裴秀的“制圖六體”與“計里畫方”，本文主要内容关键词为：制圖六體论文,計里畫方论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
西晋裴秀(224-271)提出“製圖六體”，一曰分率，二曰準望，三曰道里，四曰高下，五曰方邪，六曰迂直。一般認爲前三者相當於現代地圖中的比例尺、方向、距離，後三者指對實測路程進行校正以得到兩地的水平直綫距離。這樣理解在一般意義上是正確的，没有這些元素構不成地圖，然而在具體的繪圖作業中，要將某一地點在地圖上準確定位，要麼知道它的縱橫坐標，要麼知道它相對某一已知點的方位和距離，後者需要進行角度測量。那麽製圖六體中是否包括縱橫坐標或角度測量的内容，裴秀怎樣在地圖上標定地物的具體位置，怎樣理解裴秀提出的一些基本概念，製圖六體在哪些方面作出了重大創新，等等，前輩學者多有論及，其中頗有争議者，本文試作探討，以就正於方家。
一、分率——由“尺方圖”到“寸方圖”
先從“分率”、“準望”談起。裴秀曾遍覽西晋秘書省收藏的地圖，所見“唯有漢氏所畫輿地及諸雜圖”，他批評這些地圖“各不設分率，又不考正準望”，“其所載列，雖有粗形，皆不精審”①。故裴秀繪圖首重分率、準望。據記載，裴秀一生主持繪製過三種地圖，最著名的當屬《禹貢地域圖》。《晋書·裴秀傳》記載，裴秀任司空，因鑒於“今秘書既無古之地圖，又無蕭何所得”②，“以職在地官”，“作《禹貢地域圖》十八篇，奏之，藏於秘府”。此圖考古今地名，“隨事注列”，是裴秀刻意爲西晋朝廷補作的一幅“古今地圖”，據研究它是我國最早的一幅歷史地圖③。該圖因藏於秘府，不傳於世，人們無由知其分率。但此次上奏的序文却被《晋書》中的裴秀本傳以及唐歐陽詢《藝文類聚》、徐堅《初學記》等類書所記載，使裴秀提出的“製圖六體”傳之於世，從而奠定了裴秀在地圖發展史上的歷史地位。
史籍明確記載有裴秀兩幅地圖的分率，一是隋虞世南《北堂書鈔》卷九六引傅暢《晋諸公贊》云：“裴秀以舊《天下大圖》，用縑八十匹，省視既難，事又不審，乃裁减爲《方丈圖》，以一分爲十里，一寸爲百里，從率數計里，備載名山都邑，王者不下堂而知四方也。”④《方丈圖》是縮小了的一幅古地圖。其比例尺按1里=360步，1步=5尺計算，大約相當於1∶180萬。此圖因比例尺比較適中，流傳較廣，影響較大。南朝劉宋詩人謝莊(421-466)曾經依據裴秀的《方丈圖》，製造過一丈見方、可以拆合的木質地形模型《木方丈圖》，“山川土地，各有分理；離之則州別郡殊，合之則宇内爲一”⑤。唐代張彥遠（約815-874）在其名著《歷代名書記》中，將《地形方丈圖》列入“古之秘畫珍圖”之中。
另一幅是西晋當朝的全境圖，如《水經·穀水注》載“京相璠與裴司空彥季修《晋輿地圖》，作《春秋地名》”；《隋書·經籍志》“《春秋土地名》三卷，晋裴秀客京相璠等撰”。《隋書·宇文愷傳》載“裴秀《輿地》以二寸爲千里”⑥，據此其比例尺約爲1∶900萬，是《方丈圖》的五分之一，將原圖縮小到二尺見方，可以稱得上袖珍地圖了。關於這幅地圖的繪製，史籍明確提到京相璠參與其事，而《晋書·裴秀傳》中並没有提到這幅地圖，有學者認爲京相璠才是真正的地圖學家，裴秀只是個大官僚而已⑦。請注意《隋志》在記載《春秋土地名》作者時指出“京相璠等撰”，且明確指出“京相璠等”是裴秀的門客；《水經注》載是書爲修《晋輿地圖》而作，這説明參與繪製《晋輿地圖》的絕非京相璠一人，而是裴秀的衆門客，京相璠是其中主要一位或代表人物，在著述《春秋土地名》時起了主要作用。前兩幅地圖是否有京相璠參加，不得而知，但必有衆門客參加是可以想見的。即使有京相璠參加繪製的《晋輿地圖》，也被隋朝建築大家宇文愷稱之爲“裴秀《輿地》”，其他地圖歸功於裴秀更無問題。何况只有裴秀這樣身份的人才有可能遍覽秘書省圖籍，其門客是不可以進入秘府的；且上奏《禹貢地域圖》的序文必是裴秀所親爲等等。因此，我們認爲强調京相璠等人的作用是應該的，但不應因此而否定裴秀在中國地圖學史上的地位和作用。
史籍並未記載裴秀及其門客進行過較大規模的地理測量工作，他們繪製地圖很可能主要在古地圖的基礎上進行。《方丈圖》及《輿地圖》都存在著按一定比例將原圖縮小製作的問題，爲保證新圖與原圖不走樣，需將底圖上的大方格（如無方格需采取一定措施補上），按比例縮制爲新圖上的小方格，具體做法與“放樣”製作相反，可稱作“縮樣”，“縮放樣”是傳統木工的主要製作方法。造就是後世所説的“計里畫方”。“計里畫方”大約需要遵循一個古老的習慣，就是“天下萬方”、“方百里”。
《左傳·襄公七年》載“禹合諸侯于塗山，執玉帛者萬國”。《戰國策·齊策》、《吕氏春秋·用民》等皆稱大禹時天下有諸侯“萬國”。《漢書·地理志》：“昔在黄帝……畫野分州，得百里之國萬區。是故《易》稱‘先王以建萬國，親諸侯’，《書》云‘協和萬國’，此之謂也。”《新書·禮容語》：“（漢）高皇帝起于布衣，而兼有天下，臣萬方諸侯。”“天下萬方”被作爲統一的政治版圖的象徵，這大約是傳世所繪“禹貢圖”、“禹迹圖”等多用“計里畫方”的方式把“天下”分爲“萬方”的依據。
