基于韬尔三个世界学说的“相交线”教学研究，本文主要内容关键词为：教学研究论文,学说论文,世界论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
英国沃瑞克大学（Warwick University）数学家韬尔（David Tall）从数学学习的认知特征出发，把数学划分为三个不同的世界：具体化世界、过程概念化世界和形式化世界.韬尔的三个世界理论，反映了人类的认知发展规律，就数学概念学习而言，它指明了数学概念形成的规律性和数学概念学习的层次性.本文将韬尔的三个世界学说指导于初中数学“相交线”（人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级下册“5.1.1相交线”）教学，现阐述如下. 一、具体化世界，感知直观的邻补角、对顶角的基本图形 具体化世界包括感知、行为以及对感知和行为的反映，也就是感知和行动的具体化世界.在这个世界中，数学学习的对象是具体、形象和可见的.根据“学”的特点，教学中，教师要对教材进行再创造，并结合学生的思维特点，创设一定的“操作”（包括外在的活动操作与内在的智力操作，如动手操作、归纳、演绎、讨论等）活动情境，让学生亲自参与“操作”，在“操作”中体验，为第二世界的数学抽象概括积累必需的感性经验. 对于“相交线”这节课，笔者是这样教学的：上课开始，老师创设问题情境让学生“操作”. 问题1 如图1，两堵墙围成一个∠AOB，现给你一个木头制作的大量角器，但不能进入围墙，你如何用这个量角器去测量这个角的大小？
用量角器测量一个角的大小，学生是熟悉的，但这是一个实际问题，不能进入围墙用量角器去测量∠AOB的大小，只能在围墙外测量，于是引发了学生的认知冲突，学生自觉地尝试着去思考和解决这个问题.经过学生的思考与“操作”，老师请有不同思考的同学在全班交流，这样学生不同的想法就出来了： 如图2，有的说，反向延长射线OB得到OC，因为∠BOC是一平角，所以只要测量出∠AOC的度数，就可知道∠AOB的度数；也有的说，反向延长射线OA得到OD，同样，只要测量出∠BOD的大小，就可知道∠AOB的大小；还有的说，分别反向延长射线OB得到OC，反向延长射线OA得到OD，∠COD的大小就是∠AOB的大小.通过学生的“操作”，相交线、邻补角、对顶角等概念的基本图形在学生的头脑中已初成雏形，也为第二世界的学习作了很好的铺垫.
学生要构造自己理解的数学概念，关键是一种思想上的飞跃，即皮亚杰提出的“反省抽象”.为了形成反省，必须将自己的实践性活动变为思考的对象，而被反省的基础是“操作”过程，缺少了“操作”，反省无法落实；“操作”达不到一定数量，过程的各种状态和性质在心理上不易引起注意.因此，在具体化世界的教学中，教师要让学生有“足够的操作”，所谓“足够的操作”是指学生达到应有的或满足需要程度的“操作”，“足够的操作”的直接目的是现场积累学习新知识所必需的经验，或是对自己已具有的相对模糊的经验进行强化，增强体验使之处于活跃状态，从而为进一步的抽象概括活动提供对象和素材. 例如，学生在探究如何测量∠AOB的大小过程中，从不同的方向去思考和添作辅助线，这样的“足够的操作”，为真正理解邻补角、对顶角等数学概念积累了感性经验，也真是这样的“足够的操作”，下面构建的邻补角、对顶角及“对顶角相等”等数学概念在认知结构中才会有所依托，才会巩固. 二、过程概念化世界，体验邻补角、对顶角概念的形成过程 过程概念化世界，也就是符号的过程概念化世界.在这个世界中，数学学习对象具有符号过程性和概念性两面特征.韬尔认为，同一个符号常常具有双重的意义，既可以作为过程，也可以作为概念，例如，符号“3+2”就可以同时看作为一个“加法”的过程与一个“和”的概念.在这个世界中，学生通过对第一世界具体化数学的“操作”过程进行反省、抽象、概括等心智活动而得到数学对象.这个阶段是学生学习数学的关键，也是学习过程中的难点，需要教师采取合适的教学策略，巧妙地帮助学生进行有效的抽象概括，逐步提升学生抽象概括思维能力. 在“相交线”这节课的教学中，学生通过第一世界对事物的感觉和“操作”，已积累了抽象概括所必需的感性经验，这时，教师应及时地引导与催化学生进行尝试抽概括象.请看以下的教学片断： 师：通过刚才的作图，你知道这个实际问题的数学模型？ 生：两条相交直线. 师：对，这个实际问题的数学模型是两条相交直线，我们用字母分别表示这两条直线，如图3，这里形成的小于平角的角有∠1，∠2，∠3，∠4.
