渗透分类、方程思想，凸显复习主题，本文主要内容关键词为：方程论文,思想论文,主题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2012年11月8日，浙江师范大学组织的“‘百人千场’送教下乡”活动在浙江省三门县亭旁中学举行.此次活动中一节“等腰三角形”复习课（人教版义务教育教科书·数学八年级上册）引起了强烈反响.如何有效地梳理、应用、复习巩固等腰三角形的性质和判定，执教者在教学设计过程中，以渗透分类思想、方程思想为主线，与学生共同探究、归纳出等腰三角形中常见的三种分类情况的解决办法，从而让学生清晰地建构出这类问题的解决策略.
一、教学过程简录
（一）热身练习，引出课题
教师：“数学思想是数学知识的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁.”今天我为大家作引领，一起来感受数学思想的魅力.先请同学们完成热身练习（教师多媒体呈现，学生在学案纸上完成）.
（1）已知等腰三角形的腰长为3，底边长为4，则它的周长等于＿＿＿.
（2）已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长是＿＿＿.
（3）已知等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长是＿＿＿.
（4）已知等腰三角形的一个底角为80°，则其顶角为＿＿＿.
（5）已知等腰三角形的一个内角为80°，则其顶角为＿＿＿.
（6）已知等腰三角形的一个内角为100°，则其顶角为＿＿＿.
点评：作为开场白简明、有新意.同时也指明了这节课努力的方向，引起学生学习的欲望.
学生1：（1）中所求周长是10.
学生2：（2）中所求周长是10或11，因为两边没有具体明确是底边还是腰长，所以要分类讨论，有3+3+4=10，或4+4+3=11两种情况.
学生3：（3）中所求周长是10，因为2为腰时，2+2=4，不能构成三角形.
教师：从这个问题的解决中，我们得到了什么结论？
学生4：当等腰三角形的边不明确时，要分类讨论，分为底边和腰长，同时要考虑“三角形两边之和大于第三边”.（教师板书）
学生5：（4）中所求顶角为20°.
学生6：（5）中所求顶角为20°或80°，因为当这个内角是底角时，顶角为20°，当这个内角是顶角时，顶角为80°.
学生7：（6）中所求顶角是100°，因为它为底角时，100°+100°大于180°，不能构成三角形.
教师：从这个问题的解决中，我们又能得到了什么结论？
学生7：当等腰三角形的角不明确时，要分类讨论，分为底角和顶角，同时要满足“三角形内角和为180°”（教师板书）.
点评：课件和简明的学案并用，利于学生动手动脑，一定程度上提高了学生的学习效率，同时完成速度较慢的同学，也可以在课后继续完成.
教师：今天我们将一起继续对等腰三角形的分类问题作深入探讨（板书课题）.
（二）师生活动，探究解法
例1 如图1，△ABC≌△AEF，∠ABC=30°，∠BAE=α，AE与BC交于点D.
（1）△ABE是______三角形.
（2）用α表示△BDE的三个内角；
（3）当△BDE是等腰三角形时，求∠α的值.
学生8：第（1）问中△ABE是等腰三角形.
学生9：（学生回答，教师板书）∠DEB=
×（180°-α）=90°-α；∠EDB=α+30°；∠EBD=90°-α-30°=60°-α
学生10：∠EBD=180°-（90°-α+30°+α）=60°-α
教师：正确.现讨论第（3）问.已经找到△BDE的三个内角与α的关系，且确定△BDE是等腰三角形，但谁做底角不明确，所以要分类讨论，有三种情况，是哪三种呢？
学生11：∠DEB=∠EBD；∠EBD=∠EDB；∠DEB=∠EDB.
教师：三种情况回答正确，接下来我们该如何求α呢？
学生12：把用α表示的角代入，解方程即可（解答在学案纸上，用投影机呈现）：
当∠DEB=∠EBD时，90°-α=60°-α，此时无解，这种情况不存在（教师结合图说明为什么不存在）.
当∠EBD=∠EDB时，有60°-α=α+30°，α=20°，
当∠DEB=∠EDB时，有90°-α=α+30°，α=40°，
所以当α=40°或20°时，△BDE是等腰三角形.
教师：（链接“几何画板”，展示结果）这位同学对分类讨论的格式书写很规范，每种情况分别求解，最后对结论小结.同学们今后书写时也要特别注意.
教师：我们来一起回顾这个问题的解决过程，首先，对角进行分类讨论，运用分类思想；其次，把三角形的内角用α表示，将复杂数量关系用α统一起来，这里用到了方程思想.注意分类问题的书写格式.
点评：这是对等腰三角形中角不明确情况的分类讨论.本题分设三个小问，搭建了问题解决的通道，能有效地提高学生参与课堂的积极性.同时，执教者借助学生的解答过程规范、完整地板演了第（3）小问的解决过程，起了一个很好的示范作用，这很有必要.当然，本例分设三问，在一定程度上降低了学生的思维要求，这可以根据学生的学情灵活应变，对于学习基础整体较强的学生，可以直接抛出第（3）问.
