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中图分类号:B81-06 文献标识码:A 文章编号:1000-2804(2005)01-0068-04
一、量子逻辑的起源
量子逻辑是一门富有生命力,正在发展着的当代数学和理论物理的一部分,一门由数 学家、物理学家和哲学科学家坚持认为有重要影响和作用的科学[1]。从操作的定义讲 ,它是建立在物理运算、物理实验、物理过程、物理测量或者是物理检验的概念上的, 最起码它是应当承认的一个清晰的操作的范例;而从思维角度讲,它是研究人们在从事 研究微观领域的活动中思维的活动规律,形式结构及其有效推理的一门科学。
正像数理逻辑是在数学基础研究中产生的,量子逻辑也是在量子力学基础的研究中提 出的。19世纪末与20世纪初,经典物理学理论(牛顿力学,热力学及统计物理学,电动 力学)一方面被认为是发展到了相当完善的地步,但另一方面又在生产与科学实验面前 遇到了不少严重的困难[2],如:黑体辐射,光电效应和原子的稳定性等。这些现象都 与微观物理现象有关,那么在涉及到微观领域的物理现象时,依据已有的经典物理理论 无法给出合理的解释,在此经典物理理论陷入了死胡同。量子力学的概念和规律就是在 解决这些矛盾的过程中逐步揭示出来的。而对于一个物理理论T我们可将其分解为一个 数学形式体系F,一组认识关系R和一幅物理图像M和第四种时常被人们所忽视的一种成 分,即表述T所用的演绎推理的形式结构。如果某个理论T陷入了死胡同,那么必须修改 的不一定是它的数学形式体系,也不一定是它处于逻辑范围之外的概念的意义,T的表 述所依据的逻辑同样要进行修正。那么沿着这样一条途径寻求量子力学的一种诠释,通 常就称为量子逻辑方法[3]。
从历史的观点说,量子逻辑起源于冯诺伊曼的两值可观测量的观察资料,在他的量子 力学形式化中由投影算符来表示,构成了实验命题的一种逻辑。在此基础之上莱辛巴赫 和冯诺伊曼及毕克霍夫分别创立了具有“不确定”中间值的三值量子逻辑和格演算的量 子逻辑。有关量子逻辑的早期的重要研究有毕克霍夫和冯诺伊曼的1936年的《量子力学 逻辑》,斯特劳斯1936年的the Logic of Complementarity of Quantum Theory,莱辛 巴赫1941年的Philosophical Foundation of Quantum Mechanics。但莱辛巴赫的多值 量子逻辑自从他提出之后没有得到什么发展,斯特劳斯的研究也一直不为人所知。直到 1960年代以后,其他一些人独立地提出了与斯特劳斯相似的观点,而这些人的研究受毕 克霍夫和冯诺伊曼的启示,对他们的方法作了一些修改。毕克霍夫和冯诺伊曼的工作也 是1960年代之后才引起了人们的广泛兴趣。所以目前文献中所说的量子逻辑通常就是指 由毕克霍夫和冯诺伊曼于1936年提出的量子逻辑,而在1960年代以后由后人加以修改或 发展而形成的一个研究领域[4]。较近的论述有Sudbrey 1986的Quantum Mechanics and the Particles of Nature,ch5和Hughes1989年的The Structure and Interpretation of Quantum Mechanics,ch7 Quantum Logic以及根源于1998年6月和1999年5月在布鲁 塞尔自由大学召开的量子逻辑学会议的论文集Current Research in Operational
Quantum Logic。
二、量子逻辑与经典逻辑的关系
量子力学与经典力学存在着许多不同之处,在经典力学里,质点的位置及其他物理量 原则上总是可以精确测定,而且只要知道受力情况及初始状态,该质点在其后任何时刻 的位置及其他物理量总可以确定的。这就是经典物理的确定性。然而以干涉和衍射现象 为基础的波恩的几率假设表明,微观世界是由几率性控制的,即使初态确定的微观粒子 ,对其后的运动状态,我们也只能预言其可能的行为,这就是量子力学的不确定性。
