相对差异计算方法探讨，本文主要内容关键词为：计算方法论文,差异论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
提要：按传统方法计算的相对差异指标，由于采用的对比基数不同，会得到绝对值不相等的相对指标，不便于分析问题。本文根据两个变量值的对数平均数公式，以及计算相对变化率的通式，提出相对的对数差异指标计算方法。
一、引言
在经济分析中，为了研究同类现象在不同时间和不同空间所存在的差异以及发展变化规律，往往需要计算绝对差异和相对差异。但是由于绝对差异是根据有关总量指标计算所得，而总量指标的大小与总体范围有直接联系，且具有计量单位，因此难以直接对比分析不同类型现象之间的差异幅度。例如甲地区1994年粮食总产为1000万吨，乙地区为1500万吨；两个地区1995年的粮食总产分别为1200万吨和1800万吨，从绝对差异看，甲地区1995年粮食总产比1994年增加200万吨，乙地区增加300万吨，乙地区粮食总产增加量比甲地区多，但我们不能据此断定乙地区的生产情况比甲地区好一些；同样，若假设甲地区1994年棉花总产为100万担，1995年为130万担，1995年比1994年增加30万担，我们也不能认为甲地区1995年的粮食生产情况比棉花生产情况要好。在这种情况下则需要计算相对差异。按照计算相对差异的常规方法可得：甲和乙地区1995年粮食总产分别比1994年增长20%，甲地区1995年棉花总产比1994年增长30%。可见，在分析事物之间的差异时，既要测算绝对差异，也要测算相对差异。但是当我们按常规方法测算相对差异时会遇到一些难以理解的问题。
例1.（续上例）甲地区1995年粮食总产比1994年多200万吨，也可以说1994年比1995年少200万吨，两个绝对差异的绝对值相等；但从相对差异看，1995年粮食总产比1994年多20%，而1994年比1995年少16.67%｛[（1000－1200）/1200]×100%｝，相对差异的绝对值不相等。
例2.汇率问题。假设美元对人民币的汇率是由1994年的1美元兑换人民币7元，上升到1995年1美元兑换人民币8元，美元升值14.29%，而人民币则贬值12.5%。
例3.相对差异可加性。设甲地区粮食总产1994年比1993年增长10%，1995年比1994年增长20%，而1995年比1993年增长32%，而不是30%。
例4.价格指数问题。设某企业1995年各种产品的产量总指数和价格总指数（与1994相比）分别为110%和120%，而其总产值总指数却是132%，而不是130%。
为了解决上述问题我们先讨论测算相对差异（变化率）的各种方法，然后再提出解决问题的方法。
二、相对差异的计算方法
为了计算变量值x与y之间的相对差异（可以是x变化到y，也可以是y变化到x），我们定义反映x与y的相对差异的统计指标为一个实值函数F（x，y），x＞0，y＞0；
性质4要求相对差异指标的数值不受计量单位的影响，也就是说，当我们计算两个时期粮食总产的相对差异时，不论计量单位是“万吨”还是“万公斤”，计算所得的相对差异应该相同。在性质4中令a＝1/x，可以看出计算相对差异的各种指标F（x，y）都只是比率y/x的函数，亦即，存在一个函数。
上述公式中，公式（1）和（2）就是众所周知的传统方法，公式（9）实质上是公式（3）～（8）的一个表达通式（公式（7）和（8）作为特例包含其中），式中K（x，y）是能使G[,9]（y/x）递增的x和y的任意一种平均数，因此，当绝对差异（y－x）与这种平均数K（x，y）比较时，我们可以得到相对差异的各种指标。x和y这两个数的平均数K（x，y）在R[2]的子集A中是一个实值函数，即K：A→R，要求对所有的x和y，K（x，y）满足下列性质：
1.平均数性质：min（x，y）≤K（x，y）≤max（x，y）；
2.连续性：K是连续函数；
3.齐次性：对于任意的a：a＞0，有K（ax，ay）＝aK（x，y）；
4.对称性：K（x，y）＝K（y，x）。
K（x，y）在公式（3）～（8）的分母中分别为算术平均数、几何平均数、调和平均数、k阶矩均值以及最小变量值和最大变量值。
为了便于说明问题，我们先给出相对差异指标的对称性和可加性定义。
定义1.如果一个相对差异指标满足下列性质：
G（x/y）＝－G（y/x）（10）
我们则称该相对差异指标具有对称性。
假设有三个变量值x，y，z，它们依次变化，即先从x变化到y，再从y变化到z，如何根据x到y的相对变化率和y到z的相对变化率，来测算x到z的相对变化率？为此，要求相对变化率具有可加性。
定义2.如果对于任意大于0的三个正数x，y，z，有：
G（z/x）＝G（y/x）+G（z/y）（11）
我们则称相对变化率指标G（y/x）具有可加性。当z＝x时，具有可加性的相对变化率指标也一定具有对称性。
第一部分给出的4个例子无非是涉及相对差异（变化率）的对称性和可加性问题，按公式（1）和（2）计算所得变化率指标既不具有对称性也不具有可加性，按公式（3）～（8）计算所得结果虽然具有对称性，但不具有可加性。为此我们根据两个变量值的对数平均数的公式来推导相对差异的测算方法。L（x，y）被定义为两个正数x和y的对数平均数，即