方國諸侯始封地的大小一般爲“方百里”。或認爲“方百里”與井田有關，或認爲“方百里”指封國的土地面積，與井田無關⑧。實際上“方百里”與先秦時代的“天下”觀念及封建制度密切相關。《墨子·非命》、《商君書·刑約》記載商湯封於亳、周文王封於岐，《孟子·告子下》載周公封於魯，太公封於齊等，均只有“方百里”，《孟子·公孫丑上》還説“文王猶方百里起”。《史記·晋世家》載晋始封地“唐在河汾以東方百里”。《左傳·昭公二十三年》載楚國先君“若敖、蚡冒至於武、文，土不過同”杜預注“方百里爲一同”；《周禮·匠人》“方百里爲同”等。由此可見“方百里”是指封國的面積，是天下萬國的一個基本單位，按每一“方”大小爲“百里”見方的標準計算，“天下萬方”的實際面積爲“百萬”里見方，即一萬億平方里，這就是當時人們心目中“世界”的大小。“天下萬方”、“方百里”從先秦時代開始就已成爲中國古代“世界地圖”的基本框架。
裴秀的《方丈圖》就是一幅“天下萬方”圖。其底圖《天下大圖》“用縑八十匹”，按《漢書·食貨志》“布帛廣二尺二寸爲幅，長四丈爲匹”的標準，八十匹絹可用四十匹上下相接方式製作出八丈見方的“大圖”。每一邊以八寸爲單位劃分爲一百格，全圖共得一萬方格，形成“天下萬方”圖。按“方百里”的規制，此《天下大圖》的比例尺爲“八寸百里”，應是所謂“大圖”量級的比例尺。因其方格邊長接近於一尺，姑且將此類地圖稱爲“尺方圖”。
裴秀的《禹貢地域圖》由十八幅構成，按幅寬“二尺二寸”計，推測應是將《天下大圖》縮小一半而成，比例尺爲“四寸百里”，這是裴秀製作的大比例尺地圖。比例尺大於“寸百里”者或可視爲“大圖”。裴秀又將《天下大圖》縮小八倍爲每方“寸百里”的《方丈圖》，即由“尺方圖”縮小爲“寸方圖”，這可能是屬於“中圖”量級的比例尺。《輿地圖》再縮小爲“分百里”量級（實爲“二寸方千里”、“寸五百里”、“分二百里”或“半分百里”）的“小圖”。可以説裴秀在古舊地圖的基礎上采取縮制的辦法，對大、中、小三類比例尺地圖都有繪製。其縮樣比例尺有三種：(1)由《天下大圖》到《禹貢地域圖》縮小至二分之一；(2)由《天下大圖》到《方丈圖》縮小至八分之一；(3)由《方丈圖》到《輿地圖》縮小至五分之一。
“計里畫方”繪製地圖很可能在西周封建時代就有了，它不僅適應了封建製度的需要，而且十分有利於地圖的復彷製和縮放樣製作。用方格網控制整個地圖的布局，可以保證地圖在彷製、縮制過程中保持原樣不變。我們説裴秀的《方丈圖》在縮制過程中使用了“畫方”，理由如下：首先，《天下大圖》由“尺方圖”縮小爲“寸方圓”，仿照木工縮放樣技術進行縮圖製作並無技術上的困難；其次，八十匹絹正好構成方八丈的《天下大圖》，縮制爲“寸百里”的萬方網，其寬幅大小恰好是“方丈圖”；第三，根據“天圓地方”的宇宙觀念，“天下”必定呈正方形，圖名“方丈”顯示整幅圖爲正方形；寬幅一丈見方正好容納一萬格“寸百里”的畫方，於是正好把“天下”完整準確地表示爲“萬方”。因此裴秀他們使用“計里畫方”的技術應該是没有問題的。也許底圖上原本没有“畫方”，故裴秀批評它們既不設分率，又不考準望。爲了製作新圖裴秀有可能在原底圖上布置相應比例的“畫方”。當然“小圖”類的比例尺太小，若將整圖劃分爲“分百里”的微小方格似無必要，可能會將畫方適當放大。例如《隋書》載裴秀《輿地圖》“以二寸爲千里”，可設想小圖布置的可能是二寸見方或“寸五百里”見方的方格網。
總之，裴秀繪圖非常注重“分率”，堅持整幅地圖必須使用同一比例尺，爲保證分率的統一性，裴秀采用方格綱對整幅地圖進行布控，使得地圖的縮放樣變得更加簡便易行，並曾以“寸百里”爲畫方將“天下萬方”表現爲一幅《方丈圖》。從這個意義上講，裴秀的“分率”就是畫方，畫方就是“分率”，這一方法很好地表現了先秦時代即已形成的“天下萬方”、“方百里”的世界觀念。
二、準望——“畫方正”等於“準望正”
如上所述，“計里畫方”是縮制地圖的必要措施，也是地圖“分率”（比例尺）的直接表現。從另一方面來看，“畫方”又是“準望”（方向）的具體體現。裴秀論述云“二曰準望，所以正彼此之體也”；“有分率而無準望，雖得之一隅，必失之他方”；“有道里而無高下、方邪、迂直之校，則徑路之數，必與遠近之實相違，失準望之正矣”；“彼此之實，定於準望”。以上所述“彼此之體”當指畫方之體；“一隅”、“他方”也與畫方有關；因此“準望”之正，當指“畫方”之正。
問題是裴秀認爲“徑路”與“遠近”相違，會“失準望之正”，用現在的話説就是：實際距離與圖上距離不符，會使方向改變。這使我們很難理解，因爲按照現代知識，距離和方向是兩個獨立變量，沿同一方向可以延伸無限長距離而不會改變方向，因此距離失真不會必然導致方向失真。那麼爲什麼裴秀會認爲“準望”失正，是由距離失真引起的呢？我們應該從“準望”的定義開始尋找答案。
