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摘要：本文研究了矩形贮箱在受到外界激励时液晃波高的计算方法.首先基于等效力学模型推导计算液晃波高的计算方法，接下来基于有限元软件建立其对应的有限元模型，利用有限元方法得到的结果来对比验证算法的可行性和精确度，分析了本文算法精确度与液体晃动幅度的关系.分析结果表明，本文基于等效力学模型推导的计算算法能较好的估计晃动波高的变化；小幅晃动相对于中幅晃动和大幅晃动，其计算结果会更加精确.
关键词：液体晃动，等效力学模型，有限元方法，液晃波高
引言
充液贮箱广泛存在于航空航天等领域，贮箱内的液体晃动对承力结构的动力学特性具有重要的影响.特别是近些年来，随着航天事业的快速发展，液体所占航天器总重的比例不断加大.因此，液体晃动问题受到了航空航天领域的广泛关注[1~2].
对于液晃问题，利用等效力学模型来代替液体这一连续的介质能够极大的简化问题的研究[3].苗楠等[4]利用等效力学模型建立了横向推力作用下液体的大幅晃动，并将仿真得到的力和力矩与Flow-3D的结果进行了对比，对比结果验证了等效力学模型的有效性和准确性.Kang等[5]利用等效力学模型建立了火箭晃动试验的简化模型，研究了粘性阻尼对纵向激励下火箭内液体晃动稳定性的影响.夏恒新等[6]基于等效力学模型研究了多腔体充液系统的晃动问题.Farid等[7]利用等效摆研究了液晃系统受横向简谐激励时的晃动问题，提出了内部共振的条件，探讨了与3：1相关的非共振行为和动态响应.
液晃波高是液晃问题中一个非常重要的研究领域，国内外许多专家对此进行了大量的研究.陈科等[8]利用H-O原理建立二维充液矩形贮箱动力学方程，得到了多种激励条件下液晃波高的时间历程.吴文军等[9]利用Fourier-Bessel级数对贮箱受横向激励时自由液面处的边界条件进行展开，得到液晃系统的广义状态方程，给出液晃波高的计算方法.Kazem等[10]利用数值方法分析了圆柱形贮箱的液晃波高与充液比的关系.Wang等[11]利用数值方法了分析了充液比、隔板形状及尺寸对液晃波高的影响.
等效模型大多用于稳定性、力和力矩的研究，而对液晃波高的研究大多数是基于理论或数值方法，目前利用等效力学模型推导液晃波高算法的研究还比较少.本文首先基于等效力学模型推导了矩形贮箱在外界激励作用下液晃波高的计算算法，接下来利用有限元软件建立其有限元模型，利用有限元方法的结果来验证本文算法的可行性精确度.并分析了算法精确性与晃动幅度的关系.
1 基于等效模型的液晃波高算法推导
液晃系统贮箱内的液体包括两部分：一部分和贮箱同步运动；另一部分相对贮箱晃动，该部分质量可以用等效力学模型表示[12].如图1所示，等效力学模型包括等效质量-弹簧模型和等效摆模型，两者在小幅晃动的情况下可以相互转化.等效力学模型的构建主要基于以下原则：
(1)等效模型和原液晃系统的质量及转动惯量分别相等；
(2)等效模型和原液晃系统的质心位置一致；
(3)等效模型和原液晃系统的晃动模态一致；
(4)等效模型和原液晃系统对外激励的响应一致.
（a）等效质量-弹簧模型 （b）等效摆模型
图1 等效力学模型
假设矩形贮箱的长度为a，宽度为b，充液高度为h0，本文利用等效模型中的等效质量-弹簧模型来推导液晃波高的计算算法.首先根据文献[13]得到其等效质量-弹簧参数如下所示
（1）
（2）
（3）
式中mn表示第n阶等效质量；M为贮箱内液体的总质量；kn表示第n阶等效弹簧的弹性系数；m0表示与贮箱同步运动的液体质量.
由等效原则（1-4）可以知道，等效系统和原液晃系统在受到外界激励时其质心位置的变化规律是一致的，在此基础上，本文进一步假设自由液面在晃动过程中保持平面状态并且忽略质心位置在纵向位置的变化.因此接下来就可以利用等效质量-弹簧模型的质心位置变化来推导液晃波高的表达式.
如图2中（a）所示，基于平面假设，矩形液晃系统的侧视图为一变化的梯形，图中的
表示第n阶晃动质量引起的晃动波高相对于静液面的变化高度.如图2中（b）所示，
表示第n阶等效质量相对于贮箱在横向的位置变化.
