从信息效应的视野审视数学推理教学，本文主要内容关键词为：视野论文,效应论文,数学论文,信息论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
加涅把信息加工过程依次分为：注意刺激、信息编码、储存信息、提取信息4个阶段.尽管将信息加工过程分为以上4个阶段还只是大家公认的理论推测，实验中还难以对它们划出明确的界线.现代心理学的大量研究表明，个人登记、编码、储存和提取信息，不可能是分别单独进行的，信息加工过程的几个阶段密切联系甚至存在着某种重叠.但是，这个模式对有机体内信息加工过程的描述与分析，可以解释人类的许多思维过程，使人类的高级心理过程不再那么神秘[1].加涅的信息加工理论如何应用到数学学科教学上是很值得研究的话题，尤其对数学活动的灵魂——数学推理，更值得重新审视.
数学推理是依据逻辑规则所进行的在数学上的推理活动，是数学思维的重要形式.若“结论A”得出“结论B”，人们将“结论A”称之为“结论B”的充分条件，“结论B”称之为“结论A”的必要条件.这种推理方式铸成了整座“数学大厦”，然而，在人们进行数学思考的过程中，伴随着的却是一种由“结论A”将产生怎样的“信息效应C”或由“结论B”将产生怎样的“信息效应D”的摸索过程.因此，有必要将“冷冰冰”的演绎过程放大到“火热”的“信息效应”过程进行探究，或许能够找到数学及数学教育研究的新视野.为此，研究者整合及探索相关的信息加工理论，对数学推理过程进行重新审视，以期能够让人们更加清楚数学教学过程中应该遵循的一些基本规律.
一、基于信息效应观下的推理现象探析
所谓的信息效应是指外界传递给人们某个信息的时候，人们所产生的信息加工现象.这种信息加工是依据信息接收者的认知情况所进行的，人们从信息A经过加工得到信息B的依据是过去所获得的知识及经验，而且往往属于一种“高概率”的“推理模式”.数学上的演绎推理仅仅属于人类目前认可的被称之为“概率为1”的推理，所遵循的是逻辑上的“三段论”.在其他学科上所进行的推理却不一定实施概率为1的推理，汉字上的一些用词（如“往往”、“很可能”、“经常”、“一般地”、“通常”等）都是一些人文社科类进行信息加工的“推理用词”，数学上的思考也离不开这种信息加工方式.
（一）上位信息与下位信息
若由“信息A”产生了“信息B”的效应，称“信息A”是“信息B”的上位信息，而称“信息B”是“信息A”的下位信息.如果“信息A”既是“信息B”的上位信息又是“信息B”的下位信息，此时称“信息A”为“信息B”的等位信息.这样的“定义”与数学上的“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”提法既有联系又有区别.第一，它们都研究的是由“前提”得出“结论”的“推理”模式，都是研究人们的思考与推理方式.第二，“信息A”及“信息B”都是指能够激发人们反应的信息，不一定属于数学上的“条件”，一个点、一个符号、一个读音都可以纳入“信息”范畴，从这个意义上讲，“上位信息”、“下位信息”的提法范畴更广，视野也更开阔.第三，产生信息效应是依据个人经验及周围信息环境而确定的，个人思考往往“依概率”进行的，情况复杂多了，不仅考虑依概率为1的演绎推理，而且也把依高概率的合情推理也纳入视野中.第四，数学是讲究依概率为1的推理而形成的科学，而这里所提的“上位信息”“下位信息”是研究人们进行数学思考规律而采取的信息效应观，是借鉴数学推理模式及其他人文学科思维模式所采取的一种提法，它使数学教学过程中的种种现象研究的视野更为开阔.第五，这是一种把数学推理因素考虑得更加复杂化的数学推理研究模式，这种推理研究的方式是“非线性”的（即并非由A到B的推理.而是由A中的某个信息片段联想到结论C的信息效应，那么，一个条件A蕴涵多个信息片段，因此可能让人联想到多个结论的信息效应，属于一种多向发散的信息效应，故称“非线性”），其研究难度显然要大得多，是基于环境、个人因素、人类一般思维规律等综合因素考虑的一种试图拓广人们研究和学习数学思维规律的视野而提出的.由于“上位信息”、“下位信息”为研究者首次提出，便于大家理解，不妨举两个例子来说明.
