“数学化”的数学教学及其策略探讨，本文主要内容关键词为：数学教学论文,策略论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、解读“数学化”概念
“数学化”是指人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织以发现其规律的过程。简言之，“数学化”就是数学地组织现实世界的过程。[1]
从构成上看，数学化可分为横向数学化（水平的）和纵向数学化（垂直的）两种成分（如图1）。横向数学化是指“把生活世界引向符号世界”，就是从现实世界到数学知识或从数学知识到实际问题，即注重数学与现实生活的联系。纵向数学化是指以已有的数学知识为基础进行综合、演绎、整理，从而生成抽象数学知识之间的联系，即从数学到数学，注重数学知识内部的迁移和调整。如公式推导、证明等。
图1
从内涵上看，“数学化”主要体现为三点：第一，数学化不仅是数学知识的应用，更是一种基于数学知识的“再创造”活动。所谓“再创造”，指运用已有的认知结构和认知方式去探索、组织和建构未知的规律、关系和结构的活动过程。第二，现实世界贯穿于数学化之中。数学必须连接现实，促进数学现实世界与数学化的联系，这是数学教育持续发展的动力。第三，反思是数学化过程中的重要活动。只有以反思为核心的数学教学才能使学生真正深入到数学化过程中，抓住数学思维的内在实质，借助已有的数学思想和方法来构造数学模型，并解决实际问题。从这个意义上说，“数学化”乃是数学教学的实质。
二、“数学化”教学是有效教学的核心
基于“数学化”思想，美籍华人蔡金法将数学教学分为三个步骤。步骤一是将现实世界问题模型化为数学问题；步骤二是在数学范围内解决数学问题，产生数学问题的结果；步骤三是带着数学问题的结果回到现实世界中去检验、解释、预测，并解决新的问题。蔡金法还在“我们抓住数学课程改革的重点了吗”这一问题分析中指出，中国的数学课程非常关注步骤二，而较少涉及其他两个步骤。
不难发现，其中的步骤一和步骤三类似于弗赖登塔尔所说的横向（水平）数学化，而步骤二则类似于弗赖登塔尔所说的纵向（垂直）数学化。也就是说，我国传统的数学教学过分强调了从数学到数学的纵向数学化过程，而弱化了横向数学化过程，忽视了数学与生活的内在联系。
为此，“数学化”思想对改革我国数学教育教学具有重要的启示意义：以“数学化”为核心的教学是数学课程改革的关键，也是数学有效教学的核心。从本质上说，“数学化”是学生激活并利用已有生活经验和认知结构实现探索、组织和构建未知的规律、关系和结构的活动。学生在亲历“数学化”这个活动过程中，必然要经历信息的筛选、编码、整合、提取与应用，完成以数学活动为载体的数学思维，实现数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验四者的协同统一。所以说，“数学化”教学就是以“数学化”为核心的数学教学，其实质就是激发学生数学地组织现实世界的过程。
三、实施“数学化”教学的主要策略
策略1：教学既要源于数学现实，又要升华数学现实
“数学化”教学一方面要以现实的生活数学为基础，密切联系生活，让学生感到数学学习并非抽象枯燥的而是源于生活又用于生活的；另一方面又不能仅仅停留于数学现实本身，而要升华数学现实，并逐步实现实物——图像——符号的数学抽象过程。也就是说，以情境性问题为起点的数学活动中，学生主体从已有的知识与经验出发，通过“数学化”主动建构数学知识，实现已有知识经验
数学认知结构的转变。教学实践中应尽量避免类似“以生活经验代替数学意识”、“过分追求教学形式变化”、“数学教学活动流于形式”等“数学化”缺失的现象。[2](P90～92)
在一次“移动”内容教学中，某教师提供给每位学生一张活动任务单（如图2），要求每次只能移动一颗小圆片，操作后回答：最多能有几种移法？怎么移？学生自行操作几分钟后，教师请几位学生上黑板演示操作。结果学生出现了3、4、5、6等多种不同的答案。在一学生演示完6种具体的移动方法后，教师在黑板上又对着小圆片复演了一遍移动方法（如图3）。之后，教师总结“共有6种移动方法”，便结束了教学过程。
