位分配和动态定价4个部分。对于铁路行业而言，动态定价和座位分配是最适用的策略和手段。国内外学者对动态定价和座位分配问题大部分针对2个问题单独研究。Weatherford[1]首先考虑了定价和座位分配联合优化问题，研究对象是民航的单航班。此后FENG等[2−3]也研究了单航班的定价和座位分配联合优化问题。Chew等[4]研究了单一产品动态定价和座位分配联合优化的一般问题。而Kuyumcu等[5−9]研究了多航班的动态定价和座位分配联合优化的问题。在铁路研究领域，Ongprasert[10]研究了与民航竞争环境下日本城际高速铁路的座位分配问题，提出了考虑乘客选择和折扣票价的多列车多OD座位分配模型。Hetrakul等[11]利用数学规划模型研究了城际铁路多列车多OD的定价和座位分配问题。杨宇航等[12]基于旅客对票价变化的敏感程度研究了高速铁路多列车差别定价策略。郑金子[13]研究了多列车多阶段的动态定价问题，在每一阶段进行差异化定价，对整个模型采用近似动态规划方法求解。宋文波等[14]研究了单列车多OD动态定价与票额分配综合优化问题，运用稳健优化方法对模型进行求解。赵翔等[15]利用票价和票额综合优化，研究了高速铁路多列车差别定价方法。上述大部分文献提出的方法仍然不具有普适性或只适用于小规模问题，并且在考虑座位分配时大都是从乘客的角度出发，基于乘客的效用或选择来“被动”进行座位分配。本文在座位分配和动态定价时均以收益最大化为目标，建立多列车多乘车OD的动态定价和座位分配联合优化模型，采用分治优化的方法来降低求解难度。
1 问题描述
1.1 基本假设
1) 假设只考虑单一线路一个方向的情况，多列车、多停站。在同一OD对起终点车站设置了停站的列车集可以互相视作可替代品，各趟列车具有不同起讫点和停站方案。
2) 假定各OD对之间的出行需求是相互独立的。各个OD选择某一列车的客流共同构成列车相邻停站区间的断面流，需要满足列车能力约束。
3) 不同旅客愿意支付不同的价格购买相同的座位。每趟列车的定价、速度(旅行时间)和乘降时刻等会影响乘客出行行为。同时忽略因票价波动发生的退票情况。
4) 假定需求函数已知，不同OD的需求弹性在同一时间相同。将预售期划分为若干售票时段，根据每个售票时段开始时各OD的剩余席位数，确定该时段计划发售车票的票价和数量。
1.2 符号定义
给定具有n个车站的高铁线路L，车站序号从某一方向依次记为1,2,…,n。记线路L上某一方向所有O-D对的集合为W，任意O-D对
。记线路L上某一天发车的全部列车集为H，对于任意列车h，记C(h)为定员数，其起讫点为u和v，
，其停站数(包括始发站和终到站)为n(h)，列车h在线路L上停车的第j个停站表示为
，若nh(j)所对应的车站为
，则记为
，同样记
，则可得列车h的第j个停站区间为
。服务于O-D对(r,s)的列车集记为Hrs，对h∈Hrs，其停站集合为A，存在
，满足
，
，旅客的乘车路径由其所乘坐列车的各个停站区间拼接而成，记
为O-D对(r,s)间乘车路径与列车h第j个停站区间的关系变量，若O-D对(r,s)的乘车路径包含了列车h第j个停站区间，则
，若不包含该停站区间则
。将铁路客票预售期划分为K个时段，最早一个时段为时段1，最晚一个时段为时段K。
上述模型可以等价转换成一个双层规划模型，其中上层主规划模型是多列车多乘车OD的票额分配模型，下层子规划模型是单列车单乘车OD的动态定价模型，将多列车的动态价格策略问题分解为多列车的票额分配计划和各列车各乘车OD的动态定价策略2部分。
在预售期内，(r,s)选择列车h的客流
乘客平均价格
可表示为
(1)
采用广义费用的指数函数来刻画客流需求。给定O-D对(r,s)，具有相同O-D对(r,s)的全部高铁旅客运输产品的分时段弹性需求函数可以描述为以下形式
其他约束条件与式(7)，(9)，(10)和(11)一致。
(2)
其中：
为服务于阶段k中O-D对(r,s)所有列车的旅客平均出行费用；
为O-D对(r,s)费用的一个初始值；
为O-D对(r,s)的初始费用对应出行需求；
为弹性系数，满足