（1）等腰三角形两底角相等，那么，“有两个角相等”而得出“三角形是等腰三角形”的概率“很大”，如果得到的概率为1，那么，就是通常所说的“充要条件”，很多数学上的充要条件及数学发现都是在这种信息效应下获得成功的.
（2）有些学生把小于1的高概率推理的信息加工理解为“概率为1”，那么就是通常所说的推理错误甚至“思维混乱”.例如，偶函数一般是没有反函数的，但有些学生得出“偶函数没有反函数”的结论却是错误的命题，很多数学公式、定理、法则都是“有条件”的，这些“条件”能够“确保”所进行推理的正确性“概率为1”，然而，一些学生对这些条件往往忽略或视而不见，导致数学推理上的错误频发.
为什么有些学生会经常把命题成立的充分性、必要性搞混？其中一种原因在于上位信息、下位信息处于同一个信息加工库中没有进行进一步等位性加工（即确认两个信息加工方向得到的概率均为1）所导致的混淆，经常出现的一种情况是对信息表述的内涵方式及外延方式的“一致性”没有进一步辨析.举一个例子：棱柱的概念，初中阶段接触棱柱的概念都是一些具体的棱柱在脑子中所形成的印象，属于外延性概念教学引导方式，学生看到的棱柱都是“有两个面平行，其余各个面都是平行四边形”，他们往往就把“由这些面所围成的几何体”称之为棱柱，导致内涵表述的错误.在数学上，概念教学往往需要进行“等位信息”加工的环节，尽管这个环节需要考虑学生及具体的概念情况教师要有所控制，但这个环节教师一般是很重视的，因为这个环节对学生的思维训练是很重要的.
（二）信息加工模块的激活
布鲁克斯（R.Brooks）认为：“传统的方案把智能分解为一些功能性信息加工模块，系统的整体行为来自于这些模块的组合.身体基础方案（physical grounding project）①则是把智能分解为产生模块的个体行为，这些行为产生的模块之间的共存和合作形成更加复杂的行为.”[2]人们在生活中为适应环境逐步积累起经验，也为了提高工作效率而采取信息加工模块策略，生活中的“一日被蛇咬，十年怕井绳”就是这个信息模块效应的典型案例，由于绳子的样子很像蛇，所以很容易让曾经被蛇咬过的人产生当时的信息模块加工效应.数学上所采取的符号、概念、公式、法则、定理、公理的教学，本质上就是一种信息加工模块的教学.数学工作者（包括学习者）看到符号“sin”，就会本能地产生“正弦函数”的信息加工效应.有学者认为，固定化的逻辑推理可以形成“思维块”，“思维块”的应用又导致思维的跳跃性；合情推理中有很多的直觉思维，直觉思维又有“模糊性”[3].那么这种“跳跃性”及“模糊性”是如何解释的呢？数学上的思维过程与个别信息导致蕴含该信息的整个信息模块产生了加工效应，也就是说，一个信息加工模块中的“信息碎片”产生了另一个信息加工模块的加工效应，有时两信息模块很难找到它们有什么“必然联系”，这就是通常所说的思维“跳跃性”.同时，一个信息加工模块中的哪些信息且这些信息是通过如何手段激活其他信息模块进行加工的与信息加工者的记忆力、即时的信息加工环境等很多复杂因素有关，故只能用“模糊性”来描述人们的一些思维活动现象.因此，如何激发有效的信息效应很值得大家深入研究，而且也是一线数学教师可深入探索的教学实证研究课题.
这里举一个简单的例子：在等边三角形ABC所在平面内有一点D，满足AD=AC，求∠BDC的度数（图1）.研究者对这个题进行过实验，发现把题中的字母A改为字母O（图2），学生更能够想到用圆周角定理来解决，字母O的使用激发了学生的联想.