“準望”一詞，顧名思義，“準”指水準，“望”指測望。《説文解字》：“準，平也，从水隼聲。”段玉裁注“謂水之平也，天下莫平於水，水準謂之準”⑨。《漢書·律暦志上》：“繩直生準，準者，所以揆平取正也。”《周禮·考工記》：“匠人建國，水地以懸，置槷以縣，視以景。爲規，識日出之景與日入之景，晝參諸日中之景，夜考之極星，以正朝夕。”所謂“水地以懸”就是建立大地水準面；“正朝夕”就是“正東西”。此謂測定正東西方向必須建立在大地水準面上，就是“揆平取正”。《周髀算經》卷下也記載了類似方法：“以日始出立表而識其晷，日入復識其晷，晷之兩端相直者，正東西也；中折之指表者，正南北也。”以上通過“晷影”測定正東西及正南北方向，可稱之爲“晷影”法。《淮南子·天文訓》記載另一種“正朝夕”法：“先樹一表東方，操一表却去前表十步，以三望日始出北廉。日直入，又樹一表於東方，因西方之表，以三望日方入北廉。則定東方兩表之中與西方之表，則東西之正也。”《淮南子》此法利用了“三點一綫”的直綫原理，可稱之爲“三望”法。《周髀算經》卷下還記載了一種“引繩希望”法：“立八尺表，以繩系表顛，希望北極中大星，引繩致地而識之。”以此測得正東西、正南北方向。以上是辨正方位的“晷影法”、“三望法”、“希望法”，三法均需立表測望，而所立之表必須建立在水準面上，這就是“準望”一詞的來源。
清劉獻廷《廣陽雜記》卷二：“（裴秀）作準望，爲地學之宗，惜其不傳於世。至宋（當作元）朱思本，縱橫界畫，以五十里爲一方，即準望之遺意也。”⑩胡渭《禹貢圖後識》：“今按分率者，計里畫方，每方百里、五十里之謂也。”(11)二者各執一詞，其實他們的説法都是正確的，“計里畫方”既是分率，又是準望。裴秀説“分率所以辨輪廣之度也”，李約瑟博士在其《中國科學技術史·地學》中把“輪廣之度”翻譯成平行綫（如車輪兩轍）之間的距離(12)，實即畫方邊鐄的距離；又把“準望”解釋爲“矩形網格”(13)；胡道靜則將裴秀的“準望”稱爲“直角網格”(14)，這些把“分率”、“準望”與“畫方”聯繫起來的解釋是正確的。
不僅如此，畫方還是進行地圖縮放樣的基本框架，畫方的邊綫是用來確定地物在地圖上相應位置的基準綫。怎樣確定地物在圖上的位置？裴秀製圖六體中設定直接給出“道里”數，通過對“道里”進行“高下、方邪，迂直之校”得到“徑路之數”。假設以畫方的左下角爲基點，則“徑路”就是圖上位置在畫方中的斜徑。裴秀製圖六體中的“分率”以及自“道里”以下四法，都是爲了得到這一“徑路”數據。然而僅憑這一數據不能確定該點在畫方中的位置，還必須通過“準望”之術測得“徑路”綫與畫方邊綫的夾角，才能確定該點的準確位置。這種“徑路之數”加“準望之實”的定位方法類似於今之極坐標法，而“畫方”實際上起到了坐標框架的作用。
製圖六體中除“準望”以外的“五體”都是圍繞“道里”以求“遠近之實”的諸要素問題及其求解法則，因此“道里”之數是古地圖上的基本數據。《管子·地圖篇》中説：“凡兵主者必先審知地圖”，諸如山川“之所在”、“道里之遠近、城郭之大小”等“必盡知之”；“地形之出入相錯者，盡藏之；然後可以行軍襲邑，舉錯知先後，不失地利，此地圖之常也”。其中“道里之遠近”被認爲是“地圖之常”。裴秀《禹貢地域圖序》稱“道里，所以定所由之數也。……雖有準望而無道里，則施於山海絕隔之地，不能相通”。裴秀的“道里”與《管子》所説的行軍路程是一回事，就是兩地之間交通路綫的實際長度，且是當時地圖上應該標明的常識；至於兩地之間的直綫距離，由於有“分率”可以計算，是不用在圖上標注的，這與現代地圖完全相同。
人們常將裴秀的“道里”與現代地圖上的“距離”概念相比附，這是不恰當的，裴秀使用的是“路程”概念而非“距離”概念。雖然“距離”是地圖製圖的基本要素，但在裴秀製圖“六體”的六個名稱中並没有可以相當的概念，在其解釋“六體”的説明文字中使用了“遠近之差”、“遠近之實”、“徑路之數”、“徑道之實”等説法，則是可以與“距離”相當的概念。其文曰：“有圖像而無分率，則無以審遠近之差。……有道里無高下、方邪、迂直之校，則徑路之數，必與遠近之實相違，失準望之正矣。此六者，參而考之，然後遠近之實，定於分率；彼此之實，定於準望；徑道之實，定於道里。”所謂“徑路”、“徑道”顧名思義就是“徑直道路”，即今所謂水平直綫距離。由上引可以看出“遠近”數或者“徑路之數”有三個特點：一是與比例尺相關（“定於分率”）；二是與方向相關（“與遠近之實相違，失準望之正”）；三是與路程相關（由“道里”數校正而得）。符合以上三個特徵的只能是“距離”，因爲只有兩點間的水平直綫距離才能唯一確定、指向一定方向而與比例尺相關；兩地之間的路程則取决於地勢傾斜與綫路曲折的程度等，與比例尺、方向無關。
那麼“徑路之數”與“遠近之實”是什麼關係呢？假定地圖的分率、準望都正確無誤，那麽“遠近之實”是可以直接從地圖上量得的，等於兩地間的圖上距離除以比例尺得實際距離，即所謂“鳥飛之數”或“鳥道”數。而“徑路之數”是由“道里”數换算得來的，如果它與圖上量得的“鳥道”數完全相符，説明準望正確。因此畫方的正確定位和不變形，是保證“徑路之數”與“遠近之實”相符的關鍵。如果畫方錯動導致本區的繪圖基點改變，距離正確必然會使原位置改變；如果基點未變而畫方的邊綫變形，距離正確顯然會使原方向發生改變。只有畫方正確，才能保證距離正確不會引起位置和方向的改變。事實上由於球面不可以完全展開爲平面，畫方繪圖的方向失真問題不可避免，但“畫方”正確可以使誤差最小以致不被發現。