。通常越临近发车时间，越小。客流广义费用由旅行时间折算的时间价值与客票价格支出2部分，记旅客的出行时间为
，时间价值为v，定义旅客搭乘列车h的广义费用为
(3)
所以，服务于O-D对(r,s)所有列车的每个旅客平均费用
(4)
对于O-D对(r,s)时段k需求的总和
，将其视作该O-D对时段k的总票额，铁路运营部门根据收益最大化原则进行票额分配，以票额分配的结果来刚性地分配客流，不考虑旅客个体在列车间的选择行为。
2 模型构建
以
和
为决策变量，构造动态定价和票额分配的联合数学规划模型如下：
以所有列车所有乘车OD各个售票时段的总售票收益最大化为优化目标，目标函数为
(5)
约束条件包含了列车能力约束，非负约束和各类票价约束。
1) 每一趟列车各区间的能力约束。
(6)
2) 售票数量非负约束。
在众多轨道站点中，轨道换乘站的重要性更加突出，承担着提高换乘效率的职能. 2015年轨道交通路网日均进站量大于4万人次的17个车站中，有12个站点存在换乘的轨道线路. 在工作日高峰时段，轨道换乘站内客流密度很大，部分瓶颈位置极易发生客流拥塞现象，为换乘站的客运管理带来了不可忽视的安全隐患.
(7)
3) 售票数量不大于需求量。
(8)
4) 票价上下界约束：任何时段、任何列车、任何点对的票价均满足上下限的约束。
(9)
5) 同一列车长程票价不低于短程票价。
(10)
6) 同一列车、同一点对的票价随着发车时间的接近而单调增加(或者不下降)。
(11)
对于任何列车
和
，记其全额票价为
，票价上界为
，票价下界为
。一般地，，与间满足
，也即要求售票价格不得超过全额票价。而在售票过程中，和还受到乘车区段间的票价关系制约，如同一列车同一售票时段内长短乘车区段票价不能“倒挂”，因此和在售票期内是动态变化的。购票旅客数量为，时段k的票价为
，时段k的实际售票数量为
，
和
是票价和售票数量的变化量，线路L某一方向所有列车的售票收入为R。
2.1 上层主规划模型：票额分配模型(M1)
以所有列车所有乘车OD各个售票时段的总售票收益最大化为优化目标，目标函数为：
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(12)
胡适认为生命的意义“在于自己怎样生活”，若能坚定地“用此生作点有意义的事”，“活一日便有一日的意义，作一事便添一事的意义，生命无穷，生命的意义也无穷了”[注]胡适：《人生有何意义》，胡适著、欧阳哲生编：《胡适文集》第4册，北京：北京大学出版社，2013年，第571页。 。时间造就生命。他呼吁“无量平常人”要积极参与历史进程，倡导“健全的个人主义”，即作为生命个体存在的“我”不仅要做“进化”洪流中图存的“适者”，更要负责任地创造无穷时空中的“不朽”；不仅要有时间急迫感，追求“经济”的时间，更要自主地驾驭“闲暇”时间，充分发展自我，实现个性。胡适对“个人”的大力弘扬，也标志着个体时间意识的觉醒。
综上所述，与常规缩宫素治疗进行比较，对妊娠期高血压产妇剖宫产术患者实施卡贝缩宫素可以获得更好的产后出血预防效果，减少产妇术后出血量，且对新生儿健康无影响，不良反应轻微，是一种安全有效的预防方案。
约束条件仅包含预售期内各列车的能力约束。
(13)
2.2 下层子规划模型：单列车单乘车OD的动态定价模型(M2)
以单列车单乘车OD各个售票时段的总售票收益最大化为优化目标，目标函数为：
(14)
模型M2以
为决策变量，而
可由求出。根据式(2)，在其他列车票价不变的情况下，由引起的需求变化量
即为对应售票量变化量，再结合式(4)可得：
(15)
将式(15)变换可得
在整个社会热议工匠精神的过程中，提及最多的学习对象是德国和日本。纵观这两个国家的工业发展史，不难发现他们都分别经历了“学习他国——仿造——研究——创新”的过程。
其中：票价采用列车h的售票期内的平均价格
表示，售票数量也采用售票期内的全部售票票额
表示。其中和可根据下层规划中的和求得。
(16)
根据上述推导的
和
的关系，易于得出和的关系。
约束条件包含乘车OD的票额约束、售票数量非负约束和各类票价约束。
设模型M1的改进方向为