L（x，y）＝（y－x）/ln（y/x），x≠y
＝x，x＝y（12）
对数平均数完全满足上述一般平均数的4个性质，而且介于几何平均数G（x，y）与算术平均数A（x，y）之间，
G（x，y）＜L（x，y）＜A（x，y），x≠y
根据公式（12），对于所有的正数x和y，可以得到相对的对数差异指标的计算公式：
G（y/x）＝ln（y/x）＝（y－x）/L（x，y）（13）
比较公式（9）和公式（13），显然相对差异指标的计算通式包含了公式（13），按公式（13）计算所得结果表示绝对差异（y－x）相对于对数平均数而言的相对差异程度。在实际工作中利用一般的计算器就可以直接计算这种相对的对数差异指标。
设y/x＝p，z/y＝q，z/x＝r，有r＝pq；G：R[,+]→R，如果对所有的正数p和q，H（pq）＝H（p）+H（q），则这种函数性柯西型方程H（至少在一点连续）的唯一解是H（p）＝cln（p），c∈R。因此唯一具有可加性的各种相对变化指标是方法G（y/x）＝ln（y/x）的大于0的倍数，即：
G[*]（y/x）＝cG（y/x）＝cln（y/x），c＞0
相对变化率指标的这种可加性可以用来解决第一部分例3和例4中所提的问题。由公式（11）可以得到下式：
G（p[,1]q[,1]/p[,0]q[,0]）＝G（p[,1]/p[,0]）+G（q[,1]/q[,0]）（14）
需要说明的是，按传统方法计算相对差异指标时，通常乘以100%，以百分数表示。同样，我们计算对数相对差异指标时，也可以乘以100%，用百分数表示。为了区别起见，我们称前者为普通百分比，称后者为对数百分比。而且，由于G（y/x）＝（y－x）/ln（x，y）＝lny/lnx，因此，我们简称“对数相对差异指标”为“对数差异指标”或“对数变化率”。
三、对数差异指标的应用举例
第一部分例1所提问题。已知甲地区1994年粮食总产1000万吨，1995年为1200万吨，从对数差异看，1995年比1994年增长对数百分比为18.23%（100%×（ln（1200/1000））），1994年比1995年减少的对数百分比为18.23%（100%×（ln（1000/12000）））。
第一部分例2的汇率问题。1994年美元对人民币的汇率为1美元兑换7元人民币，1995年1美元兑换8元人民币，从对数变化率看，1995年美元对人民币升值13.35%（对数百分比，下同），而人民币对美元则贬值13.35%。例3的环比增长速度问题。已知某地区国内生产总值1993年为400亿元，1994年为450亿元，1995年为480亿元。根据对数增长率（即变化率），1994年比1993年增长11.78%，1995年比1994年增长6.45%，1995年比1993年增长18.23%｛18.23%＝11.78%+6.45%，或者18.23%＝100%×[ln（480/400）]｝。
第一部分例4的指数问题。利用指数体系进行因素分析是一种常用的统计方法，根据传统的指数理论，有下列指数体系成立：
总产值总指数＝产品产量总指数×产品价格总指数
根据本文所提的对数变化率计算方法，可以得到下列指数体系：
总产值总指数＝产品产量总指数+产品价格总指数
值得注意的是，按本公式计算出来的总指数已不是传统意义的总指数，而是一种不包含基数的净变化率，类似于传统方法计算所得总指数减去1（或100%）后的余数。而且，按对数变化率计算总指数时，也要求同度量因素固定在不同时期，这样才能保证进行因素分析时，绝对差异与相对差异变化一致。
假设p[,0]、p[,1]分别表示基期和报告期的价格，q[,0]、q[,1]分别表示基期和报告期的产量，某企业有关总产值资料为：基期总产值∑p[,0]q[,0]＝1352万元，报告期总产值为∑p[,1]q[,1]＝2526万元，假定的总产值为∑p[,1]q[,0]＝2276万元，∑p[,0]q[,1]＝1512万元。根据对数变化率计算公式（13）及所给资料，可以得出以下指数：
1）总产值总指数＝ln（∑p[,1]q[,1]/∑p[,0]q[,0]）＝100%×ln（2526/1352）＝62.51%；
2）产品产量总指数：
＝ln（∑p[,0]q[,1]/∑p[,0]q[,0]）
＝100%×ln（1512/1352）＝11.18%；
3）产品价格总指数
＝ln（∑p[,1]q[,1]/∑p[,0]q[,1]）
＝100%×ln（2526/1512）＝51.32%；
从指数体系看，总产值总指数（62.51%）＝产量总指数（11.18%）+价格总指数（51.32%）
由因素分析法可知，该企业总产值报告期比基期增加1174万元，增长62.51%（对数百分比，下同），其中，由于产量增加而增加总产值160万元，增长11.18%；由于产品价格上升而使总产值增加1014万元，增长51.32%。
如何计算相对差异（变化率）、增长率及指数，是统计界的传统话题。本文根据两个变量值的对数平均数公式以及计算相对变化率的通式提出相对的对数差异指数计算方法，这只是作者的初步想法，希望本文能起到抛砖引玉的作用。