如果基于“数学化”角度审视上述这个教学片断，我们可以说它的教学处理是远远不到位的。因为教师结束教学过程的那一刻只是停留于学生已有的经验操作层面，而没有实现从数学经验到数学模型的抽象和“数学化”。假如教师在操作6种移动方法的同时，能在黑板上另外做一张表格，并以圆点“·”（符号）代替具体的小圆片，以箭头走向表示小圆片的移动方向和位置（如图4），那么他将完成从数学经验到数学符号的升华，将有助于学生理解从特殊到一般的规律性抽象，更好地体验“移动”的数学思想和数学方法。
图4
策略2：教学要注重培养学生的数学建模能力
“数学化”教学中最困难的一步就是实现从现实问题到数学问题的抽象并建立数学模型，这也是整个数学建模过程中最为关键的一步。所以，“数学化”教学既需要学生具备一定的数学建模能力作支撑，又要以提升学生的数学建模能力为目的。
以“菠萝中的数学”为例，将菠萝皮削完后留下的是一条条螺线，为什么要这样刨削呢？[3](P1～2)让学生论证这一问题的过程本质上就是数学建模的过程，也是“数学化”的过程。学生若想完成这一论证，前提是必须要理解以下四点：(1)将菠萝模拟成圆柱体；(2)将菠萝（“圆柱体”）展开平铺图形想象成长方形；(3)将削刀走过的相邻两点相连，一条条的螺线就变成了一条条的直线段；(4)要想得到尽可能多的菠萝肉，就必须使削刀走的路程最短（即螺旋直线段是以最短的距离将所有菠萝点连接起来）。要理解这些，关键在于学生是否有较好的数学建模意识和建模能力。
所谓建模能力，指“能够在给出的现实世界中识别问题、变量或者提出假设，然后将它们翻译成数学问题加以解决，接着联系现实问题解释和检验数学问题解答的有效性”。[4](P85)为此，在“数学化”教学中，要注重有意识地培养学生的识模（即理解现实问题情境）、析模（即化简或结构化问题情境以形成现实模型）、建模（即将现实模型翻译转化为数学模型以实现数学符号化）、解模（求解数学模型）和验模（检验现实结果的有效性）的能力。教师要善于引导学生挖掘、分析和发现隐藏于情境中的数学信息，鼓励他们积极质疑、发现问题和提出问题。教师要善于引导学生将数学信息和数学成分作抽象化、符号化和公式化处理，能用方程、不等式、函数、图表等数学语言或数学关系来描述数学问题、表达数学模型。具体做法如：精心挑选较小的反映建模子要素的应用性问题进行训练；加强范畴式解题模式的有效训练，形成问题图式；长期有序地呈现较复杂的应用性问题予以探究，增进学生解决问题时对真实事件的数学化迁移等等。
策略3：教学要尊重学生差异并促其个性化地实现数学知识的“再创造”
由于“数学化”是基于“数学现实”的“再创造”过程，所以基于“数学现实”的问题解决既是“数学化”的目的和原动力，又为“数学化”提供了目标和方向，两者共同交织在数学学习过程中。学生也正是通过“数学化”来实现数学问题的解决，并在解决问题的过程中再构造属于自己的数学知识。在教学实践中，需注意几点：
(1)教学要尊重学生差异和注重学情分析。由于“数学化”和“再创造”是每位学生依据其独特的认知方式和个性特征进行的主动建构过程，所以“数学化”教学要以每位学生的发展作为根本目的，尊重学生差异，注重学情分析；要考查学生已知什么、未知什么、已知和未知过程中需补充什么；要关注学生已有数学知识内部之间的联系，寻找学生合适的“最近发展区”；要了解不同学生在已有知识、生活经验、学习方法、思维方式、情感体认等方面的个性特征差异。
(2)教学要还学生数学思考的时空。由于“数学化”和“再创造”过程实质上就是学生数学思维的过程，所以“数学化”教学要将参与活动和主动思维的时空还给学生。教师要敢于并善于放手，让学生主动经历观察、实验、猜测、验证、推理、交流等各种数学学习活动，允许他们能自行选择学习材料和学习策略，允许他们采取不同的问题解决思路和方法，允许他们学会反思和表达自己的思维过程。
(3)教学要培养学生合情推理的能力。再创造始于猜想。在“数学化”教学中，要强化学生合理猜想和合情推理能力的培养。猜想、灵感与合情推理往往是在相对宽松自由的状态下自然进发的，故在数学教学中还需营建一种平等融洽的师生关系，建立一种平等对话、民主合作的课堂教学文化，为学生合情推理能力的培养营造和谐的环境氛围。
可以说，数学教师的首要职责是创设适于学生“数学化”活动的教学条件，并有效指导他们主动参与各类“数学化”活动。这里所指的“教学条件”，包括创设高质量的问题情境、提供充足的学生操作和建构活动的时空、给予学生必要的数学思维辅助支架等。在这种以情境为基础、以问题为纽带、以思维为核心的“数学化”教学中，教师重在引导学生怎样走向“数学化”。