，用一阶导数来表示和之间的关系，可得模型M1的等价模型M1’。以所有列车所有乘车OD各时段的总收益最大化为优化目标，目标函数为：
(17)
二是要尽快解决县镇学校大班额问题。据统计，目前贫困地区小学、初中的大班额分别占13.9%和37.1%。各地要严格按照已备案的农村义务教育学校布局专项规划，科学调整学校布局，合理配置教育资源，避免因撤并过快导致学生向县镇过度集中。要疏堵结合，一方面对大班额现象严重的学校，要限制招生人数；另一方面要采取新建、扩建、改建以及学校联盟等措施，挖掘学校潜力，扩大优质教育资源，合理分流学生。
3 模型求解
该乘车OD的票额约束为
4.1 增强基层中医师岗位吸引力和全科医师吸引力 尽快出台吸引中医人才，聚集中医人才，留住中医人才的政策，提高基层中医师、全科医师薪酬待遇，增强岗位吸引力。一是突破“托底限峰”政策，把收支结余中不低于40%的部分用于人员奖励，激发基层中医师的活力。二是设定单独的职称评审组，优化职称评审条件。三是建立退出机制，对符合条件的优先调至区县医疗卫生机构工作或进行学历提升等。四是建立基层工作优惠政策，对长期在基层的医务人员在工资、住房等待遇方面、子女升学和参军与参公方面给予特殊政策。
(18)
其中：由于
，当较小时，可以认为其变化量主要集中在某一个，并且票价与售票量是负相关的，即
，所以为了使收益最大化，可得
，
(19)
再结合式(1)，可得
首先，在用文献［1］的数据对计算方法进行确认后，再对TS02采用完整检定法获取的数据进行处理，即按照式（4）～式（9）计算出计算用三角形各顶点的坐标；然后按照文献［7］的四参数法进行坐标系旋转，获得TS02的平面位置精度SXY =0.72 mm，按照式（15）～式（17）获得高程精度SZ =4.14 mm。
，
(20)
然后再对式(2)的等式两边同时对求导，并结合式(3)~(4)，求解
可得：
1) 以初始需求为售票分配量
，全额票价
作为问题的初始解。
(21)
将式(21)代入式(20)，可得：
(22)
约束条件包含能力约束和售票数量非负约束。能力约束与式(13)一致，非负约束如下：
湖口县汉族女性MTHFR C677T位点的基因型分布与尚志、乌鲁木齐、长春、涞水、银川、淄博、新乡、镇江、眉山、荆州、惠州、柳州和琼海等地差异有统计学意义(P<0.05)；MTHFR A1298C位点的基因型分布与尚志、长春、涞水、淄博、新乡、镇江、惠州、柳州和琼海等地差异有统计学意义(P<0.05)；MTRR A66G位点的基因型分布与长春、淄博、新乡、镇江、荆州和琼海等地有统计学意义(P<0.05)。
,
(23)
由
得到新的
后，再求解模型M2，得到新的和。具体的求解流程如图1，步骤如图1所示。
校企合作模式在汽车营销教学中的应用，通过同企业建立起良好的合作关系，能够将校企合作贯穿在整个教学活动当中，实现人才培养的准确定位。并且能够及时解决学生实践当中遇到的问题，既巩固和复习了学习的理论知识，又能够进行顶岗实训同老员工以及营销市场进行密切的接触，实现了教学与实训的有效配合，改善了传统教学模式给学生带来的无趣、乏味的问题，还为综合能力强的学生提供了展示自我的平台，有利于增加学生工作和学习的热情。
2) 求解模型M1’，获得改进量。
HIBD是新生儿脑损伤主要疾病，主要原因为缺氧缺血，缺氧缺血造成细胞异常能量代谢，在此基础上产生一系列瀑布效应，导致病理生理学的改变，使脑血流量减少，进一步加重细胞能量代谢障碍，两者互为因果，共同促进形成。如果再合并灌注性损伤、钙超载、炎症反应、兴奋性氨基酸毒性作用及氧自由基等等，最终易导致细胞永久性死亡[3-5]。
3) 判断收敛条件，当
或总收益在连续N次迭代中没有改进，输出总收益最高的和作为最优解。
4) 由上层规划得到的列车分配票额增量，
，对所有列车上的所有乘车OD逐一求解模型M2，得到新的和。
5) 返回2)。
该方法通过模型分解有效降低了求解难度。模型中，M1’求解宏观票额分配这一静态问题，约束条件是线性的，是高维二次规划问题，M2求解票额分配下单列车单乘车OD的动态票价，是维数较低的非线性规划问题，同时可以在前次求解方案的邻域内迭代，提高了求解效率。
