与学生一起“玩”数学，本文主要内容关键词为：数学论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、课前谈话 师：同学们好，老师姓张，大家可以叫我张老师.第一次和大家一起学习数学，给大家带来了一个小礼物.大家请看：这是一张老照片，照片中有一个老爷爷正在写字，一共写了三个半字，你能看出老爷爷写的是什么字吗？
生：数学好玩. 师：非常好！数、学、好这三个字是看到的，玩字呢？我可没看到玩字. 生：想出来的！ 师：非常聪明，见识也广.看得见的能看清楚，看不见的能想到，这很了不起.待会学习过程中，我们也要发挥这种精神，仔细观察，把看得见的看清楚，认真思考，发挥想象，把背后的东西想出来. 师：对了，认识照片中这位老爷爷吗？（生：不认识）这位老爷爷叫陈省身，是一位著名的数学家.“数学好玩”这四个字就是陈省身爷爷送给像我们这么大的小朋友的.数学好玩，你相信吗？ 生：相信. 师：你们玩过数学吗？今天我们一起来玩一玩怎么样？那好！准备好了吗？开始上课吧. 二、范例启示 师：这是一个正方形网格（如图1），老师的问题是：这里面一共有多少个单位小正方形？ 生：25个. 师：很好，怎么计算呢？ 生：5×5. 师：嗯，不错.如果我把这个网格去掉，只看5×5这个算式，你们能想象出原来的网格吗？（课件中网格消失）
师：挺好.（再次出示网格）是这个样子吗？一个图形能让我们想起一个算式，而一个算式又能让我们想起一个图形.看起来，数与图形之间存在着密切的关系.这节课，我们就研究这种关系.（板书课题：数与形） 师：有个问题，这个网格中单位小正方形的个数，除了用5×5计算外，还有没有别的算法？也许你会觉得这个问题很奇怪：除了用5×5计算，还能有什么好办法呢？别忘了陈省身爷爷说的“数学好玩”，有时候我们就是要这样于无问题处提出问题.也许你还不太习惯，要不先看看人家是怎么做的？先来看一个二年级同学做的（如图2）.很显然，这里的单位正方形的个数还是5×5.这个二年级同学把这些正方形涂成了不同的颜色，他还打算怎么算呢？
：5+5+5+5+5. 师：其他同学觉得呢？你们真是他的知音.他正是这样想的.现在的问题是，同样是这个网格里的单位正方形个数，一方面是5×5，另一方面是5+5+5+5+5，若综合这两方面考虑，这两个算式之间可以用什么符号连接？ 生：等于号.（师根据讨论进程出示图3）
师：再来看一个六年级同学的做法.（出示图4）当然，单位正方形的个数还是5×5.你们能看懂这个六年级同学打算怎样算吗？
：1+2+3+4+5+4+3+2+1. 师：看来你很懂这位同学，也很懂数学.那综合这两方面，你们能不能得到一个等式呢？
：1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5.（师根据讨论进程出示图5）
师：有没有觉得这个图形和这个算式都很漂亮？数学上的美往往体现出一种和谐与对称.现在我把这个图形去掉，只留下这个算式，你能根据这个算式想象出图形吗？如果我把算式去掉，只留下图形，你能从这个图形中看出这个算式吗？（依次出示图形，如图6所示）
三、动手实践 师：同样是计算这个5×5的正方形网格中单位正方形的个数，如果我们能发挥自己的想象，想出其他的算法来，不同样也可以发现一些漂亮的等式吗？大家试试看. 学生独立研究，教师展示学生作品，并选出两幅（图7、图8）讨论.（这幅图说明一个什么样的等式？可以推广吗？）
师：先看图7，谁能看懂？
：1+2+3+4+5+4+3+2+1. 师：很好，不过还只是一方面.
：1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5.
师：好很，我专门准备了这幅图（课件出示），不过在我这幅图中，你看到的还只是一部分，大幕还可以拉开的.想象一下，如果大幕拉开一点点，会出现一个什么图，又会是一个什么等式呢？
：1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6. 师：是的.大幕可以拉开，也可以关上.还会有哪些等式？ （学生回答出一系列等式，接着类似地讨论图8，略） 四、解决问题 师：数与形的结合，不仅可以形象地解释规律，还可以直观地解决问题呢.请看：
这是一个分数连加的问题，按常规的做法，先通分，然后计算.如果考虑到数与形的结合，会不会有什么好办法呢？
：画图！ 师：很好的想法，要画图表示这些分数的和，先要确定什么呢？
：单位“1”. 师：什么可以作单位“1”呢？正方形可以，线段也可以.请你画一画，看能不能直接写出这个加法算式的结果. 学生独立思考后汇报——
：这是我的图形（如图9），从图中可以看出：
.
师：如何可以看出？ 师：我们一起看看这个等式
，左边这一串分数相加，在图上是表示什么？
：表示涂色部分的面积. 师：那等式的右边呢？
：表示1减去空白部分的面积，也就是涂色部分的面积. 师：很好，这个等式表示我们把涂色部分的面积算了两次.左边这一次比较难，是出题的人让我们算的，右边的一次比较容易，是我们通过画图想到的.我们用简单的算法求出了复杂问题的结果.还有不同的算法和图没有？
：我画的是线段图.（图略） 师：能看懂吗？ 师：这一次是把什么算了两次？ 生：线段. 五、欣赏拓展 师：非常好！今天，我们用数与形的结合，干净利落地解决了与数有关的问题.这个世界上有一些人致力于用图形解决数的问题.他们的解题过程只需一个图而不必有一个字，被称为“无字证明”.这里给大家看几个图（出示图10），你可能看不懂，不要紧的，说不定哪天你又会见到它们，那时候你会觉得特别亲切.