从某种意义上说，“触景生情”就是指信息加工模块的激活现象，现代数学教育强调情景教学，其实就是强调情景信息激活原有的信息加工模块，使其进行有效地加工.然而，一旦进入某个信息加工模块，如何进行继续加工，必然会遇到信息“激发链”的问题，即当激活一个信息加工模块后，发现加工并不顺利，需要从这个信息加工模块中解脱出来进入其他信息加工模块，这需要从加工过程及加工策略调整获得的信息中激发其他信息加工模块.
（三）数学推理的信息导向
前面提到的上位信息，实际上是一些“信息源”的组合.这个组合体中的每一个“信息碎片”及部分组合都可能激发信息的下一步加工，教学过程中的导向就显得非常重要[4].因为正确的导向既含有数学思想方法的教育，同时又让学生感悟捕捉相关信息的敏感性.
限于篇幅，仅描述其中的一个片段.该问题有很多“信息碎片”：“根号”、“平方”、“两数的和大于第三数”等.这些“信息碎片”及组合中，到底能够激活哪些已有的信息加工模块是问题解决的关键.显然，学生在观察问题的时候，脑子里就一直在思考，以期获得“灵光一闪”的“东西”，这个“东西”就是指能够有效激活以往已经建立起来的信息加工模块或促使形成“信息模块串”.学生在平时学习过程中已经建立起很多数学信息加工模块，他们解决每一个问题都要不断地观察并在头脑中进行检索，这个过程就是获取有价值信息并有效激活与该问题能够顺利解决的信息加工模块过程.在这个过程中，教师的教学导向就显得至关重要了，中国一直重视启发式教学，从某个角度上讲，所谓的启发式教学就是对学生已有信息加工模块的激活及“有效链接”.就这个例子而言，有些学生一听到“数形结合”的方法，他们往往会对诸如“x2”和“xy”等进行面积上的联想，也就是说，他们也是被老师“启发”了（激活了“面积法解决问题”的信息加工模块），但这种启发对这个问题的解决似乎帮助不大.如果教师提供“不等式左边是两数的和，右边是一个数”，学生很可能就会被激发信息加工模块：“三角形两边之和大于第三边”，如果教师提供的信息是：“这个问题是证明两数之和大于第三数”，恐怕激活率会更高.
二、对于扩展数学推理教学研究视野的启示
加涅认为，人们进行信息加工是需要进行信息读取并进行编码[6]，如何进行编码对后续的数学信息加工更有效很值得研究.其实，人类的思维不一定是线性的、连续的，有时甚至是“多维”、“零散”、“间断”、“跳跃”的，一切能够在人们感官及头脑中产生效应的因素都是人们所指的“信息”.当前，采取文化的视野审视学科教育成为一些学者密切关注的热点.这里所提出的信息效应观点是与之相协调的.为了培养能够全方位适应社会的未来社会公民，数学学科必须在搞好本学科教学的前提下，对如何把本学科与其他学科乃至普通生活的关系进行必要的“链接”，即要关注学生的“信息综合效应”问题.用信息综合效应的视野审视人类的数学推理活动，是为了弥补以往的“条件”与“结论”之间所进行的“依概率为1”的教学过程中对一些思维现象解释所遇到困惑而进行的一点努力，这种努力或许很困难且能否成功尚不得而知，但毕竟是一条新路，希望对此话题感兴趣的同仁与研究者一道作一些有益的探索.由于这种探索涉及社会学、教育学、心理学、哲学、思维科学、统计学、概率、信息科学等很多学科.在这里，研究者仅仅基于日常教学经验的积累，从信息效应的观点，试图为拓广数学推理数学研究的视野提几点想法.