裴秀把“失準望之正”歸咎於“與遠近之實相違”是有深刻道理的。已有學者指出裴秀的“道里”是確定“準望”的技術途徑(15)。今本《晋書·裴秀傳》漏掉“失準望之正”一語(16)，今據《九家舊晋書輯本》臧榮緒《晋書》卷五《裴秀傳》及《藝文類聚》、《初學記》中的有關記載補正。在把地面物體準確定位的過程中，“準望”（方向）和“遠近”（距離）兩者是必須的，並且一般來説沿着同一直綫方向延伸或縮短距離，不會改變方位角。但如果以“畫方”爲框架來限制方位，情況就會大不一樣：例如以畫方的左下角爲基點，該點位置爲已知，直綫連接畫方中的某一端點，那麼端點與基點的距離就是“遠近之實”；假設端點位置固定，“遠近之實”有改變必定引起基點位置移動，也就是整個畫方的位置錯動，此即所謂“失準望之正”。裴秀所説“遠近”失實會導致“準望”失正的情況，只有放到“畫方”這個座標框架中來理解，才會一目了然。
由於地圖繪製在平面上，而地球表面（球面）是不可展開圖形，所以完全要做到角度和距離都不變形是不可能的。然而裴秀他們的繪圖作業是分割在“方百里”的小塊範圍内進行的，可以想見在如此小的範圍内，在没有“地球”概念的頭腦中憑藉肉眼觀察，無論是角度變形、還是距離變形都是很難發現的。而且，裴秀的“準望”並不能完全等同於現代的方向或方位概念，它是和“計里畫方”緊密聯繫的；“畫方”的位置、方向正確就等於“準望”正確；在我們今天看來僅有距離延伸而方向並未改變的情況，裴秀他們却認爲已經“失準望之正”了。因此，真正的方位只有在“準望”的框架——“畫方”内才是有效的。在畫方内聯繫方位和距離以確定位置的方法，十分類似於現代的極坐標法。它與現代極坐標不同的是，即使在同一畫方内，所有諸點都可能不共同使用同一個極，而是逐點定位的，前者是後者的極，後者以前者爲基點，在已知點沿某方向延伸相應距離到新的圖點。這樣誤差容易累積起來，積累到一定程度就會出現因距離失真而導致畫方錯動——“失準望之正”的情形。因此需要用“畫方”來總體控制，使新增圖點儘量校正到同一基點及其對於畫方邊綫的方向上來。
上述解釋還可從北宋沈括及清初胡渭兩位著名地圖學家對“準望”（方隅）與“遠近”的重視中得到印證。沈括使用“鳥飛之數”表示水平直綫距離，他説：“地理之書，古人有《飛鳥圖》，不知何人所爲。所謂‘飛鳥’者……按圖別量徑直四至，如空中鳥飛直達，更無山川回屈之差。余嘗爲《守令圖》，雖以二寸折百里爲分率，又立準望、牙融、傍驗、高下、方斜、迂直七法，以取鳥飛之數。圖成，得方隅、遠近之實，始可施此法。”(17)沈括所説的“方隅”就是畫方，得“方隅之實”就是得“準望之正”。沈括强調必須同時“得方隅、遠近之實”始可施法，實即今極坐標定位法。胡渭則强調“準望，遠近之實，必測虛空烏道以定數，然後可以登諸圖，而八方彼此之體皆正。否則，得之於一隅，必失之於他方，而不可以爲圖矣”(18)。可見“準望、遠近之實”是圖上定位（“登諸圖”）的兩個基本要件，這種類似極坐標定位的方法就是從裴秀“製圖六體”的傳統理論繼承而來的。
如果由實測數據繪製地圖，那麽準望之術意味著必須實地進行方位角的測量，並在圖上進行角值度量。角度測量在技術上並無困難，如《周髀算經》記載蓋天家使用測地平經差的方法測量二十八宿距度(19)。裴秀“製圖六體”中稱“度數之實，定於高下”，即高度就是用角度來度量的。傳統文獻中方位是由“二十四山”及其分值刻度來表示的。然而裴秀他們在原有古地圖的基礎上進行縮樣製作，理論上完全没有必要去測量角度，只需仿效木工縮放樣的作法，先作畫方，用一個活動角尺量取古地圖上某點在畫方中相對於基點的斜徑及其張角，斜徑長度就是所繪圖點相對於畫方基點的“遠近之實”；斜徑相對於畫方臨邊的張角就是圖點的“準望之實”。然後固定角尺的張角，平行移至新地圖的相應畫方中，再按比例縮小斜徑的數值得到一端點，就完成了一個圖點的縮樣作業。或者裴秀他們已發明平行四邊形縮放尺，可以手工操作機械製圖。無論怎樣做，前提是底圖的分率、準望必須正確。很遺憾裴秀所見“輿地及諸雜圖”的分率、準望都有問題，他必須對原圖數據作一番校正工作。
裴秀不必進行實地測量，僅憑古地圖上記載的“道里”、“高下”數據就可判斷其分率、準望是否正確。例如取兩段路程的“道里”數，分別對其進行迂取直、方取斜、高取下三種校正，得到兩者的“徑路之數”相等；而在圖上直接量取的兩段“烏道”數却不相等，這説明兩段路程的水平直綫距離不符合“遠近之實”，這是由分率不正引起的。另如取單段路程的“道里”數，對其進行迂直、方斜、高下校正後得到“徑路”數，與圖上量得該段路程的“鳥道”數却不相等，此即所謂“徑路之數與遠近之實相違”，這是由畫方位置錯動引起的，故曰“失準望之正”。裴秀只有對古圖的“分率”、“準望”進行校正後，才可能以此爲基礎縮制新地圖。