图1 模型求解流程图
Fig. 1 Flow chart of model solution
4 算例分析
选取2014年7月1日武汉站到深圳北站这一段线路下行方向的20趟列车作为优化对象。20趟列车包含了该段线路上各种起讫点，具体如表1 所示。
表1 算例列车组成表
Table 1 Train composition in the example
其中G1003，G1011和G1133为16辆编组，定员1 118人；其余列车为8辆编组，定员559人。相同起讫点的列车之间停站方案各不相同，且发车时间分布于全天的不同时段。沿线20个客运站均至少有一列车停靠，20趟列车覆盖了区段内绝大多数OD。20趟列车中，最多的中间停站数为8站，最少为1站，总共包含了350个乘车OD。模型中初始票价集也即全额票价、初始售票数量集、各列车各乘车OD的旅行时间均可通过原始数据获得。同时参照文献[13]，取v=0.5元/min。令预售期时段数K=4，本文令第4时段销售的车票均按全额票价销售，且需求不变，其他3个时段的弹性系数分别为2.1，9和1.8。预售期为30 d，按照18，6，4和2 d的时长依次划分。在时段划分确定之后即可通过原始数据处理得到
和
等分时段的初始数据。然后利用MATLAB2016a编程来求解模型。
从求解结果可以看到，用上述模型和方法进行求解能较快得到收敛，收敛条件为“
”或“总收益在连续N次迭代中没有改进”，其中具体取值为ε=0.5和N=10，两者满足其一即视为达到收敛。收敛后总收益在3 521 400~3 522 000之间小幅振荡。由于前5次结果起伏较大，尚未稳定，将其筛选排除后在第13次迭代中得到最高收益3 521 954元，较之优化前的总收益3 446 569元增加了75 383元，收益增长率2.19%。而且在迭代8次后，除了少数列车的个别乘车OD在售票数量上仍在小幅振荡之外，总客座公里也趋于稳定，稳定后总客座公里在8 033 000~8 035 000的范围小幅振荡，第13次迭代后为803 4821 km，较优化前的7 299 341 km增加了735 480 km，增长了10.08%，这说明优化后在收益增长的同时列车的客座率也有提高，有效减少了运能的浪费。在迭代8次后绝大部分OD在各阶段的票价和售票数量都已趋于稳定，且都满足模型中各项约束条件。收敛情况如图2所示。
图2 总收益收敛图
Fig. 2 Convergence of total returns
图3 总客座公里收敛图
Fig. 3 Convergence of total passenger kilometers
表2 G6215次列车的优化前后结果对比
Table 2 Comparison of results before and after optimization of G6115 train
为了更直观地呈现优化后的结果，选取从广州南到深圳北的G6215次列车，以表格的形式对优化前后的结果进行对比。从表2可以看出，优化后各OD各阶段的票价均满足模型中各项约束条件，是可行的。同时典型列车的在收益和客座公里在8次以后也都趋于收敛。
5 结论
1) 构建以多列车总收益最大化为目标函数的数学规划模型，并从实际运营的角度考虑，将列车能力限制、票价的各种约束纳入了约束条件，使模型更贴近现实需求。
课堂教学是高校思想政治理论课的主要教学手段，在多年来的高校思想政治理论课教学发挥了重要的作用，并取得了丰硕的教学成果。新媒体新技术时代的到来极大地缓解了课堂教学的压力，有效地弥补了课堂教学手段单一的不足。思政课教师可以根据教学内容，选取个别知识点和重难点，将图片、文字、视频、讲授结合起来，精心设计并制作微课视频，通过学校网站展示、学生微信平台转发等形式让学生在课余时间观看，这种做法客观上促使传统的单向灌输教学模式向多主体的学生自主学习模式的转变。
2) 在求解时针对问题规模较大的情况，提出分治策略的求解方法，通过将模型分解为双层规划模型的等价变换，利用票额分配与动态票价的分治求解，有效降低了求解难度，并有效利用解的邻域进行搜索，提高了求解效率。