（一）跨越学科信息加工审视数学推理教学
《人民日报》刊登了一篇标题为“三问‘幼教小学化’”的文章[7]，该文以“北京市2010年幼升小测试题权威归类标准版”的一道“牛题”引出：“1到9九个数，按要求给它们分类，如‘1、3、5、7、9’和‘2、4、6、8’是按奇、偶数来分.那么，‘1、3、7、8’，‘5、9’，‘2、4、6’是按照什么分类的？”并用“这个让大人们看着‘发懵’的题目”、“这道难倒诸多教授学者的考题”、“雷人”等字眼来评价这道题，该题的答案是“在读音上，1、3、7、8都是一声，5、9都是三声，2、4、6都是四声”.研究者用这个问题给20位初一学生解决，学生冥思苦想了5分钟还是没人能够解决，当研究者提示：“这是幼儿园升小学的一道考题.”时，才有一位学生说：“哦，我想起来了！是用读音来分类的！”
显然，经过6年的小学数学教学，学生在数学课上的思维已经被数学教师所“俘虏”了！出现了思维上的学科跨越困难的迹象.
演绎推理中的“三段论”有一个所谓的“大前提”.这个“大前提”就是研究者所提到的“比较大的信息加工模块”.受分类式学科教育的培养，学生头脑中很可能形成“学科信息加工模块”的思维模式，往往出现跨越模块思维困难的现象，刚才这个案例中，或许是“这是幼儿园升小学的一道考题”这一信息给了初一学生暗示，使他们觉得“幼儿园小朋友不会做那么难的数学题”而“猛然觉醒”.再比如说，三角形重心的性质（重心是中线的一个三等分点），站在数学角度进行推理，只能采取相似比等数学方法，然而，受物理学上的常见的“重心”这一信息的“激活”，可以用物理上的“杠杆原理”进行解释让学生很好理解其“道理”[8].1+1=2在数学家眼里是天经地义的事情，但在物理学家眼里可能允许“1+1=2.0001”，而在社会上的政治活动场合1+1可以得出任何结论，比如：两个情报员的联络暗号是“1+1=1938”.或许这种现象对数学家而言很荒诞，但在现实生活中大量演绎着这种“荒诞的事情”，却很“合情合理”，这需要根据具体情况合理抉择信息加工模块，思维才能够“灵活”.这里不是对数学教育进行“搅和”，而是强调数学推理应该根据具体情况，灵活地整合其他学科进行思考，这对成人的思维方式很重要.再举一个很简单的例子：到菜场买菜，小贩用计算器算出顾客需要付20元零1角，一般的小贩会按照数学规则坚持要顾客付零头的1角吗？答案显然是否定的，在精明的小贩眼里，这个零头是“广告费”.举这些例子的目的，是认为在数学推理中，如果能够拓展大的数学思维模块，有时甚至跨越数学本身的学科视野，或许能够找到一些数学教育的新思路.
跨学科有3个层面的含义：一是经常换不同的学科视角看问题；二是要关注学科之间所留下来的“缝隙”，延伸数学学科的“触角”与其他学科“握手”；三是要用比数学学科更大的视野来看待目前所遇到的“数学”问题.也就是说，要关注学生不同信息加工模块的构建及协调，才能够合理地激发学生的信息加工模块，促使更好的信息加工.另外，每一个“三段论”可以理解为一个信息加工模块的完成，人的思维随着这个信息加工模块的完成必然会转入下一个信息加工模块，此时的信息加工模块的链接必须及时进行“跨越”.例如，前面所提的小贩按照数学信息加工规则算出顾客应该付的钱，接着就马上要进入具有“心理学意义”上的广告学信息加工模块，这就是“灵活加工”的含义.
数学推理在很多情况下是需要各种感官辅助协调的.既然把信息理解为能够促使个体产生效应的因素，人类产生信息效应往往都是通过各个感官而产生的，感官的作用在信息加工中不可忽视.其实，目前的数学教育中很多行为都在不知不觉中运用了信息加工原理.例如，在直角坐标系中进行逻辑演绎推理及计算，大家会觉得很舒畅，但假如教师把直角坐标系按照人们的视觉倾斜45°，然后再在里面进行演绎推理及运算，这种“反视觉”的举措会让学生“怎么看怎么别扭”，但是，却让一些善于抽象思维的学生进一步感悟到直角坐标系的本质.这个例子说明，有些逻辑演绎推理及计算是以视觉信息为平台的，教学中必须调动视觉信息加工模块（包括所产生的美感）与之相左.其实，短时记忆的容量是很有限的，研究表明，一般人一次只能加工7±2个项目[9].人们需要及时地把刚加工过的信息痕迹保留，经常采用的手段是记录在纸上，通过视觉反复检索所加工过的信息，学生做数学题基本上采取这种模式.教师的板书布局、语言表述如果得当，就能够更好地促使学生进行有效的信息加工.