如果将这些角两两组合，那么你能得到几对角呢？ 生：∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1，∠1和∠3，∠2和∠4. 师：你能对得到的6对角进行分类吗？你打算怎样去分类？ 生：按互补和不互补分为2类，即 第1类：∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1； 第2类：∠1和∠3，∠2和∠4. 师：从数量特征去分类，很好.你能否从位置关系的特征对得到的6对角进行分类？你打算怎样去分类？ （学生思考，无人回答） 师：这些角的边有怎样的位置关系？根据角的边的位置关系，你能对得到的6对角进行分类吗？ 生：前面同学说的第1类中的各对角它们都有一条公共边，而第2类中的各对角它们没有一条公共边，所以我认为按有公共边和无公共边也可分为2类，即 第1类有公共边：∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1； 第2类：∠1和∠3，∠2和∠4. 师：好，下面我们继续分别研究这两类角的特征.如图4，观察∠1和∠2的顶点和两边，它们有怎样的位置关系？
生：∠1和∠2有一条公共边，它们的另一边是互为反向延长线. 师：对.∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边是互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.请指出图3中还有的互为邻补角. 生：∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1. 师：如图5，请继续观察∠1和∠3的顶点与边，它们有怎样的位置关系？
生：∠1和∠3有公共顶点，∠1的两边分别是∠3两边的反向延长线. 师：很好，∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角. 至此，学生获得互为邻补角、互为对顶角的本质属性，实现过程与对象的耦合，达到思维的浓缩，能够将邻补角、对顶角作为一个整体、一个独立的对象来处理. 过程概念化世界的实质是学生对“操作”活动的反思，经历思维的内化、压缩，抽象概括出数学概念本质的过程.在这个阶段，学生对自身经历的“操作”进行思考，进行理性的抽象概括有时会遇到不少困难，需要教师设计一些启发性探索性的问题，引导学生回味“操作”过程，让学生尝试抽象概括，这里要注意的是，教师设计的问题要有探索性来驱动学生的主动参与，使学生从感性认识上升到理性认识. 例如，教师通过设计：“通过刚才的作图，你知道这个实际问题的数学模型？”“如果将这些角两两组合，那么你能得到几对角？”“你能对得到的6对角进行分类吗？你打算怎样去分类？”“观察∠1和∠2的顶点和两边，它们有怎样的位置关系？”等等一系列的提问，驱动学生进行一系列持续反复的抽象、分类、抽象概括等，经历复杂而丰富的认知过程，进而获得邻补角、对顶角概念的丰富表象，促进邻补角、对顶角概念的表征.相反，如果在数学概念形成的教学中，教师概念引入过于马虎，一带而过匆匆讲完样例，马上给概念下定义，那么学生失去由“操作”到定义的中介环节——抽象概括，则难以真正完成概念的抽象，难以达到对概念的实质性理解，无法形成相应的心理意义. 三、形式化世界，建立综合的心理图式 形式化世界，是定义与证明的形式化世界，包括“形式的”的概念、“定义的”性质、“逻辑的”的证明等.在这个世界中，学生通过符号或符号的方法或技术来认识数学、表达数学的过程，导致数学图式的构建.在教学中，教师要注意设计正反例或让学生自己举反例，设计数学样例及其变式，让学生自己构建概念域或概念系等等多样化的数学活动，多方位丰富完善概念，实现从“第二世界”到“第三世界”的跃进. 于是，教师继续让学生观察图5，思考∠1和∠3有什么关系？学生通过观察发现∠1=∠3，然后让学生用量角器测量∠1和∠3的度数来验证得到的猜想，最后让学生对猜想给予证明得到：对顶角相等. 接着，是概念运用的环节，我们知道，概念只有在运用中才能得到真正的理解.而概念的运用有多级水平，先是以具体辨别水平的运用.再转到思维水平上的运用.于是设计下面的例1、例2、例3. 例1 下列各图中∠1，∠2是邻补角吗？为什么？
例2下列各图中∠1，∠2是对顶角吗？为什么？
例3如图6，直线AB，CD相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数.
变式1 若∠1=x°，求∠2，∠3，∠4的度数. 变式2 若∠2+∠4=50°，则∠1=____，∠3=____. 变式3 若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数. 变式4 ①平面上两条直线相交，有几对对顶角？几对邻补角？ ②平面上三条直线交于一点，有几对对顶角？几对邻补角？ ③平面上n条直线交于一点，有几对对顶角？几对邻补角？ 最后用问题的形式引导学生小结. 问题：通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识？你是怎样学习的？学习过程中由知识所反映的数学思想方法有哪些？ 在学生交流的基础上，教师让学生自己用点线联结这些知识之间的关系得到：
事实上，具体化世界、过程概念化世界和形式化世界可以看作是数学知识的三种状态，而图式则是由这些知识构成的一种认知结构.图式是人脑中的知识单元、知识组块和知识系统，包括核心概念与怎样和何时应用核心概念的知识之间的关系.一个数学概念的图式是由相应的活动、过程、对象以及与某些一般原理相联系的其他图式所形成的一种存在于个体头脑中的认知框架.构建数学概念图式，学生可以得到简约的、结构化的知识，不但便于记忆，而且可以用于解决和这个概念有关的一切数学问题.数学概念教学的最终目标应是建构数学概念图式.图式的形成是一个复杂的过程，不是一步到位的，需要教师安排一定的学习活动以促进图式的形成.因此，在数学概念形成的“三个世界”的教学中，要让学生有“足够的操作”，要通过问题促进学生的抽象概括，还要注意概念的多层次运用，其本质是让学生理解和掌握概念，促进概念图式的形成和改进.最后让学生通过点线联结，将本节课学到的核心知识和方法建立一个有组织的结构，以综合的心理图式存储于学生的头脑之中.以后当遇到与邻补角、对顶角的有关概念时，学生就会积极调动与之相关的图式.
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