吴峰[1]2001年在《一类量子偶上的Grothendieck群》文中研究说明设k是域，H是城k上的Hopf代数，则H上有限维模范畴是monoidal范畴，并且在该范畴上的Grothendieck群G_0（H）构成一个环。如果H是拟叁角Hopf代数，则H上有限维模范畴是辨子monoidal范畴，且G_0（H）成为一个交换环（参见文献[1，2，3，4]）。 令k是一个域，ω是n次本原单位根（n≥2）。Taft在文[5]中构造了一个n~2维Hopf代数A_n（ω）。从组合的角度来看，A_n（ω）成为一类点式的Hopf代数。当n为奇数时，Drinfeld量子偶（D（A_n（ω））给出一个三维流形的不变量（参见文献[6]），也就揭示了量子偶（D（A_n（ω）），R）与纽结理论之间有趣的联系（参见文献[7]）。 Kauffman和Radford证明了量子偶（D（A_n（ω）），R）是ribbon Hopf代数当且仅当n是奇数（参见文献[8]）。 在文献[9]中，讨论了一类有限维Hopf代数H_n（n，q），并给出D（A_n（ω）），的结构表示，即当p≠0，q=ω~(-1)时，作为Hopf代数D（A_n（ω））≌H_n（n，q）。在文献[9]中，讨论了D（A_n（ω））的不可约表示，即H_n（1，q）上的不可约表示。本文将继续对D（A_n（ω））的不可约表示进行研究，并给出Grothendieck群G_0（H_n（1，q））≌G_0（D（A_n（ω）））的环结构，还将证明若两个不可约模的张量积模不是完全可约模，则其Loewy长度为3，即socle链的长度是3。在本文的最后一节我们给出了K_0（H_3（1，q））的G_0（H_3（1，q ))-模结构。
董井成[2]2009年在《一类量子偶的表示及相关问题》文中提出量子偶是一类非常重要的Hopf弋数,它由Drinfeld在研究量子Yang-Baxter方程的解时提出,所以又称为Drinfeld偶.它的研究不公极大的推动了Hopf代数自身理论的发展,而且在理论物理,非交换几何和低维拓扑等领域也得到了成功应用.作为量子偶的特例,有限维群代数的量子偶因其结构简单,应用广泛,自然就受到了广大数学家的青睐Cibils等在文献[13,15,35,45]中分别对其表示进行了刻画.本论文主要讨论二面体群的量子偶的模表示：给出量子偶的所有不可分解表示的矩阵形式；给出量子偶的Auslander-Reiten quiver;给出量子偶的Grothendieck群的环结构.另外,我们还讨论了量子群Uq(sl(2))的唯一的2维单模的n重张量积分解成直和的明确公式.同时讨论了余环上余模的结构,得到一些余模范畴与模范畴等价的充分条件.我们的许多结论也可推广到更一般的情形,从而为研究一般有限群的量子偶的表示提供了思路与方法.给定有限群G,Witherspoon在文献[45]中证明了域k上的群代数kG的量子偶是非半单的充分必要条件是k的特征整除G的阶.本论文前二,叁,四章讨论量子偶D(kDn)的表示,其中k是特征为奇素数p的域,Dn是2n阶二面体群,且n=pst,s≥1.在第二章中我们通过Dn的共轭类的代表元的中心化子子群的不可分解表示构造出量子偶D(kDn)的所有不可分解表示.于是,此章的主要工作可归结为计算Klein四元群,循环群Gn和二面体群Dn的不可分解表示.我们用导出的方法得到了这些群上的不可分解表示.在第叁章中,我们探讨量子偶D(kDn)的AR-quiver.我们证明了量子偶D(kG)的所有几乎可裂序列均可由G的共轭类的代表元的中心化子子群的几乎可裂序列导出.因此,本章的工作可归结为计算kCn和kDn的几乎可裂序列.幸运的是,我们证明了kCn和kDn均是Nakayama代数.这样,运用文献[3]中的方法,我们得到了D(kDn)的AR-quiver.第四章的工作是描述量子偶D(kDn)的Grothendieck群的环结构.设G是有限群,M是D(kG)-模,D(N)=kG(?)kCc(gc) N是单D(kG)-模,其中gc是共轭类C的代表元,N是单kCG(gc)-模,则D(N)作为M的合成因子的重数等于N=D(N)gc作为Mgc的合成因子的重数(作为kCG(gc)-模).因此,D(kG)的Grothendieck群的环结构可通过一系列群代数的Grothendieck群的环结构来描述.我们用Brauer特征标与Grothendieck环的关系来刻画群代数的Grothendieck群的环结构.在第五章中我们讨论V(1)(?)n的分解式,其中V(1)是Uq(sl(2))的唯一的2维单模.我们首先推广了量子群Uq(sl(2))的Grothendieck环结构,证明了标准基定理(定理5.1).然后由此出发得到两个组合公式,它们就是V(1)(?)n直和分解的系数.同时我们还用统一的方法证明了Clebsch-Gordan公式和量子Clebsch-Gordan(?)式.在论文的最后部分,我们讨论余环上余模范畴与环上模范畴之间的关系.由Caenepeel等人的工作[10]我们知模范畴MB和余模范畴MC之间存在一对伴随函子(F,G),其中环B和余环C具有某种关系.此章的主要工作就是讨论(FG)何时成为一对互逆的等价函子.利用可裂叉和余可分余环的性质,我们给出了(F,G)成为互逆函子的条件,从而推广了Caenepeel等人的工作.
参考文献：
[1]. 一类量子偶上的Grothendieck群[D]. 吴峰. 扬州大学. 2001
[2]. 一类量子偶的表示及相关问题[D]. 董井成. 扬州大学. 2009