三、“度數之實，定於高下”
裴秀爲求得徑路之數而進行的三種校正，一般解釋爲“逢高取下，逢方取斜（邪），逢迂取直”(20)，可分爲高差校正及裁彎取直校正兩種。“方取斜”實爲“折取斜”，因爲兩地路程絕少曲折正好如勾矩者，如磬折狀者居多。例如，路程中有一曲折點與兩端點構成斜三角形，“方取斜”即由兩折邊求斜邊，其法過曲折點作斜邊的垂綫，將斜三角形分解爲兩直角三角形，然後通過勾股定理求解。“方取斜”實際上是“迂取直”的特殊情況。首先進行的是“迂取直”作業，使路程由曲綫變成折綫；其次進行“方取斜”，使折綫變成直綫；最後進行“高取下”，使傾斜直綫變成水平直綫。由於裴秀他們進行縮圖製作，前兩者裁彎取直可能以大圖爲基礎直接在圖紙上進行作業。
值得重視的是，裴秀論述“高下”之術時説“度數之實，定於高下”。大概有道路經過的山頂，古地圖上會記下其高度，即山頂與平地的高差是已知的。三國曹魏劉徽著《海島算經》載有“重差術”以測山高遠近，因此古地圖上記山高數並無技術困難。山高既已知，那麽定於高下的“度數”指什麼呢？應指站在山脚平地仰望山頂的高度角。東漢張衡《渾天儀注》載北極“出地上三十六度”，《晋書·天文志》亦載“北極出地三十六度”，可見魏晋時代的人們對高度角的測量並不陌生。然而裴秀的“度數”可能並非實測，而是由古地圖上記載的“道里”和山高數據推導出來的。將山坡上的“道里”數經過“迂取直”、“方取斜”等處理便得到山坡的斜徑，山高與斜徑之比就是正弦函數，對應唯一“度數”；再將斜徑與山高數據一併代入勾股定理公式，立刻可以求出山脚至山頂的水平直綫距離，即所謂“徑路”數。
實際上取“徑路之數”只需“道里”、山高數即可，並不需要“度數”，那麼“度數”有什麽意義？裴秀爲什麽特別强調“度數之實”呢？取山高之數必用“重差術”，此術從前後兩個已知點分別對準同一被測點，可同時測得三個數值：(1)山的“高下”（垂直距離）；(2)山的“度數”（高度角）；(3)山的“遠近”，即“鳥道”數（水平距離）。對於某一水平距離而言，山頂的高度角取決於它的垂直高度，這就是裴秀所説的“度數之實，定於高下”。“度數”並非地圖上的要素，只是繪圖過程中的參考數據，裴秀的目的是要取得“烏道”數。顯然通過“度數”與山高、斜徑的對應關係，在僅知“高下”與“度數”的情況下可以反求山坡斜徑，再通過勾股關係得到“鳥道”數。而僅測望山高的“度數”並不需要“重差術”，只需要簡單的量角器就可以了。因此“度數”是在實測繪圖中最容易測得的量，同時也是驗證“徑路”與“高下”數是否準確的客觀標準。
裴秀最關心的問題是，由“道里”而求得的“徑路”數，與由“度數”而求得的“鳥道”數是否相符。然而裴秀在理論上雖然認識到“度數”的重要性，但他們並不一定去實地測望“度數”，真正能够做到的可能就是取舊圖上的“徑路”數，作爲新圖上的“鳥道”數，使新圖的“徑路之數”與“遠近之實”相符，從而避免分率、準望不正的問題。
雖然裴秀的“高下”之術，在實際操作中可能就是取舊圖的“徑路”數爲新圖的“鳥道”數的問題，但他在理論上提出了“度數之實，定於高下”的命題，很可能是一個三角函數問題，這意味着當時有可能編製了粗略的三角函數表。編製這樣的函數表並不困難，只要掌握了勾股數或連續勾股數的規律，再找出勾股數與高度角的對應關係，就可以編製出一份近地面高度的三角函數表。以往人們認爲中國最早的三角函數表，是唐代印度裔天文學家瞿曇悉達編譯《九執暦》時，從古代印度天文學中介紹過來的(21)。現在看來，裴秀的“高下”之術可能與三角函數有關，否則很難理解“度數之實”的問題。
四、“計里畫方”與等積等距投影
中國古代早期宇宙論中並没有地球是球體的觀念，大約漢以後蓋天説提出“地法覆盆”、渾天説提出“渾天如雞子、地如雞中黄”的模型，然而在實際的大地測量及地圖繪製工作中，似乎仍然把大地當作平正的來看待，如《周髀算經》中的術數和算法就是如此。裴秀顯然知道大地如“覆盆”、如“雞黄”的説法，如果他認同這些説法，最終却要在地圖上把大地展開爲平面圖，那麽他的頭腦中就應該有了投影的初步概念，只不過他没有用經緯網，而是使用了等面積等距離方格綱而已。他用“高下”之術取“鳥飛之數”，實際上就是水平投影；而整幅地圖相當於等面積等距離投影。例如裴秀的《方丈圖》采用“計里畫方”的辦法，把“天下”分割爲“萬方”，利用木工“縮放樣”的原理和方法，把每一“方”縮小到圖紙上，實際上相當於在每一個畫方内將“方百里”的地球表面投影到比例尺爲“方百里”的水平面上，類似於用“方百里”的平面去逼近“方百里”的球面；然後依次將“天下萬方”緊密聯接爲統一的大平面。這
這樣處理，相對於大地平正的觀念而言，圖上表示的面積與實際面積完全相等；相對於球面或者曲面而言，裴秀他們實際創造了一種有限元近似算法，以使圖上面積逼近實際面積。因此，不管主觀上是否有大地投影的觀念，裴秀的地圖作法，從實際效果來看，可以稱得上是一種不用經緯網的、中國式的等面積等距離投影。即每一個畫方由地球中心發射綫至地表，正投影到平面上，然後將這些小平面拼接成大平面地圖，這樣製作出來的地圓可稱爲“等積等距”方格網地圖。
