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我在思考：数学教学要教给学生什么
数学教学要教给学生什么？教知识，这在我们很多老师的答案中是毫无疑问的。学生在学校的多数时间是用于获取知识，我们的教学活动主要围绕知识传授来开展，知识传授成功与否的一个外显标志就是学生的考试成绩。于是，我们就围绕知识传授、考试成绩展开教学。我也曾经为此而沾沾自喜，在一次小学毕业考试中，我教的56名学生有40名学生得了满分。然而，这样的数学教学就是成功的吗？这样的教学内容够了吗？一次调研测试让我陷入了深深的思考。
在一次调研测试中，有这样一道题：先测量出下面图形的相关数据（取整厘米数），再分别计算出它们的周长。
附图
调研时，学生的知识背景是已经认识长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形这五种平面图形，学过了长方形、正方形的周长计算公式和这五种平面图形的面积计算公式。调研测试后，抽取样本进行分析，结果令人惊讶，看起来如此简单的题，学生的正确率却只有42％。从卷面看，有的学生面对此题无从下手；有的学生把三角形三条边都量出来了，但不知道如何计算三角形的周长；还有的学生形成了看到三角形就求面积的思维定势，量出相关数据后就计算面积。我找到一些被测试的学生，当问及这道题为什么不会做时，很多学生的回答是“我没有学过”“我不会”“老师没教过”等；当问及周长是什么时，很多学生却能把长方形和正方形周长的计算公式背得滚瓜烂热。
面对这样的现象，还有在教学与研究过程中一次次遇到的“船长年龄”等诸如此类的问题，我陷入了困惑，这些学生怎么了？我们的数学教学怎么了？孩子们有智慧了吗？
我在困惑中思考，在实践中求索，在书中寻找答案。
我在研究：数学教学中的智慧是什么
智慧是什么？数学教学中的智慧又是什么呢？
我到书中去求索，寻找智慧的真谛。我阅读了很多书籍，读孔子的《论语》，读加德纳的《多元智力理论》，读加拿大著名教育家范梅南的《智慧教育学》，读《美国学校数学教育的原则和标准》……
我向老师们学习，探寻智慧的足迹。我走入课堂去听课，经常与老师们研讨；我经常阅读名师的教学案例——数学的、语文的、科学的，中学的、小学的、幼教的，国内的、国外的……我都找来读，试图从中探寻智慧的足迹、感悟教学的真谛。
我与学生进行交流，感悟智慧的存在。上课时，我与自己的学生交流；寒暑假，我与从大学校园回来的学生交流……一次次交流、一次次对话，都让我感受着学生的智慧，引发我深深的思考。
我确立课题进行研究，探析智慧的内涵。“小学生数学素养的构成要素与培养策略研究”“小学数学探究性学习研究”等一个个课题先后被省、市立项。我与课题组的老师们一起，深入课堂，观察记录，调查访谈，从一个小问题中去研究学生解决问题的策略，从一道测试题的测试分析中研究学生的思维差异，在用录像分析一节课的片断中研究学生的课堂参与情况……
在阅读中，在学习中，在交流中，在研究中，我慢慢有了很多感悟。
智慧是什么？“智慧”的内涵非常丰富，在我国的文化中，智慧是只能意会而不可言传的。在西方，智慧源于“智慧之神”——赫尔墨斯。照《辞海》（1999）中的解释：智慧是指对事物认识、辨析、判断、处理和发明创造的能力。洛克在《教育漫话》中指出：“它（智慧）使得一个人能干并有远见，能很好处理他的事务，并对事务专心致志。这是一种善良的天性、心灵的努力和经验结合的产物。”……我们认为，所谓智慧，是一个人具有智力发达、机智灵活、思维有创造性等素质，是一个人合理、有效地利用知识解决实际问题和困难的能力或才智，是融合个体知识经验和已有经历而形成的综合素养。知识与智慧是辩证统一的关系，拥有知识的人不等于拥有智慧，但拥有智慧的人一定拥有知识，更懂得如何运用旧知识，如何获取新知识。