在量子力学里,用态函数描写其运动状态。态函数本身不是物理量,而是描 写某种概率分布的振幅,即概率幅。在经典物理中对物理量进行测量时,给出的是精确 的值,而在量子力学中对物理量进行测量时给出的是物理量在其平均值附近的分布情况 。量子力学和经典力学所存在的差异就决定了人们在对二者加以研究时所采取的思维方 式必然存在着不同之处,因而作为研究人类思想形式结构及其规律的量子逻辑一定与经 典逻辑存在着许多不同之处。
下面我们来看一下目前关于量子逻辑的研究成果中所表现出来的与经典逻辑的差异性 。
假定Σ是一个经典命题系统,S = St(Σ)是Σ状态空间,& = Pr(Σ)是命题系统。
对于量子力学来说,也可用Σ来表示量子系统,而与其对应的是希尔伯特空间H,& = Pr(Σ)仍是命题系统。在命题系统上我们可以定义蕴涵关系及一些逻辑运算,对于经典 系统和量子系统来说,二者在这方面既有同一性又存在着差异性,这主要是由于对微观 系统的测量具有实质上的不确定性,对观测结果只能表达为概率的陈述。二者的具体区 别如下:
1.经典的命题系统在所定义的蕴涵关系下构成一个布尔格,而量子系统的命题系统构 成一个正交模格。我们知道对于一个偏序关系<L,≤>,如果L中任意两个元素均有最 小上界x∨y和最大下界x∧y,则称<L,≤>是格。并且在L上定义一元运算~使得对于 x,y属于L,有:
(1)~~x = x
(3)x∧~x = 0,x∨~x = 1
则称L为正交补格,当正交补格满足分配律时,称为布尔格[5]。
对于经典命题系统,设命题P,Q属于命题集合L,0和1分别为两个常命题,显然0,1分 别为集合L上的最大下界和最小上界,并且~~P = P,如果;P∧~P = 0,P ∨~P = 1,同时对于L上的交、并运算满足分配律,所以经典命题系统是构成一个布尔 格。我们可以举一个具体的例子。
设Σ为经典热力学系统,S是系统的所有状态空间,F是命题系统,取S的一个子集S′热力学系统的平衡态(所谓平衡态是指在不受外界影响的条件下,系统所有可观测的宏观性质不随时间变化的状态,不受外界影响是指外界对系统既不作功也不传热,但并不要求系统不受外力的作用,只要外力不作功,对系统的热力学状态就没有影响)为例,设P,Q,R为描述系统状态特性的三个命题,如:用P表示系统与外界没有能量交换,用Q表示系统的温度保持不变,用R表示系统分子的平均动能保持不变,显然
偏序关系,同样它也满足最大下界和最小上界的定义,因而F就成为一个格,此外在F 上可以定义一元运算~,~P表示并非系统与外界没有能量交换,即系统与外界有能量 交换,则~~P的意思是并非系统与外界有能量交换,即,系统与外界没有能量交换, 所以~~P = P。同理命题也满足正交补格的其他性质并且F满足分配律,在此就不一一 加以证明了,由此根据布尔代数的定义,F是一个布尔格。当然,对于其他的经典命题 系统,我们也可以证明它们是满足布尔代数的定义的,这里就不逐一加以证明了。总之 ,经典的命题系统是一个布尔代数。
对于量子系统来说,表达量子系统的命题对于合取和析取运算是不满足分配律的。以 希尔伯特空间的闭子空间为例[6],对于一个平面上所有的矢量组成的希尔伯特空间H[,2],仅就H[,2]来说,它的闭子
命题系统来说也满足此定律,因而,量子系统的命题系统是正交模格。量子力学命题 系统不满足分配律的情况我们还可以用粒子自旋的例子来证明,设a命题代表Sx = h/2 ,a'代表Sx = -h/2,b代表Sz = h/2,显然有b∧(a∨a') = b,而(b∧a)∨∧(b∧a') = 0,所以有b∧(a∨a')≠(b∧a)∨(b∧a')(在这里,∧,∨分别代表着命题间的合取 和析取运算,而代表着集合间的一种交运算)。
2.在经典命题逻辑中所成立的一些语义后承关系在量子命题逻辑中一般将不再适用。 经典逻辑中所熟知的普遍有效和语义后承等概念是用布尔代数作为语义模型定义的语义 有效及语义后承,如:分配律、分离规则等