西周初在封國土、建諸侯的過程中，對封國面積作出過一般性規定。《左傳·襄公二十五年》：“昔天子之地一圻（圻通畿，方千里），列國一同（方百里）。”《孟子·萬章下》：“天子之制，地方千里，公侯皆方百里，伯七十里，子男五十里，凡四等。不能五十里，不達於天子，附於諸侯，曰附庸。”《禮記·王制》、《春秋繁露·爵國》、《漢書·地理志》等所載與此略同，《周禮·大司徒》所載與此稍有不同。由此可見，分封面積的大小是封建等級的重要標志。當然並不是説封國疆域恰好是正方形的，只要面積符合相應的數量級就可以了。以周朝“王畿千里”爲例，《漢書·地理志》載：“初雒邑與宗周通封畿，東西長而南北短，短長相覆爲千里。”顏師古注：“宗周，鎬京也，方八百里，八八六十四，爲方百里者六十四也；雒邑，成周也，方六百里，六六三十六，方百里者三十六。二都得方百里者百，方千里也。故《詩》云‘邦畿千里’。”可見“王畿”爲不規則長方形，總面積約合一千平方里。西周封建，授民授疆土，封國的面積和疆界是不能含糊的。這在政治上要求“天下”地圖準確地反映封建方國的面積範圍與邊界距離，對地圖製作提出了等面積等距離的客觀要求。可以想見，先秦時代已經有了這樣的“天下萬方”圖，只不過裴秀在秘書省没有見到先秦時代的“古之地圖”，甚至連蕭何收集的“秦圖”也没有見到，於是出於職責的考慮，他才開始製作新地圖。他的“製圖六體”實際上是對先秦以來地圖繪製理論和技術的一次全面總結。
裴秀地圖制法的最大優點是面積和距離基本無變化，地物整體變形較小。這主要歸功於中國没有地球和經緯綱綫的概念。因爲只要按經緯綫來布置網格，就不可能同時兼顧面積和距離不變形。古希臘文明中很早就有了大地是球形的概念，這使他們很早就使用經緯綱及投影技術繪製地圖。公元前3世紀的埃拉托色尼（Eratosthenes，前275-193）編製以地中海爲中心的當時的“世界地圖”(22)，應用了經緯綫互相垂直的等距離圓柱投影，又稱“方塊投影”、“方格投影”。其圓柱投影面與赤道相切，按經綫長度不變條件將經緯綫網投影到圓柱面上，再沿一母綫削開展平。經綫與緯綫爲兩組平行綫，構成方形網格。這種投影圖上，正南北與正東西方向與地面實際方向相符，但由於高緯度地區展開成與赤道地區相同的寬幅，經綫間隔除在赤道上按比例與實地相等外，離赤道越遠越被放長，從而引起面積、角度變形以及除經綫方向以外的距離失真。
18世紀德國數學家蘭勃特(J.H.Lambert,1728-1777)擬定兩類方格或矩形經緯網，分別叫做“正軸等距離切圓柱投影”、“正軸等面積切圓柱投影”(23)。前者又叫“方塊投影”，即埃拉托色尼投影法的嚴格數學化。後者又稱“蘭勃特等積圓柱投影”，按等面積條件用數學方法將經緯綫綱投影到圓柱面上再展開爲平面，經綫爲等距平行直綫，緯綫爲垂直經綫的平行直綫，經緯綫構成矩形網。蘭勃特等積投影雖然保證了面積與實際相等，但緯綫間隔隨緯度增加而縮小，從而引起角度與長度變形，在高緯度地帶變形尤其顯著。蘭勃特的數學方法證明采用方格或矩形經緯網，不可能實現距離和面積同時保真，雖然名曰“等距離”投影，也只能保證經綫方向的距離不變，緯綫方向的距離則隨緯度增加而愈加拉長。
古希臘地圖的傑出成就是托勒密（Ptolemaeus Claudius，約90-168）的投影地圖。埃拉托色尼的方格經緯網帶來的變形是明顯的，因此托勒密致力於尋找“把地球面上的點移到平面上而免去誤差的方法”(24)——地圖投影法。托勒密發明了兩種投影法，一種是圓錐投影，又叫“托勒密投影”，這種地圖上的經綫從一個頂點輻射出來，緯綫爲同心圓弧。另一種類似於現在的“僞圓錐投影”，以修正圓錐投影圖，這種圖上的中央經綫爲直綫，其餘經綫爲對稱於中央經綫的曲綫，緯綫爲同心圓弧。托勒密的“兩種投影系統是古代人最卓越的創造，能將一個球面物體很好地展繪到一個平面上去”(25)。值得注意的是，這兩種構圖法則使人們很容易在地圖上找到正確方向：對於圓錐投影，其任一經綫與中央經綫的夾角是一個常數，等於兩綫的經度差乘以一個小於1的常數因子；對於“僞圓錐投影”，由於經綫和緯綫不正交，故没有等角投影，任一點到圓心的連綫與中央經綫的夾角是其經緯度的函數(26)。方向的保真，對於航海來説非常重要，經緯網地圖很好地滿足了這一要求。