数学教学中的智慧是什么？智慧是一个综合的概念，但细分到每一个学科中研究，也往往体现出一定的学科特性。我与我的一位现已上大学的学生交流时，她对小学时的数学学习记忆最深刻的一句话是：“最笨的办法有时就是最好的办法。”那是指小学时我和学生一起研究数学趣题时教给他们的“穷举法”。九年过去了，她至今印象很深。我想，拥有这样的数学方法或许就是有智慧的一种表现。在六年多的课题研究与深入思考中，我逐步认识到，在数学教学中，学生在学习中能不断地提出问题，善于提出与众不同的问题，就拥有了智慧；学生在学习中不盲从书本或权威，敢于质疑，敢于突破常规，能独立思考，能不断反思自己的思考过程，不人云亦云，有自己独到的见解，就拥有了智慧；学习中善于主动探究，能大胆猜测、大胆想像、敢于探索、勇于创新，就拥有了智慧；学习中善于与人交流与沟通，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，能与他人交流思维的过程和结果，就拥有了智慧；能认识并掌握数学思考的基本方法和解决问题的常规方法，在面临现实生活中的各种具体问题时，能从数学的角度寻求解决问题的策略，能综合运用各种知识去解决新的问题，就拥有了智慧；能以富有个性的眼光、独特的思维、科学的精神和创新的意识去观察、审视发生在他们身边的事和物，并根据已有的事实进行数学猜测、推断和解释，就拥有了智慧。总之，有智慧的学生在数学学习以及生活中能表现出良好的数学素养——有“数学头脑”，思维灵活，思路开阔，善于变通，充满灵气。
我在探索：如何让数学教学充满智慧
智慧是在学习过程中孕育，厚积薄发的。怎样才能让数学教学充满智慧呢？
我在课堂上摸索。上课时，我关注学生提出问题、解决问题的策略；听课时，我关注学生的操作、讨论；学生解决问题时，我关注他们的思考过程。
我在实践中展示。在杭州“西湖博览会”的名师名校长论坛上，我执教了“长方形和正方形的面积”；在扬州市的教学研讨会上，我执教了“估计：一版报纸有多少字”；在兰州举行的全国数学新课程研讨会上，我执教了“分数的再认识”，还有在贵阳、郑州……在一次次展示中，在一次次专家的评点中，我逐步深化了对智慧教学的理解。
我在感悟中写作。《让课堂成为智慧互动共生的场所》《让数学教学成为充满智慧的旅程》《构建促进学生数学理解的课堂》《小学生数学素养的构成要素与培养策略》等一篇篇论文、案例见诸各类报刊。
在课堂上、在实践中、在写作中，我的“自然和谐、问题探索、互动生成、走向综合”的智慧教学慢慢凸现出来。
1.和谐：智慧在适宜的“生态环境”中生长
学习就是生活，数学学习生活应该是快乐的、和谐的、充实的。数学教学中，教师要善于营造一种和谐的、人文的、可持续发展的“生态环境”，提供适宜的“温度、空气和阳光”，让学生的心灵快乐成长，让学生的情感尽情流淌，让学生的个性自由飞扬，让学生的智慧自然生成。
我们一起来看“估计：一版报纸有多少字”一课最后的一个教学片断。
师：通过今天的数学活动，你的感受是什么？你有什么收获吗？
生：我今天非常高兴，学会了用一定的方法估计一张报纸的字数会比较准确。
生：我知道了估计时不能瞎猜。
生：我懂得了遇到困难时要多动脑筋，想出解决问题的最好办法。
生：我明白了在估计或做事情时，要对自己有信心。
师：说得太好了，做事情信心是最重要的，要相信自己是肯定有办法的。
生：有时光动脑还不够，还可以动手画一画、动笔算一算。
对于这样的教学，学生的感受是最真切的。记得我的一位“临时”学生在一篇日记中写道：“听朱老师的数学课是一件轻松、快乐的事。他上的数学课往往很有趣又容易听懂，形式非常丰富，经常讲数学故事、做数学游戏、动手做实验，还有出数学小报、‘数学大冲浪’等。课堂上，朱老师时不时会有一句幽默的话使课堂活跃起来。”也正是学生这样的感受，一直鞭策着我努力构建自然和谐的“生态课堂”。