（二）拓广数学与生活信息加工的文化视野
由于数学教育研究具有多学科交叉和跨学科的性质，因此从学科关联的角度看，除了从教育学、心理学和教育心理学等学科去审视数学教育之外，还可以从文化与社会的视角去认识数学教育的问题和本质[10].众所皆知，数学源自生活.许多数学概念都与生活概念有着千丝万缕的关系，一旦脱离生活后就自成体系，但在使用名词信息上却和生活含义可能出现了差异，导致数学演绎推理方面出现了信息加工模块构建的混乱现象（可以认为，数学概念是一个信息加工的小模块）.例如：“上底”、“下底”是依据生活中人们视觉信息加工习惯采取的文字信息表述，但在数学中，为了不产生逻辑混乱，必须摆脱感性，进行“理性定义”，结果出现了信息加工“矛盾”的现象.《青年报》以“‘1倍租金’怎么理解——房东房客打起‘数学官司’”为题[11]，对“应付1倍的租金”演绎了数学与生活不同信息加工的典型官司.同样，在普通人眼里，球是圆的，但在一些数学教师眼里，这个结论却是错的.于是，遇到了这样的一些命题：在信息加工方面，到底是数学要服从生活还是生活要服从数学？人们习惯于生活上的用语被数学“篡改”后，需要服从数学的规定吗？数学是借用逻辑上的“演绎推理方式”还是“演绎推理方式”本身就是数学的组成部分？数学上的推理方式在生活上行得通吗？有人曾指责一些数学家是“书呆子”，只会按照数学信息加工的形式来处理生活.这种指责在某些情况下是值得反思的，教师给学生建立起来的数学信息加工模块必须在一定的情况下进行“跨界”[12].数学作为文化的最重要的组成部分，数学教学研究中必须把突出数学的文化品位摆在重要的位置.中国数学在明朝以前是世界领先的，而明朝以后则一直停滞不前，到清朝中后期已大大落后于西欧数学的发展.通过文献分析和考证发现，导致中国数学大起大落的一个重要原因在于是否恰当地运用了符号[13].再如，有这样的一位中学数学教师，当他在读唐诗的时候，就把唐诗的意境渗透到数学教学中；当他在读《红楼梦》的时候，也经常跟学生“触景生情”地把一些数学意境与《红楼梦》所描述的某些情景相类比；最近，他在看佛教的有关内容，也经常把相关的内容融进数学教学！他如此跨越的数学教学，让学生“大开眼界”！其实，所谓的文化视野无非就是一种超越学科的信息加工方式，既要激活不同学科的“信息加工模块”，又要将不同类型的信息加工模块来个“文而化之”，这将大大丰富数学教育的内涵.
从上面分析中可以看出，用信息观点看数学教学中的推理，用“信息”一词是采取“跨界”的视野看教师的数学教学，文化观念自然就纳入研究者的视野里，所有能够对数学教育产生信息效应的信息都不能忽视，人们采取不同学科的信息加工模块来有效进行数学信息的加工应该纳入教育研究的视野[14-24].
（三）丰富和拓展数学推理教学的设计思路
在数学教学过程中，如果能够认识到学生学习的“前奏”是信息效应.那么，教师就可以依据学生已有的信息加工模块进行“旁敲侧击”地“启发”，利用提供的“非线性信息”促使有效、连续、完整的线性思维运作.
