傅种孙关于“中学数学基础”的思想初探，本文主要内容关键词为：中学数学论文,思想论文,基础论文,傅种孙论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
傅种孙（1898-1962），字仲嘉，江西高安县朱湖村人氏，1920年毕业于北京高等师范数理部，留附中任教，次年任高师数理部讲师，1928年升任教授，1935年当选为中国数学会评委员，1945-1947年赴英考察，回国后任北平师院数学系主任、北京师范大学教务长、副校长，1950年任中国及北京市数学会常务理事、《中国数学杂志》（现《数学通报》）总编辑.傅种孙是土生土长的中国数学家，又是有为有守的数学教育家.从20世纪20-50年代40余年的时间里，他亲历数学教育的每个环节，通过数学研究，译介名著，撰写教材，一线数学，指导科研，师培讲座，主编杂志，主持教务，参与数学会领导及推荐年轻教师深造等活动，培养了一大批数学家和优秀数学教育工作者，并形成了自己独到的数学教育思想，居高声远，影响很大，不愧为数学教育的一代宗师.
然而，由于种种原因，傅种孙未能像弗赖登塔尔那样，写出数学教育专著，也未像波利亚那样，写出数学方法论专著，而是把他的数学教育思想和关于数学方法论的见解渗透在他的数学译、著之中；虽然，他的一些著作（如《数学基础研究》）未能完成，有的手稿已遗失难寻，但即使从尚存遗著和残稿中窥豹，仍不难看出先生的教学教育思想博大精深，关于数学方法论的论述广泛、深入，自成系统，见解独到.正如我国知名数学家刘绍学先生指出的：“傅先生没有（像Klein和Polya）那样系统的著作，然而他在数学中提倡钻研数学内容，讲体会，讲理解，讲过程、背景、联系，却是在他的初等数学著作中，在他的学生的心目中俯拾即是的.在我们的头脑中，在初等数学研究与教学中，中国的傅种孙，德国的克莱茵，美国的波利亚，都同样得到我们的敬仰和热爱.”傅先生是我国数学教育界的一面旗帜，是克莱茵和波利亚式的领袖人物.
关于先生的数学教育思想，我们在文[1]中已做了初步的论述，在文[2]中，作为数学方法论的三位先驱之一（另两位是希尔伯特和波利亚），对先生的数学方法论的见解，作了简略的叙述，本文对傅种孙先生关于“中学数学基础”的研究做进一步的阐述.
傅种孙先生是从事数学教育的，他的“固本”思想，可能是出自对中学数学“时弊”的强烈感受，和加以端正的需要.“时弊”是什么？先生认为，除了“昏昏传世”之外，更为严重的是，有大量模棱两可的东西存乎教材之中；几何学本来是要讲道理的，在根本处不能马虎，可在教材中，武断者有之，含糊者更不乏于课堂内外.比如，应用割补法证明平行四边形面积公式S=ah和棱柱之体积公式V=sl（直截面面积×棱长），往往只画出一个“合用的”图形或模型（如图1所示），从一条高或直截面处裁下，即可拼为矩形、直棱柱.至于是否总能如此，则往往想当然.比如，如图2所示，由于它们太“斜”，像AE那样的垂直截线，象S那样的直截面，根本不存在，因此无法一次割补成矩形或直棱柱.还有关于“0”的种种问题，关于“比例”（它与“比”的关系）、“相似”的种种问题（相似几乎是一形一义，而无统一定义，叙述冗繁而用之不便；对于“对应”概念，则采用想当然）等等，先生感到问题十分严重.但在“关于数和量的几个浅近问题”一文之末，却风趣地说（本节引文均见[3]）：“我说的这一切，都是我们在数学中认为不成问题的.幸而学生们都有颜回之风，终日不言，教师得安然无事；设有季路在座，怕是要不得安宁了.”辛辣中针砭时弊.先生感到了革除时弊的紧迫性.
怎样革除时弊？先生认为，教学如“流”，“时弊”乃流不正，犹如污水侵江，最有效的正流方法，乃是清源.而清源的犀利武器，是数理逻辑和“数学基础”由文[1]所述，作为“修根固本”的有力举措，傅先生在这方面已经做了大量的工作和研究，这就为“武装”未来和现岗的数学教师的头脑，作了必要的准备，这就是在高师增设相应的课程，对现岗教师开展系列的讲座和培训.然而，要想真正地起到作用，还必须把“数理逻辑”和数学基础、算理哲学请出象牙之塔，有针对性地开出针砭的处方.而这就是开展中学教学的基础研究，从身边的问题解决起，进而追溯数学史上许多概念、理论发生发展的过程和前因后果，取多种教材进行对比研究，做返璞归真的工作.傅先生身体力行，除了《高中平面几何》和《初等几何研究》之外，还动手写了大量有关初等数学基础研究的文章（一部分是中学教师讲习班的讲稿）.可惜大部分遗失，现从珍存的数篇中选几篇作简述.