（a）充液系统 （b）质量-弹簧模型
图2 波高变化与重心变化的原理示意图
等效模型中的m0相对贮箱其位置并不会发生变化，因此其对波高的变化没有影响，由方程（1）可以推导得到mn所对应的液体高度.由于靠近自由液面处的液体更容易晃动，因此假设没有晃动的质量全部集中在贮箱底部，基于此假设得到各阶晃动质量所对应的液体高度，该高度用Hn表示.
（5）
根据等效前后质心位置一致，只要知道
的运动规律，再利用梯形质心的计算公式得到
和 
之间的关系如下所示
（6）
由于各阶等效之间不存在耦合关系，因此将各阶质量所对应的 
进行叠加即可以得到液体晃动波高 
.要注意的是本文推导的是靠近壁面处的液晃波高，利用该波高乘以对应坐标的比例即可得到其他位置的波高.
2 液晃系统的有限元模型
为了能够对比验证上述算法的可行性，接下来利用大型有限元软件来建立矩形液晃系统的有限元模型，其中贮箱利用壳单元模拟，流体利用3D-Fluid单元模拟，为考虑自由液面处的晃动，将液体的上表面设置为势流体的自由液面.
为了验证上述液晃系统有限元模型建立方法的正确性，本文利用该方法对一长和宽为
，充液高度为4m的矩形液晃系统建立其有限元模型如图3所示，贮箱内的液体为水，对该系统进行模态分析，得到其前六阶晃动频率如表1所示，表中的公式结果是利用文献[13]中的计算方法得到的前六阶频率，从表中可知，有限元得到的频率与文献中的计算结果十分接近，因此，利用上述方法建立液晃系统的有限元模型是正确的.
图3 液晃系统的有限元模型
表1 液体晃动频率
3 算例及分析
如果仅考虑矩形液晃系统受到横向的加速度激励，加速度为 
，忽略液体粘性阻尼的影响，则对每一阶等效质量可以建立如下的动力学方程
（7）
可以解得
（8）
其中 
为第n阶晃动频率，因此联立式（1~8）即可得到液晃波高的变化规律.
算例1
设矩形贮箱的长宽高都为0.8m，充液高度为0.4m，贮箱内的液体为水.忽略液体粘性的影响，重力加速度为地面重力加速度，同时给定加速度的大小为 
.利用式（1~8）得到的液晃波高的时间历程如图4所示，其中蓝色实线代表只考虑第一阶等效的结果，而空心圆表示考虑前10阶等效的结果.由图可知两结果几乎没有区别.由图5可知，这是因为对于该液晃系统其第一阶等效质量远远大于更高阶的等效质量.实际上，工程上的液晃系统其一阶等效质量都远远大于高阶等效的质量，因此接下来的分析都只考虑第一阶等效.
图6是基于（1~8）得到的结果与有限元结果的对比，如图所示，本文推导的算法能较好的得到液晃波高的变化规律，算法得到的结果与有限元结果的幅值误差为8.78% 其中有限元结果曲线不是标准的正弦式曲线的原因可能是因为有限元方法考虑了液-固耦合效应，而基于等效模型推导的算法并没有考虑该因素.
图4 考虑第一阶及前10阶结果的对比：加速度为sint，h0=0.04m
图5 等效模型各阶质量与液体总质量的比值
图6 液晃波高的时间历程：加速度为sint，h0=0.04m
算例2
液晃按照其晃动的幅度分为3类，幅度小于5%称为小幅晃动；5%到25%之间称为中幅晃动；大于25%称为大幅晃动.算例1中的有限元得到液晃波高幅值大概在0.0444m左右，其晃动幅度为11.1%，属于中幅晃动.本文估计液晃波高的计算方法是基于等效力学模型推导的，而等效力学模型都是在小幅晃动假设基础上建立的，因此可以预估的是对于小幅晃动，本文算法对液晃波高的估计会更加精确.为了验证这一点，本文针对算例1中的液晃系统，加速度激励改为0.03sint，液晃波高时间历程如图7所示，有限元算得的幅值为0.0123m，晃动幅度约为3.07%，属于小幅度晃动，本文算法得到的结果与有限元结果的误差为0.813%，远远小于算例1中的8.78%.