托勒密的投影地圖在其錐面與球面相切的緯向狹長延伸地帶精度較高，向兩側越遠則距離與面積變形越大，但方向按規律展開。與此相比，裴秀的方格網地圖，在距離與面積方面保持不變，但方向與角度有不同程度失真而不爲古人所知。裴秀地圖的角度變形是以畫方爲單位的，畫方的邊綫是根據等距離原則劃定的，但却被認定爲正南北向與正東西向的標準綫，從而引起方向失真，且距離中央基綫越遠，方向失真越大。唯一不會失真的是基準綫——過洛陽的中心綫，例如南北基綫爲“洛陽—江陵”綫。《周禮·職方氏》、《漢書·地理志》載“正南曰荆州”。《通典·州郡》：“今之荆州理於江陵縣……其地居洛陽正南，章帝徙鉅鹿王恭爲江陵王，三公上言‘江陵在京師正南，不可以封’，乃徙爲六安王。”(27)“京師正南”暗含“南面稱孤”、與朝廷分庭抗禮之意。因地理位置位於“京師正南”而不得不改封的事例十分罕見，此事語出後魏闞駰《十三州志》，見《太平御覽·州郡部》所引(28)。今查地理位置，洛陽東經112.27度、北緯34.4l度，荊州（江陵）束經112.16度、北緯30.18度，兩地基本上在同一條經綫上，符合“京師正南”之説。而在“洛陽—荆州”一綫以東的畫方，南北綫實際指向北偏東，越往東北偏離越大；“洛陽—荊州”一綫以西的畫方，南北綫實際指向北偏西，越往西北偏離越大。由於當時中國人頭腦中的“天下”主要集中在中低緯度地區和“四海”之内，基本不涉及高緯度及中亞以西地區，方向失真還没有到非常嚴重的地步。且方向失真只有在大範圍内才看得比較清楚，而裴秀他們的方向是以畫方爲界限的，畫方正等於準望正，因此在單個“畫方”這樣小的範圍内，是不大可能發現方向失真的問題並引起重視的。
地圖的主要用途是用於交通，中國雖然面朝大海，但在古代，太平洋及其邊緣海並不適合發展海上交通和貿易，因而陸地交通十分發達，在地圖上注記交通綫路的“道里”數顯得十分重要。同時陸上地圖要求山脉、河流、道路、城邑、國家等要素的形狀及相對位置儘量保持原貌不變，裴秀的地圖很好地滿足了這些要求。陸上交通對於方向的準確性似乎無迫切需要，只需知道大致方向即可，因爲陸上交通有固定的道路（車路或人行道），幾乎不會沿着某個直綫方向到達目的地，也不可以朝任意方向行走。並且陸上地物標志十分顯著，人們可以根據這些標志及時調整方向，選擇正確道路，不至於因方向錯誤而去目的地漸行漸遠。
古代西方則不然，地中海沿岸分布著文明古國，海上交通和貿易十分發達，地圖編製者首先要考慮航海需要。海上航行可以朝任意方向進發，在一望無際的海面上很難找到標志物，一般情況下人們只能靠白天觀日影、夜間看星象來辨別方向，例如對準北極星或者正午日影最短的方向可以確定正南北向。只有保證正確的航向，才能到達目的地；否則最終會離目的地漸行漸遠。海圖的第一大作用就是提供正確的航向，至於到目的地的距離，相比之下不很重要，大致正確就可以了。因此，西方主要用於航海的地圖首先要保證方向的準確性，通過地圖可以獲得正確的導航，這與中國古地圖首先要保證距離及面積的準確性有着根本區別。
爲了保證在所有方向上正確，1569年荷蘭地圖學家墨卡托(Gerhardus Mercator,1512-1594)提出並實踐了“等角圓柱投影”(29)：假設地球被圍在一中空的圓柱裏，圓柱面與赤道正相切，地球中心有一盞燈，把球面上的圖形投影到圓柱面上，再把柱面展開成平面圖，就是一幅地圖（示意圖左）。墨卡托投影的經綫與緯綫同樣爲兩組平行綫，但由於經綫上比例尺不等而與緯綫構成矩形網格。在地圖上墨卡托投影的長度和面積變形明顯，除標準緯繞（如赤道）無變形外，從標準緯綫向兩極變形逐漸增大，但由於它向各個方向均等擴大，由每一點向各方向的長度比相等，因而没有角度變形，從而保持了所有方向和相對位置關係的正確。在地圖上保持方向和角度的正確是墨卡托投影的優點，如果使用墨卡托投影地圖作航海圖，循著圖上兩點間的直綫航行，方向不變可以一直到達目的地，航海者可以不用轉换羅盤方向，而采用直綫導航。
總之，埃拉托色尼投影的經緯綫方向不變而面積、距離變形明顯；蘭勃特等面積投影雖然面積不變，但距離與角度變形明顯；墨卡托投影的角度不變而面積和距離變形均十分明顯。此三者都有距離變形，或者面積、距離同時變形，故都不適應陸上交通的需要。尤其是在西方備受推崇的墨卡托投影，在中國古代是很難想象的。因爲數千年來中國一直以中央王朝爲中心，中原地區的國家被稱爲“中國”、“上國”、“華夏”、“泱泱大國”等，邊遠地區的少數民族被稱爲戎、狄、蠻、夷等，這種“夷夏之辨”、“夷夏大防”在古代中國根深蒂固。但在墨卡托投影地圖上，可能會出現邊遠地區“方五十里”的子男爵甚至“附庸”小國，与中原“方百里”的公侯國大小相等，甚至還要大的圖像，這是古代中國的政治制度和思想觀念所不能接受的。李約瑟曾經認爲唐代敦煌星圖中出現過以墨卡托正圓柱（筒）投影法製作的天文橫圖(30)，已有學者指出中國古代的天文橫圖不可能用正圓柱投影法繪製，而可能采用一種直角坐標繪製法，用適當的同一比例尺將星體的去極度换算成“縱坐標”，將星體在球面上的投影位置——去極度（赤緯）和入宿度（赤經）標繪在直角坐標框架中(31)。我們認爲中國古代繪製星圖是否采用遇圓柱投影法可以進一步討論和研究，然而類似的面積和距離明顯失真的圓柱投影地圖，很難想象會在中國出現。這並不影響中國獨特的地圖繪製方法——制圖六體在地圖科學史上的地位和意義。
“墨卡托投影”與“畫方”網比較示意圖