2.探索：智慧在问题探索中凝聚生成
学生的潜能和智慧需要激发的载体，学生的思维需要自由挥洒的空间。“问题是数学的心脏”，有思考价值的问题能成为促使学生积极思维的动力，有了问题，思维才有了方向。在遇到问题时，学生总爱把自己当成探索者、研究者、发现者，并积极主动地参与探究发现活动，创造性地解决问题。在问题探索与解决过程中，数学方法在启迪中生成，问题解决策略在生成中提高，学生的智慧在探索中凝聚。下面是学生探索“小数的性质”的教学片断。
师：刚才这位同学认为0.6=0.60，很多同学也赞同，那么你能不能用一定的方法来验证或说明0.6=0.60呢？请思考一下，你也可以借助信封袋里的材料进行思考。
（生动手操作，自主探究，同学间交流讨论）
师：你选择了哪一种方法来说明0.6=0.60，请向全班同学介绍一下。
生：0.6=0.60，因为0.6元就是6角，0.60元就是6角0分，所以它们是相等的。
生：我选用了两个正方形的材料进行验证（如下图）。因为0.6就是6/10，也就是把这个正方形平均分成10份，表示其中的6份；0.60就是60/100，也就是把这个正方形平均分成100份，表示其中的60份。从图中可以看出两个数表示的阴影部分的面积是一样的。所以，我也认为“0.6=0.60”是对的。
附图
生：我是从“数位”来想的，两个数的十分位上都是6，0.60的百分位上是0，0.6的百分位上没有也就可以看做0，所以我说0.6和0.60是相等的
生：0.6米就是6分米，0.60米是60厘米，6分米=60厘米，所以0.6=0.60。
生：0.6的计数单位是0.1，0.6表示6个0.1；0.60的计数单位是0.01，0.60表示60个0.01，60个0.01等于6个0.1，所以0.6和0.60相等。
师：刚才同学们从不同的角度验证、说明了0.6=0.60。现在你能判断我们得出的“小数的末尾添上0，小数的大小不变”这个猜想是否正确吗？你能再单一个其他的例子吗？
问题激活思维，思考磨炼智慧。在问题探索的课堂上，学生的思维真正被激活，学生的智慧在探索过程中生长。
3.互动：智慧在师生对话交流中生辉
数学教学是师生互动的过程。为了实现互动生成的教学，教师要为学生构筑自由对话的平台，采用多样的对话方式，引导学生自由表达自己的观点，敏锐地捕捉课堂互动的信息，从而生成充满活力和智慧的数学课堂。我们一起来看笔者执教的“估计：一版报纸有多少字”的一个教学片断。
师：现在请把你的方法向全班同学介绍一下。
生：我先找一篇文章，估计出这篇文章的字数，再数出一共有18篇文章，乘18就能估计出整版报纸的字数。我估计的结果是7200字。
师：对于这种方法，其他同学还有什么想法或建议吗？
生：有的文章长，有的文章短，所以估计出来的结果有时会不太准。
师：有道理。你有什么办法能使估计结果尽可能准一些吗？
生：选择估计的文章时，要选一篇不长不短的文章。
师：对，要注意选择中等长度的文章。还有其他估计方法吗？
生：我把这张报纸折一折，分成大小一样的16块。先数出一块有多少字，然后再估计出整版有多少字。我估计的结果是7680字。
师：有多少同学也采用了这种方法？你还有其他方法或建议吗？
生：要选一块字数看起来不多不少的作为标准进行估计。
师：谁还有不同的方法吗？
生：我看到这张报纸竖着分为四栏，我先估计一栏有多少字，再乘4估计出整版的字数。估计的结果是7300字。
生：我又想出了一种方法，我把它看做一篇文章，先数出一行有多少字，再数出一共有多少行，然后乘一下。我估计的结果是7820字。
在这样的课堂上，我们可以看到师生间的平等对话与交流、相互质疑与启迪，可以看到师生智慧的碰撞、情感的交融和心灵的沟通，学生的创新思维不断被激活，学生的灵感不断被点燃，课堂中时时闪耀着学生智慧的灵光。