师：到这里，老师想给大家介绍两位数学家，一位叫华罗庚，他有一段很有名的话：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.还有一位数学家，大家可能不太熟悉，叫富比尼，是意大利数学家，关于他，最著名的是以他的名字命名的“富比尼定理”，也就是我们今天说的“算两次”. 师：好了，还记得陈省身爷爷说的“数学好玩”吗？想不想利用华罗庚先生的“数形结合”与富比尼的“算两次”再来玩一回过瘾的？ 师：（出示图11）这里有3个大正方形，你们认为哪个大，哪个小？怎么看出来的？
生：一样大，边长都是a+b. 师：非常好.我们来算它们的面积.第一个，显然是
，接下来算第二个，这个正方形被分成了4块，我们就一块一块地算吧.谁知道计算？ 生：
师：很好，既然算的是同样大小的正方形的面积，它们就应该相等.那么我们就可以得到一个等式：
左边是关于正方形面积的一种算法，右边是另一种算法，算两次！看出来了吗？再来看第三个正方形，它被分成了5块，算一算，结果应该是什么？ 生：
师：既然第二个正方形与第三个正方形也是一样大的，那么我们可以得到什么等式？
师：这个等式就更厉害了.有人知道吗？ 生：勾股定理. 师：了不起.这个等式，两三年后，你又会在数学课里看到它.到那时，老师特别希望你能记得，在六年级时就有一个老师跟你说过这些，而且特别简单！能记得吗？ 生：记得！ 师：好！今天的课就上到这！ 一、什么是实现数形结合的具体方法？ “数与形”的教学，当然要关注数形结合，或者说主旨就在数形结合.但我们要考虑如何实现数与形的结合，即考虑落实数形结合的手段.比如，把两个数的乘积理解为一个矩形的面积，即是落实数形结合的手段.通过这种手段，我们可以给乘法分配律构造几何模型，也可以为行程问题提供直观图形，甚至还有人用矩形面积的分析方法解鸡兔同笼问题.又如，建立平面直角坐标系，平面上的一点（形）就对应着一个有序实数对（数），从此，形与形的关系就可以用数刻画（如两直线垂直可以用其斜率乘积为-1刻画），数与数之间的关系也可以用形刻画（如方程组的解就是两个函数图象的交点）. 给小学生讲数形结合，素材要尽量简单，但大致也离不开上述基本思路.本课中讨论两个相等的数的乘积与正方形面积的关系，让学生懂得看到两个数的乘积，可以想到一个长方形；特殊的，看到两个相等的数的乘积，可以想起一个正方形.这就是在落实数形结合. 二、为什么重视“算两次”的思想？ 在本课中，形之于数有两个方面的意义，一是解释现象，二是发现规律.利用一幅图就可以说明为什么从1开始连续几个奇数之和恰好是一个自然数的平方.这就是解释现象.对一个图形进行研究，从不同的角度分析它、计算它，就可能得到新的结论.这就是发现规律.本课的现象与规律，从数的角度看，基本上都以等式的形式存在.等式的左右两边，落实到图形中，都是对某种几何量的计算，比如面积、长度等.用两种不同的方式计算同一个几何量，就可以得到一个等式.这种思路就是“算两次”.它是数学中重要的思想方法. 从实质上看，本课中的数与形恰好是通过对同一个几何量算两次实现结合的.因此，应该重视“算两次”. 三、为什么不提“极限”？ 极限思想非常重要.米山国藏在其名著《数学的精神、思想和方法》中说：“使数学真正成为科学，使数学在应用方面和纯理论方面发展成为丰富而正确的科学，进步成为深奥而严格的科学的思想，渗透于整个数学中，并且总是在活跃着的思想，就是经过了提炼的极限思想.只要看一看，如果从今天的数学中抽去了极限思想，数学还能保留哪些内容，就能明白极限思想对数学来说是多么重要了.说得严重一点，这时的数学几乎近于一无所有.”小学数学中也不能完全避免极限思想.圆的面积推导就需要应用这种思想. 本课中，教材通过画直观图的方式说明
...这个无穷级数之和为1，即
...=1. 笔者认为，对这个等式，问题不在计算，而在理解.即，理解无限多个数相加是怎么回事：可以加吗？和是确定的吗？如何确定无限多个数的和？这些问题太难理解，超出了六年级学生的认识水平.事实上，即使是成人，若没有接受近现代数学的训练，也很难说能真正理解这些问题.对此，赵军在《对高中生极限概念认知状况的调查研究》中有一个结果：分别只有7%的高一学生、24%的高二学生和50%的高三学生认为这个等式是正确的.（高三学生已经学习过极限） 直观的几何模型有利于计算这里的有限多个数的和，但并不能对学生理解这个等式提供好的帮助，直观甚至还会阻碍学生理解这个等式.我们熟悉的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，一句“万世不竭”与其说帮助我们理解这里的等于号，不如说是阻碍我们理解这个等于号.同样，用正方形表示这个等式，其中永远存在的那块空白只会阻碍学生理解这个等式.正因为此，笔者在本课设计中放弃了极限思想，而只通过数形结合的方式解决有限个数的和的计算问题.
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