而量子命题逻辑则是用正交模格作为语义模型定义语义后承关系的。这样经典命题逻 辑中成立的语义后承关系在量子命题逻辑中一般将不再成立,在量子命题系统中,当代 表物理量的算符不满足对易关系时,两个物理量的交与在经典物理中两个物理量的交具 有完全不同的含义。在经典力学中两个物理量可以同时测量,而在量子力学中,通常情 况下不对易的两个物理量是不能同时测量的,因而(1)、(2)两式则变为
三、量子逻辑研究展望
量子逻辑从最初的研究到现在已有近70年的历史,期间产生了许多有重要影响的著作 。比较早期和近期的论述可以看出,早期的量子逻辑学者致力于分析经典物理和量子物 理的逻辑结构,分析它们的相似点与不同点,而较近的研究者则试图在一个统一的概念 框架之内建立一个既包括经典物理学、亦包括量子力学的物理学普遍理论。
分析现有量子逻辑研究成果,笔者认为现有研究成果中主要存在以下几方面问题需要 做深入的研究:
1.量子逻辑和经验的关系。笔者认为,逻辑和经验是不可分的,逻辑来源于经验。逻 辑的发展基于社会生产、各门科学的发展状况,例如,为何逻辑学在印、中、希腊都发 祥于两千多年以前?为什么亚里士多德重演绎、培根补以归纳法?为什么达·芬奇、牛顿 等重视科学方法?为什么数理逻辑奠基于十七世纪中叶、二十世纪以来又得以蓬勃发展? 这都与当时的自然科学发展有密切关系,演绎法、归纳法,数理逻辑,等等,都可以说 是“应运而生”[7]。因而我们说逻辑不是先验的,它与经验科学是密不可分的,H·普 特南认为逻辑就是经验的[8]。同样量子逻辑来源于对量子力学的研究,因而对这一问 题应从量子逻辑的起源入手对其加以研究,从而回答量子逻辑的哲学问题。
2.现有量子逻辑研究大都属于在经典逻辑基础上对量子命题逻辑的外延层面上的研究 ,例如从量子力学的纯数学体系对照经典逻辑加以研究,这在很大程度上解决了对量子 力学的数学解释问题。但这并没有从根本上解决量子力学悖论问题,按照罗素的观点, 解决悖论应当符合三个标准,即,逻辑矛盾要排除,不能伤害数学和不能违背常识。而 现有量子逻辑的研究成果中,对于量子悖论的解决并不完全符合这三条原则,要么是对 量子悖论加以回避,要么是缩小系统等。因而并没有从根本上解决量子悖论问题。同时 ,也没有针对量子力学命题的特点,即辩证矛盾性,从内涵的角度做特别深入的研究, 例如两个量子命题的并,交等究竟具有什么意义,以及能否在量子逻辑中给出一个表示 蕴涵的逻辑运算等。我们知道建筑在量子力学基础上的量子物理学世界,在本体论上具 有跟经典力学本体论全然不同的特征,其中最突出的就是量子现象的整体性特征,即实 验结果与测量条件形成一个不可分割的整体[9]。两个命题的合取在经典逻辑和量子逻 辑中应当具有完全不同的含义,在经典逻辑中,两个命题的合取反映的是同时性;而量 子逻辑中的两个命题的合取反映的是客观事物的整体性,反映了客观事物具有不同方面 、不同层次、不同阶段的属性。它体现了互补性,例如,对于坐标算符和动量算符在测 量条件下就体现了一种互补的关系。以双缝理想实验为例,如图2所示:
量的一次测量引起D2位置测不准量,其大小与干涉条纹之间的距离同数量级,于是就 完全抹掉了衍射花样。据此,玻尔提出了粒子的轨道同干涉图样示互补的观念[10]。这 体现了量子力学命题间的互补特性。而辩证逻辑是研究反映事物互补结构整体的思想形 式结构及其规律和方法的科学[11],因而以数理辩证逻辑为工具来构建量子逻辑系统进 而解决在经典逻辑解释下所出现的量子悖论问题是一条行之有效的途径。
3.加强量子逻辑在实践领域中的应用的研究。近来发展起来的量子计算机和量子信息 理论以及社会现象中表现出来的量子现象,为量子逻辑理论的应用提供了广阔的空间, 因而将量子逻辑与这些应用领域联系起来加以研究,一方面可以使这些领域得到量子逻 辑理论的支持,另一方面也可以使量子逻辑理论在应用中得到实验支持、修正,从而进 一步完善。
收稿日期:2004-05-26