“零之特性及其所引起的纠纷.”在归纳出“0”的两条特性：
因数有0者，积必为0.
（1）
积为0，则因数必有为0者.
（2）
之后，指出：初等代数之纠纷，大半起于（1）（2）之相混，比如，解有理方程：
（x-a）（x-b）（x-c）=0
根据（2），则可求得x=a或b或c；复验时，把x=a或x=b或x=c代入，知必有（x-a）（x-b）（x-c）=0，其根据是（1）；再考虑无理方程
据（2），复验时据（1）；无理方程，求解时据（1），复验时据（2）.有理数方程之解法，求根时据（2），复验时用（1）；而根式方程之解法，求根时据（1），复验时用（2）.从而纠正了“通常”的认识.另外，在通常教学中，对于“0”不得为除数”、a/0无意义”之类，从来不告诉学生“为什么”（甚至对于执意要问到底的学生，斥之“好钻牛角尖”或“逞能”！），因为往往费话一大堆，仍然说不清.在本文中，依零之特性和一条原则：“将二数加、减、乘、除，其和、差、积、商莫不存在且唯一”即可简单说明：2÷0≠任何数，0÷0=任何数，前者不存在，后者不唯一，故均不可.但若把事情说得完全绝对了，又会使学生未来学习dy/dx时“想不通”，因而举例说明了函数
有公因式，分子次数高，当x→2时，
g（x）→0.作为函数，可以补上g（2）=0.
有公因式，且次数一样，x→2时.（g）x→-1，可补g（2）=-1.因x≠2时，g（x）=x-3，可求出g（2）=2-3=-1.因而不必补.
分式函数的四种情形，也可以用来分析分式方程求解过程出现的四种情形.为使学生“想通”打下伏笔.最后说：“在中学代数里，把根本观念的难关打通以后，每遇困难，即问道于零可尔.”
“比例相似形.”该文首先指出，相似一词，诸教科书几乎是一形一义，并不贯通；点线角的对应，又辗转循环，不能自圆其说，待把图形看作点的类（集合），说清楚“对应”之后，马上涉及到比例的问题，于是追究到三种比例论：
（1）流行比例论：先定义a∶b，再定义比例，须用阿基米德公理、戴德金—康托公理和帕斯卡定理.或过于繁复，或遗留许多问题.
（2）欧氏比例论：先定义比例，而后定义比a∶b（表示一切使x∶y=a∶b的x∶y的类）.
（3）希尔伯特比例论：若四线段a，b，c，d有ab=cd，则a∶b=d∶b.
它们有的先定义比a∶b，再定义比例a∶b=c∶d，再推导性质ab=bc；有的先定义比例，再定义比，再导出性质ad=bc；有的则先有ad=bc，再有比例，再导出比a∶b，可见是因因果果，前后倒置，不能不使我们疑窦丛生，在感到“问题并不那么简单”之余，不得不决心进行追究，弄个究竟.
“关于数和量的浅近问题”该文首先指出，数是量的概括，而量是数的实质（罗素派：数为集合，量为元素），所以数是抽象的、理论的东西，而量是具体的、实际的东西.如线段（长）、面积、体积、角（度）、弧……都是所说的量，但如何用它们？即如何加、减、比较、加倍、均分、比等等，从技术上和概念上，都存在着很多实际问题和原理（公理、定理），如果不是把数学仅仅当成工具（甚至把课本仅仅当成操作手册或说明书）的话，是不能不予追究的.如此看来，“数学基础”就在我们身边.
“求积术与割补法.”首先指出，通常认为不成问题的许多东西，如以割补证平行四边形面积公式S=ah，当上底在下底所在直线上的射影全出下底之外时，以及斜棱柱体积公式V=sl（s为直截面面积），当s不存在时，“证明”都是有缺陷的.由于Dhen定理（同底等高三棱锥不组成相等），可见割补法对立体是不能通行的.因此，即使仅限于多面体，求体积也须付诸极限法、祖暅原理.
需要注意的是，傅先生70余年前针砭的“时弊”，今天仍然存在，譬如，打算把“讲道理”的欧氏几何化整为零，以代数取而代之，把数学降为常识，“淡化形式”由策略变为要求，以操作代替证明和推理，单纯强调直观、忽视数学文化教育功能和数学讲理的特征，“双基”理论研究甚为薄弱等思想与问题，都是需要引以为戒和注意的.傅先生的“正本清源”的思想对今天的数学课程改革是有借鉴和指导意义的.改革是必须进行的，改革不仅要继承我国数学教育的成功经验和优良传统，而且还要重视对我国数学教育特征及身负众望的数学家以及数学教育家的数学教育思想予以研究并加以运用.