图7 液晃波高的时间历程：加速度为0.3sint，h0=0.04m
算例3
接下来将加速度大小设为3sint，得到其晃动液晃波高如图8所示.此时有限元得到的幅值为0.1346m，晃动幅度为34.15%，属于大幅晃动，此时本文算法得到的结果与有限元得到的结果误差为10.98%，高于小幅晃动和中幅晃动的情况.综合以上的分析表明，本文推导的算法对于小幅晃动情况的液晃波高能够很好的估计，对于非小幅晃动，其精度会下降.
图8 液晃波高时间历程：加速度为3sint，h0=0.04m
4 结论
本文基于等效质量-弹簧模型推导了估计液晃系统在外激励作用下的计算算法，并利用有限元建立了其对应的有限元模型进行了对比验证.算例结果表明，本文推导的算法能够有效的推导小幅晃动情况下的液晃波高；对于中幅晃动和大幅晃动情况下，精度会大幅下降.
参考文献：
1Yue B Z.Study on the Chaotic Dynamics in Attitude Maneuver of Liquid-Filled Flexible Spacecraft.AIAA Journal，2011，49（10）：2090-2099
2薛伟顺，熊渊博.基于浅水波理论液体晃动初值问题的数值模拟.动力学与控制学报，2015，13（4）：308-313（Xue W S，Xiong Y B.Numerical simulation on the initial value problems of liquid sloshing by shallow water wave theory.Journal of Dynamic and Control，2015，13（4）：308-313（in Chinese））
3岳宝增，祝乐梅，于丹.储液罐动力学与控制研究进展.力学进展，2011，41（1）：79-92（Yue B Z，Zu L M，Yu D.Recent advances in liquid-filled tank dynamics and control.Advances in Mechanics，2011，41（1）：79-92（in Chinese））
4苗楠，李俊峰，王天舒.横向激励下液体大幅晃动建模分析.宇航学报，2016，37（3）：268-274（Miao N，Li J F，Wang T S.Modeling Analysis of Large-Amplitude Liquid Sloshing Under Lateral Excitation.Journal of Astronautics，2016，37（3）：268-274（in Chinese））
5Kang J Y，Oh H S.Stability of Fluid Motion in a Vehicle Subject to Harmonic Excitations In：AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit.Keystone，CO 2006，AIAA 2006-6654
6夏恒新，宝音贺西，郑亚.多腔充液晃动的等效特性.动力学与控制学报，2007，5（4）：346-349（Xia H X，Bao Y H X，Zheng Y.Equivalent characteristics of liquid sloshing in multi-tank.Journal of Dynamics and control，2007，5（4）：346-349（in Chinese））
7Farid M，Gendelman O V.Internal resonances and dynamic responses in equivalent mechanical model of partially liquid-filled vessel.Journal of Sound and Vibration，2016，379：191-212.
8陈科，李俊峰，王天舒.矩形贮箱内液体非线性晃动动力学建模与分析.力学学报，2005，37（3）：339-345（Chen K，Li J F，Wang T S.Nonlinear dynamics modeling and analysis of liquid sloshing in rectangle tank.Acta Mechanica Sinica，2005，37（3）：339-345（in Chinese））
9吴文军，岳宝增.低重环境下圆柱贮箱内液体晃动特性研究的一种解析法.宇航学报，2014，35（4）：397-403（Wu W J，Yue B Z.An analytical method for studying the sloshing properties of liquid in cylindrical tank under low gravity environment.Journal of Astronautics，2014，35（4）：397-403（in Chinese））
10Kazem H，Mehrpouya S.Estimation of sloshing wave height in broad cylindrical oil storage tanks using numerical methods.Journal of Structural Engineering and Geo-Techniques，2012，2（1）：55-59
11Wang W，Guo Z，Peng Y，et al.A numerical study of the effects of the T-shaped baffles on liquid sloshing in horizontal elliptical tanks.Ocean Engineering，2016，111：543-568
12Ibrahim R A.Liquid Sloshing Dynamics：Theory and Applications.Cambridge University Press，2005
13Ibrahim R A，Pilipchuk V N，Ikeda T.Recent Advances in Liquid Sloshing Dynamics.Applied Mechanics Reviews，2001，54（2）：133-199
论文作者:李清
论文发表刊物:《基层建设》2019年第18期
论文发表时间:2019/9/25
标签：模型论文; 液体论文; 有限元论文; 力学论文; 质量论文; 算法论文; 系统论文; 《基层建设》2019年第18期论文;