第一，要给学生足够的独立思考空间去检索已有的信息加工模块.当学生遇到数学问题的时候，很自然会根据问题信息去检索已有的信息加工模块，这种检索有时是线性的，也有时是非线性的.从某个角度上讲，所谓线性的，是指“依概率为1”的思考方式.自然地，“依概率小于1”或不确定的思考方式就是这里所说的“非线性”的思考方式.正确命题“B
A”的推理方式可以理解为信息A线性地加工到信息B，而由信息B想得出信息A的结论，则可以理解为“非线性”的信息加工方式，若信息A与信息A′属于某个信息加工模块（往往属于某个同类型的信息），由“BA”联想到对信息A′的加工，则也称之为“非线性”的信息加工方式.举一个简单的例子：有人知道“三角形内角和为180°后，对某个三角形，就线性地得到其内角和的结论，但对“某个内角和为180°的多边形”，他也很自然地联想到“这个多边形很可能是三角形”，再“仔细想想”后，发现这个结论是对的，这种信息加工就从“非线性的”变成了“线性的”.如果由“三角形”联想到“四面体”，则由此联想到需要研究“四面体的‘内角’和”问题，则属于“平行性”信息加工模式，很多信息加工就是这种方式，人们通常称之为“类比”.如果由“三角形内角和为180°”联想到对“四面体”进行面数、点数、棱数之间关系的信息加工，此时属于“浮想联翩”型信息加工，必须由信息加工的“宏观管理器”予以监控和调配，主要从动机、兴趣、好奇心、时间调配等方面考虑，与学生的注意力调配、意志力品质、想象力程度等密切相关.从这些情况分析中可以看出，检索已有的信息加工模块需要足够的时间，这样才能达到训练学生如何根据具体问题，合理进行信息检索的目的.
第二，提供必要的相互交流机会.学生若能与志同道合者共同磋商，必然能点燃学生数学思维的火花，迸发出智慧之光，优化数学学习效果[25].其实，当学生通过一定的信息检索和进行必要的尝试加工后，同学之间的交流和启发也是需要的，因为同学之间的信息加工模块储备及加工能力一般不会有很大差异，相互之间的启发具有一定程度上的同步性，同龄段之间的言语信息更能够产生共鸣或启发，教师在学生进行交流的时候进行必要的观察，只要有足够的机会，就能够把他们在信息加工水平的局限性及弱点暴露出来，为接下去的教学提供策略.
第三，进行必要的信息暗示.当教师发现学生信息加工（包括模块检索、推理等）具有一定的局限性的时候，利用旁敲侧击的策略提供一些“信息碎片”，试图激活学生的某些信息加工模块或进行有效地检索和加工.这些“信息碎片”包括“口语信息”、“文字信息”、“符号信息”、“图形信息”、“体态语言”等，这些零散的“信息碎片”主要是为了培养学生的信息捕捉敏感性和进行数学方法的教育.
第四，要完善学生的信息加工模块.通过学生的努力及教师的指导，学生把数学问题解决后，教师应该及时地引导学生进行反思和总结.比如：为什么某些信息引不起你的注意；针对某些信息进行加工的时候应该注意什么；如果不能正确进行推理的时候，如何进行必要的策略调整；如何选择信息加工模块，等等.其实，这个过程就是要优化加涅所说的“编码问题”，以便今后能够根据一些“信息碎片”迅速、合理地调用相关的信息加工模块.
第五，教学过程中的数学思维是允许发散、跳跃，只要能够根据一些“信息碎片”有效激活相关的信息加工模块，那么，思维激发过程算是“告一段落”，然而，数学信息加工的“外显方式”，则是想通过文字、符号、图形、口头语言等信道来向外界表述整个问题的信息处理过程，需要进行“线性化”工作，这种工作实际上是头脑信息加工的“整理过程”，也就是人们通常所说的“在表述推理的过程时，则要强调数学推理的科学性与严谨性”.
①“身体基础方案”是布鲁克斯（R.Brooks）针对“符号系统假设”支配的传统人工智能研究提出的新方案，身体基础方案的实质是把机器人的物理行为或者身体行为作为产生智能的基础（孟伟.如何理解涉身认知[J].自然辩证法研究，2007，（12））.