教师：请同学们运用今天所学的方法，试着解决下面的问题.
我试试：等腰三角形的三边长为2x-1，x+3，15，求它的三边长.
学生13：当2x-1=x+3时，x=4，此时三边分别为7、7、15，因为7+7＜15，所以不能构成三角形，舍去；当2x-1=15时，x=8，此时三边分别为15、15、11，可以构成三角形；当x+3=15时，x=12，此时三边分别为23、15、15，可以构成三角形.（解答在学案纸上，用投影机呈现）.
教师：这位同学书写规范、分类完整，非常好.这个问题对边进行了分类讨论，也运用了分类讨论的思想和方程思想.教师在巡视的时候发现有同学只求出了x的值而没有计算边长，请同学们注意审题，看清题目要求.
点评：这实际上是对等腰三角形边不确定时的分类讨论.通过例1的学习，以练习题形式让学生独立完成，旨在培养学生运用类比的思想方法解决问题的迁移能力.
例2 如图2，等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为40°，则这个等腰三角形的顶角是＿＿＿度.
众生答：顶角是50°.
教师：现在，我改变问题中的某些条件，同学们仔细观察.
变式1：等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为40°，则这个等腰三角形的顶角是＿＿＿度.
教师：少了什么条件？
众生：没图了.
教师：这时候，顶角将是多少度呢？没有了图，解决这个问题要分类吗？怎么分类呢？
学生14：如图2，此时顶角是50°；如图3，此时顶角是130°.
教师：这位同学回答正确、分类全面，图形不确定时，要将等腰三角形分成等腰锐角三角形和等腰钝角三角形（教师板书）.
教师：可能是等腰直角三角形吗？
学生15：不可能，因为此时腰和高的夹角是0°.
教师：现在继续改变问题中的某些条件，把另一腰换成另一边.
变式2：等腰三角形一腰上的高与另一边所成的夹角为40°，则这个等腰三角形的顶角是＿＿＿度.
学生16：因为是另一边，所以可以是腰长或者底边，又因为图形没给定，因此要分等腰锐角三角形和等腰钝角三角形，除了图2、图3两种情况以外，还有以下两种（在黑板上展示图4与图5），如图4，此时顶角为80°；如图5，此时的三角形不存在.
教师：这位同学回答非常全面.答题时，审题要仔细，正确分类，分类时不能漏解、重解.
教师：我们已经解决了等腰三角形边、角及图形不明确时是如何分类的，现在请同学们试着解决下面的问题.
点评：这是等腰三角形图形和边均不确定的分类讨论问题.为使学生加深对何种情况该如何分类的印象，不断在原题的基础上，变换命题条件：给图、没图、一腰换成了另一边，通过这一题组的对比解决，可以使学生充分认识到如何分类及分类时不能漏解和重解.这样的教学设计，使学生对这类问题的解决起到举一反三、触类旁通的作用.
我找找：如图6，用尺规在直线l上找出所有的点P，使△ABP为等腰三角形.
教师：它要分类吗？已知AB是一条边，是否考虑按边分类呢？请同学们分组讨论，找出所有的点P.
学生17：以A为圆心，AB为半径作圆，交直线l于点
、
；以B为圆心，AB为半径作圆，交直线l于另一点
；作AB的中垂线，交直线l于点
，所以一共有4个交点.（展示学生作的图7）
教师：这是一个作图题，但本质是边不确定，按边分类.这位同学的作图和思考完全正确（板书）（用“几何画板”又给学生展示一次）.
点评：对于开放性问题，采用小组讨论形式组织课堂教学，可以有效发挥它的作用，其一可以讨论出问题多样的结果，激发学生主动学习的积极性；二是对按边分类如何讨论的问题还不明确的同学，可以通过讨论进一步理解并深化题意；三是通过对这个问题的讨论解决，可以找到本质相同问题的思考方法，起到举一反三的作用.
教师：同学们，和直线的交点问题已经解决了，现在请同学们来看平面直角坐标系下的问题.
我运用：在平面直角坐标系中（如图8），O为坐标原点，A（1，1），在坐标轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有_______个.试着写出这些点的坐标.
答案：8个，分别是（
，0）、（-，0）、（0，）、（0，-）、（2，0）、（0，2）、（0，1）、（1，0）
（三）小结全课，拓展提高
若点A在直线l上运动（如图7），满足△ABP是等腰三角形的P点个数一直不变吗？如果会发生变化，请分别指出当∠BAD（∠BAD≤90°）是多少度时，满足条件的P点有几个？（过程略）（答案：当∠BAD=60°时，这样的P点有3个；当∠BAD=90°时，这样的P点有2个；当∠BAD≠60°且∠BAD≠90°时，这样的P点有4个）
小结归纳，提升理念（师生共同完成）：
（1）等腰三角形的性质及判定；
（2）分类思想：边、角、形状（进行分类探究，注意解的个数）；
（3）方程思想：题目中的数量关系较复杂，给进一步的分析带来困难，为了更好地表示一些条件，采取设未知数列方程的方法.
教师：日本著名的教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学精神、数学思想、研究方法等，这些随时随地发生作用，使人们终生受益.”