4.综合：智慧在知识的综合运用中迸发
生活世界是生动的、丰富的、综合的，数学教学走向生活、走向实践、走向综合，才会显示其价值、展示其魅力，才能促进学生智慧的生成。我们一起来看笔者执教的“按比例分配”一课的教学片断。
师：（创设问题情境）水果店的李经理准备用3600元买进一些水果，可以买哪些水果，按怎样的比例分配，每种水果各用多少元，请你帮忙出出主意，好吗？
（生兴趣盎然，思维活跃，教师在学生小组讨论的基础上组织学生交流，学生的答案精彩纷呈，智慧的火花在讨论交流中迸发）
生1（第一小组代表）：我们组准备买西瓜、香蕉、梨、苹果，把3600元按2∶5∶4∶1分配分别是600元、1500元、1200元、300元。
师：为什么香蕉买得多？
生1：因为吃香蕉的人多，香蕉好卖。
生2（第二小组代表）：我们组准备买梨、甜橙、李子，把3600元按2∶3∶4分配分别是800元、1200元、1600元。我们组认为李子是最好吃的。
生3（第三小组代表）：我们组准备买哈密瓜、西瓜、桃子、苹果，把3600元按1∶3∶2∶6分配分别是300元、900元、600元、1800元。因为哈密瓜较贵，买的人少，苹果是大众水果，吃的人多。
生活是智慧生成的源泉，数学教学是联结“生活世界”与“书本世界”的通道。在“数学”与“生活”的联结处，我们发现学生的思维是如此精彩，我们看到了学生的智慧在不断闪现。
数学教学要走向综合，就是要求教师要利用和开发丰富的课程资源，引导学生综合运用所学知识去解决问题，使教学源头流淌的是“鲜活的智慧”，而不仅仅是被反复咀嚼过的知识。要做到这一点，一是要走向生活。教师要善于“活”用教材，寻找生动的有价值的学习素材，提供丰富的现实背景，使生活和数学融为一体，真正实现“生活化”与“数学化”的有效整合。二是要走向实践。可以开展一些实践活动，如我曾和学生一起研究解决“一版报纸有多少字”“树叶的面积”“一个土豆的体积”等数学实践问题；也可以开展一些小课题研究活动，如我曾和学生一起进行“校园绿化”“装饰美丽的小屋”“足球中的数学”等数学小课题研究活动。三是要走向综合。教师要联系生活实际开展丰富多彩的拓展型数学综合实践活动，引导学生综合运用知识，丰富学生的数学学习生活，促进学生综合素质的发展。教学中，我经常与学生一起开展玩数学游戏、讲数学故事、写数学日记、研究数学小课题等学习活动，培养学生的数学眼力和“数学头脑”。我还经常和学生一起进行“数学思维大冲浪”的活动，就是在课末或课余，用几分钟的时间，出一些趣味性、发散性、启智类的问题，让学生尝试解决。每次解决问题时，教室里悄无声息，学生神情专注，有的写写画画，有的屏气凝神，有的抓耳挠腮，所有学生都处于高度的思维兴奋中，一旦有了答案便喜形于色，那茅塞顿开、豁然开朗、怦然心动的神情生动而迷人。
我在努力：如何让更多的孩子充满智慧
充满智慧的数学教学，是全面、丰富、多元、综合的教学。充满智慧的数学教学，具有和谐的师生关系，自然的“生态环境”，综合化的学习内容，探索性的学习方式，形成互动生成的课堂。充满智慧的数学教学，促使每一个位学生的潜能激情迸射，每一位学生的个性自由飞扬，每一位学生的智慧生成发展。
于是，我在不断努力，期望使更多的孩子充满智慧。
我组织开展教研活动，通过一次次活动与研讨，提升教师的实践智慧，直接与孩子进行心灵的对话，并将我对智慧教学的理解传递给听课的教师；我写作，努力通过手中的笔使智慧的种子“生根发芽”；我做讲座，努力做一名播种者，把智慧的种子撒向广袤的大地——福建、湖北、河南、广西等地都留下了我讲学的足迹；我编写教材，力图编一些开启智慧的情境和引发数学思考的习题，为启迪更多孩子的智慧提供丰富的材料。
为了追寻充满智慧的数学教学，我还在不断地思考、研究、探索、努力……