3) 以实际运营情况作为基础数据进行了20列车总计350个乘车OD的大规模算例分析。优化后收益增长了2.19%，且快速收敛，得到了各方面均符合预期的结果，验证了模型的正确性和求解方法的有效性。
对于“全省经济副中心”的定义，四川省给出了明确的“达标量”——经济总量3000至4000亿元左右，基本相当于四川全省经济总量的10%左右。
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A divide-and-conquer optimization method for dynamic pricing of high-speed railway based on seat allocation
DENG Lianbo, ZENG Ningxin, CHEN Yuxin, XIAO Longwen
(School of Traffic and Transportation Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)
Abstract: This paper studies the dynamic pricing problem based on seat allocation of multiple trains and multiple O-D itineraries on high speed railway. Take the maximum total revenue of multiple trains as the objective function. A joint optimization model of dynamic pricing and seat allocation for multiple trains and multiple O-D itineraries was established. The actual operation requirements were fully considered in the constraint conditions. The model was decomposed into a bilevel programming to solve the problem. Dynamic price and seat allocation were optimized by divide-and-conquer method. The difficulty of solving this kind of large-scale problem was reduced effectively. And improve the solving efficiency. Finally, the model and method were verified with a large scale of example with 20 trains and 350 O-D itineraries. It provided support and reference for the practical application of dynamic pricing.
Key words:high speed railway; dynamic pricing; seat allocation; multiple trains; divide-and-conquer optimization
中图分类号：U293
文献标志码：A
文章编号：1672 − 7029(2019)10− 2407 − 07
DOI:10.19713/j.cnki.43−1423/u.2019.10.004
收稿日期：2019−01−15
基金项目：国家自然科学基金资助项目(71471179)；中国铁路总公司重点课题(N2018X009)
通信作者：邓连波(1977−)，男，辽宁昌图人，教授，从事交通运输规划与管理研究；E−mail：lbdeng@csu.edu.cn
(编辑 阳丽霞)