点评：复习课中的课堂小结有很高的价值，需对知识、能力及思想方法对整节课进行提炼.结课时对贯通知识、总结方法、融汇思想很有必要.对本节课而言，已在每种讨论类型结束时及时和学生进行了小结.再次小结，可以帮助学生建构起所学内容的知识网.引用日本教育家的话作结束语，前后呼应.
二、总评：基于提高复习课有效性目标的课堂再认识
（一）复习课贵在主题明确，学生积极参与
复习课怎么上？基础知识的简单罗列加例题解法的展示？知识点的简单罗列，容易给学生带来厌倦感；而例题的解法呈现，又易让学生无所适从，并使许多学生停留在问题解决本身的认知层面上.这样的复习课也就很难成为有效的复习课.因此，数学复习课到底该如何上才可以有效地避免常见的上述弊端，关键在于复习主题的确定，将教学的起点基于学生的认知起点和能力起点，设计相应的教学内容和教学活动，使各个层次的学生都能获得相应的发展.本课例中以“等腰三角形中的分类问题”为主题，以分类思想和方程思想的应用为主线，开门见山，以题组形式，分类呈现，易培养学生仔细读题、审题的习惯，通过口答，感受这一类问题需分类讨论的一般思考方法.例1、例2分别是对角不确定情形和图形不确定情况的分类讨论，运用了方程思想求解问题结果.例3则是作图题，其实质是边不确定分类问题.通过对问题解法的探究、归纳、总结、拓展，让学生归纳出了等腰三角形中分类问题的常见类型，掌握了相应类型问题的解决策略.有效地把学过的知识综合起来，抓住知识之间的“衔接点”，从而实现学生数学知识、解题方法的整合、贯通.例1、例2巧设“台阶”，以“变式”形式，层层深入，使各个层次的学生都能参与课堂，有效地达成了教学目标.
（二）复习课贵在对学生进行数学思想方法的渗透
数学解题教学的经验告诉我们，学生在解题过程中可能百思不得其解，尔后又可能突然顿悟，此时的思维具有很大的直觉性，可能不能对自己的思维过程进行分析、整理.事实上，有效的解题方法，能体现很重要的数学思想，它对解决同类问题、拓展思路、提高解题决策能力是十分重要的.要教会学生从正确的解题思路中总结方法，提高对解题的理解，最终形成学生自身的数学思维能力.复习课的教学，要能基于对解题这样的认识，开展教学，可以达成事半功倍的效果.
在本课例中，每探究完一种类型问题的解决方法后，教师都请同学们归纳解决问题的一般方法，并板书；及时和学生分享所运用到的数学思想；对分类讨论问题的书写格式进行规范的演示，以便于学生模仿、思考，养成严谨、有条理的思维习惯.这些具体教学细节，充分体现了教师对“四基”中基本思想方法教学及基本活动经验的深刻理解，注重对学生进行“四基”的训练，有效地提升了学生的数学素养.当然，从教学实际效果来看，把“我试试”环节对边分类讨论练习题换成原来预设的可能会更合适：已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成9cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长.因为除了对边需分类讨论外，更能有效地培养学生“当题目中边与边的数量关系较复杂，给我们的进一步分析造成困难，这时用到方程思想”的解题意识.
（三）复习课贵在把“说”的机会充分还给学生
数学新课程倡导学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.在这一学习过程中，既要使学生成为学习的真正主人，又要有效地发挥教师的主导作用.本课例中，围绕等腰三角形中的分类问题，从课堂开始，教师就把说的权力下放给了学生：说问题的结果，如热身练习的答案；说解题过程，如“我试试”的解题；说思考的方法，如学生16；说问题解决后所获得的启示，如学生4、学生7的回答.在整个教学过程中，更多的是学生生动活泼地自主思考、探索和展示，学生能自己独立解决的、能表达的、能展示的内容，教师给学生平台，把“说”的机会充分地还给学生.事实上，对于复习课，特别是对初中数学习题课的教学过程中，由于知识点都是学生已知的内容，学生能自主探求的空间更广，学生能“说”的内容也就更多.教师的主导作用，则体现在“与时俱进”地诱导、点拨和小结.教师的“说”，说到了关键之处，解题过程中，学生的回答有不完备，及时启发学生补充，如例2中教师问“等腰直角三角形这里有可能吗？”解题之中对学生的回答需拓展时，教师可以及时追问，让学生说出解决问题的思考轨迹，暴露思维过程；解题之后，及时和学生一起反思，对问题的条件、问题结论、解题方法进行了深入地剖析和小结，并及时板演、呈现.解决了例1的第（3）问后，教师及时用“几何画板”动态演示三种情况的结果，让学生再次感受数形结合的魅力.例3中，学生展示三种分类情况之后，教师用“几何画板”再次动态呈现，非但没有重复多余之嫌，而更显完整、生动、准确.这样的教学才能使课堂既是师生教与学的共同场所，更是师生和文本之间对话、交流的生态园地；才能切实提高学生的数学思维水平，发展学生的数学思维能力.
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