從網格法繪圖的角度而言，蘭勃特等面積投影、墨卡托等角度投影均采用矩形綱格，前者向高緯度壓扁，後者向高緯度拉長；埃拉托色尼投影用方格網，網格本身没有壓扁或拉長的問題，但面積、角度、距離都有變形；把方格網與等面積等距離要求結合起來，就是裴秀的“畫方”網（示意圖右），它在南北和東西方向上采用同一方法處理問題，因此除基綫外其他單元的方向都有不同程度的失真。以上繪圖方法，是不同歷史時代與文化背景的產物。由埃拉托色尼投影，到墨卡托投影是技術上的進步，但中國式的正方格網與西方矩形網，就技術性而言，很難説哪個更進步。
裴秀的方格網地圖，具有等面積等距離特色以及整體變形小、相對位置正確等優點，可稱爲“等積等距”式方格網地圖。它的出現應該比裴秀更早，有其歷史必然性，是適應中國古代政治制度、地理環境和文化傳統的產物。裴秀顯然成爲這種繪圖理論與方法的集大成者。英國著名科技史學家李約瑟稱裴秀爲“中國科學製圖學之父”，把他與古希臘著名地圖學家托勒密相提並論(32)，説他們是世界地圖史上東西輝映的兩顆燦爛明星，這一贊譽並不爲過。我們認爲，在没有地球與經緯網觀念的情況下，中國古代發明足以與蘭勃特、墨卡托投影等相媲美的“等積等距”方格網地圖，實屬難能可貴，應該充分肯定和高度評價。
注释：
①房玄齡《晋書》卷三五《裴秀傳》。
②徐堅《初學記》卷五《地理上》“地”字條引作“今秘書既無古今地圖，又無蕭何所得秦圖”（中華書局，1962年，第90頁）。
③陳連開《中國古代第一部歷史地圖集——裴秀〈禹貢地域圖〉初探》，《中央民族學院學報》1978年第3期，第76-84頁；葛劍雄《中國古代的地圖測繪》，商務印書館，1998年，第60頁。
④虞世南《北堂書鈔》卷九六《藝文部二》，中國書店，1989年影印本，第367頁。
⑤沈約《宋書》卷八五《謝莊傳》。
⑥李延壽《北史》卷六○《宇文愷傳》“以一寸爲千里”。
⑦劉盛佳《晋代傑出的地圖學家——京相璠》，《自然科學史研究》第6卷第1期，1987年，第58-65頁；陳橋驛《裴秀與京相璠 伍子胥與文種——〈水經注〉索隱（二）》，《歷史地理》第15輯，1999年，第296-298頁。
⑧李俊清《試析先秦及漢代文獻中的“方百里”》，《河北學刊》1994年第2期，第98-99頁。
⑨段玉裁《説文解字注》，上海古籍出版社，1981年，第560頁。
⑩劉獻廷《廣陽雜記》卷二，中華書局，1957年，第55頁。
(11)胡渭《禹貢圖》，《皇清經解》卷二七《胡明經禹貢圖》，咸豐庚申補刊本，第55頁。
(12)李約瑟《中國科學技術史》第五卷《地學》第一分册，科學出版社，1976年，第110頁注②。
(13)李約瑟《中國科學技術史》第五卷《地學》第一分册，第109頁。
(14)胡道靜《古代地圖測繪技術上的“七法”問題》，《中華文史論叢》總第5輯，中華書局上海編輯所，1965年，第236頁。
(15)辛德勇《準望釋義——兼談裴秀製圖諸體之間的關係以及所謂沈括製圖六體問題》，唐曉峰主編《九州》第4輯，商務印書館，2007年，第243-276頁。
(16)陳連開《中國古代第一部歷史地圖集——裴秀〈禹貢地域圖〉初探》。
(17)沈括《夢溪筆談》附《補筆談》卷三《雜志》，胡道靜《夢溪筆談校證》，上海古籍出版社，1987年，第991-992頁。
(18)胡渭《禹貢錐指》卷首《禹貢圖》篇末識語，上海古籍出版社，1996年，第122-123頁。
(19)錢寶琮《蓋天説源流考》，《錢寶琮科學史論文選集》，科學出版社，1989年，第377-403頁。
(20)曹婉如《中國古代地圖繪製的理論和方法初探》，《自然科學史研究》第2卷第3期，1983年，第246-257頁；曹婉如《裴秀京相璠》，譚其驤主編《中國歴代地理學家評傳》第一卷，山東教育出版社，1990年，第154頁。
(21)陳美東《中國科學技術史》（天文學卷），科學出版社,2003年，第363頁。
(22)［法］保羅·佩迪什著，蔡宗夏譯《古代希臘人的地理學——古希臘地理學史》，商務印書館，1983年，第97頁；［美］普勒斯頓·詹姆斯、傑弗雷·馬丁著，李旭旦譯《地理學思想史》（增訂本），商務印書館，1989年，第28、45頁。
(23)測繪詞典編輯委員會《測繪詞典》，上海辭書出版社，1981年，第155頁。
(24)測繪詞典編輯委員會《測繪詞典》，第199頁。
(25)［法］保羅·佩迪什著，蔡宗夏譯《古代希臘人的地理學——古希臘地理學史》，第177頁。
(26)江曉原《托勒玫》，席澤宗主編《世界著名科學家傳記——天文學家Ⅱ》，科學出版社，1994年，第194-218頁。
(27)杜佑《通典》卷一八三《州郡》，中華書局，1988年，第4864頁。
(28)李昉《太平御覽》卷一六七《州郡部》，河北教育出版社，1994年，第585頁。
(29)測繪詞典編輯委員會《測繪詞典》，第704頁。
(30)［英］李約瑟《中國古代和中世紀的天文學》，潘吉星主編《李約瑟文集》，遼寧科學技術出版社，1986年，第475-495頁。
(31)胡維佳《〈新儀象法要〉中的“擒縱機構”和星圖制法辨正》，《自然科學史研究》第13卷第3期，1994年，第244-253頁。
(32)［英］李約瑟《中國科學技術史》第五卷《地學》第一分册，第108、115頁。