关于几何直观的若干认识误区及其矫正，本文主要内容关键词为：直观论文,几何论文,误区论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
关注几何直观成为当下初中数学领域的焦点话题之一.而《义务教育数学课程标准（2011年版）》[1]（以下简称《课标（2011年版）》）对此仅仅有一句说明：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.”严格意义上讲，这是针对几何直观的作用的解释性说明，而不是针对几何直观的明确定义.正是由于包括上述表述在内的诸多不确定性，加之几何直观是最近几年刚明确提出的新名词，导致初中数学课程领域存在诸多认识误区.本文就此剖析这些误区，并给出相应的矫正对策. 一、针对几何直观的若干认识误区 误区1：几何直观就是数形结合. 这是不正确的.其中的缘由在于，几何直观聚焦“整体把握数学问题、淡化其中的枝枝节节”，而不仅仅局限于数形结合的作用. 事实上，在解决数学问题过程中，数形结合可能仅仅是解决问题的一个很小的局部环节，而不是问题的核心和要害. 例如，对于平方差公式
=（a-b）（a+b），给出由边长为a、b的正方形围成的图形，仅仅是帮助学生理解的辅助手段而已，并非问题的本质.这里的a、b所表达的量代表任意实数，未必是正数a（作为正方形的边长）. 在解决“女士究竟应该穿多高的高跟鞋”的问题时，简化表达女士身高的“线段”、标出其上的肚脐眼所对应的点——“脐点”是解决问题的核心和关键.“古希腊人发现，脐点将身体线段分成黄金比时，视觉效果最佳”——“下身不足自然需要穿高跟鞋了”，从而淡化女士的胖瘦、高矮等次要因素，将问题抽象为“黄金线段比”模型. 误区2：几何直观对于几何学习来说并不是核心，逻辑证明才是几何学习的核心. 上述问题的本质在于如何看待平面几何的价值. 事实上，自“几何之父”欧几里得完成《几何原本》的两千多年以来，人们一直在探索.在欧几里得整理成《几何原本》之前，几何学建立在直观之上，内容零散而相对丰富.欧几里得将公理思想创造性地引人数学，借用亚里士多德的形式逻辑学，将零散的几何学知识整理成人类第一个结构相对严密的逻辑体系，成为人类第一部世界数学巨著，几乎影响物理学、生物学乃至社会科学的诸多方面.但是，经过欧几里得整理出来的《几何原本》，仅仅凭借少量的直观，主要凭借逻辑，从很少的几个公理和原始概念出发推出几乎所有的结论.如此，几何学的直观大部分丢失了，而逻辑的成分被保留了.伟大数学家希尔伯特在创建《几何基础》时，把几何重新定义，将几何学引到一个更加抽象的公理化系统，不但改良了《几何原本》，而且把几何学从一种具体的特定模型上升为纯粹抽象的普遍理论.如此，几何学仅仅剩下逻辑成分，而直观伤逝殆尽. 然而，几何学的价值不仅在于逻辑推理，而且也在于图形的直观.强调几何直观正是由此而来.几何学习的核心在于直观与推理.直观在于发展学生的形象思维，逻辑证明是重要的，但不是唯一的.在几何学习中，几何直观、公理思想与逻辑证明一样，都是几何学习的核心和重点. 误区3：几何直观就是几何直觉. 几何直观与几何直觉非常相似，但并非同一个概念.所谓“直觉”，《辞海》的解释是“一般指不经过逻辑推理认识真理的能力”[2]，而《中国大百科》（http://ecph.cnki.net/default.aspx）的解释是：“一种不经过分析、推理的认识过程而直接快速地进行判断的认识能力.近代认知心理学则把直觉看成一种再认过程，是在过去经验的基础上，从长时记忆中提取具有问题解决意义的答案过程.直觉能力是人的心理能力高度发展的表现.”国内外学者普遍认为，“直觉是不经过逻辑的、有意识的推理而识别或了解事物的能力”[3]. 许多科学家坚信，直觉是发现和发明的源泉.在著名数学家阿达玛看来，“在创造阶段，科学家的思维载体往往是各种各样的、因人因事而异的符号、图表或其他形象，亦即此时的思维方式往往是形象的和直觉的，而不是逻辑的”[4].1954年诺贝尔奖获得者、著名物理学家玻恩认为“实验物理的全部伟大发现，都是来源于一些人的‘直觉’”. 几何直观是在直观感知的感性基础之上所形成的理性思考的结果，是学习者对于数学对象的几何属性（或与几何属性密切相关的一些属性）的整体把握和直接判断的能力[5].而几何直觉属于学习者对于数学对象的感性认识，有很大程度上的猜测成分和朦胧的整体把握，不仅有经验直觉的成分，而且也有知性直觉、理性直觉的成分；同时，几何直观是学习者、研究者对于数学对象的全貌和本质进行的直接把握，这种直接判断建立在针对几何图形长期有效观察和思考的基础之上，有相对丰富的经验积淀，更有经验基础之上的理性的概括和升华.几何直觉是“右脑以并行性方式思维，针对几何研究对象，采取的是同时进行整体分析的策略”.因而，几何直觉无需推理就能直接地对事物及其关系做出迅速地识别和理解；而几何直观则是建立在图形基础之上，以直观背景为条件而进行整体把握的.从整体把握这一点上看，二者是相似的；而从是否有逻辑性来看二者具有明显的不同，几何直观的整体把握往往带有明显的逻辑成分，而几何直觉则不然. 误区4：几何直观与空间观念是相互交叉、彼此重复的概念，从而，没必要在空间观念基础之上提出几何直观的要求. 这是不正确的理解.事实上，作为“图形与几何”的核心名词，几何直观与空间观念分别从不同的角度涵盖了几何学习的重要目标，二者有局部的差异，且各有侧重. （一）二者的侧重点非常明显 几何直观通常是在有背景的条件下进行的，而借助几何直观“看”出来的结果，往往需要经过逻辑推理的验证.而空间观念侧重于“想象出物体的方位和相互之间的位置关系”“描述图形的运动和变化”“依据语言描述画出图形”等等这些活动不一定非要凭借看得见、摸得着的真实图形，而可以凭借语言、头脑的想象等. 不仅如此，几何直观侧重于利用图形整体把握问题，而空间观念侧重于刻画学习者对于空间的感知和把握程度.前者更接近应用层面，可以归为运用图形的能力，后者侧重于几何学习对学习者带来的变化和发展. （二）二者触及的领域各有侧重 几何直观侧重于利用图形整体分析和把握数学问题，而这里的问题几乎涉及数学的各个领域，而空间观念大多局限在“图形与几何”领域——虽然有时触及几何与数学的其他分支学科的交叉领域. （三）二者在若干局部领域具有交叉性、重叠性 对于凭借图形分析其对应的实际物体，二者具有重叠部分，几何直观侧重于整体把握问题、分析解决相关的问题（虽然问题未必都是几何问题），而空间观念侧重于看到图形想到事物，能够进行图形及与其相关事物之间的转换等. （四）对于学生的形象思维的发展，二者共同发挥作用 在日常教学中，我们应该帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力，帮助学生逐步形成初步的几何直观，感受几何直观的作用. （五）二者都是图形与几何领域长期学习的积淀所形成的结果，具有连续性 几何直观需要长期的积淀，即利用图形、采取整体思维的方式把握问题的本质，逐渐形成针对几何图形（及其等价量）的数学直观. 例如，看到
，下意识地（自觉地）想到直角三角形的两条直角边的平方和，它等于斜边的平方. 长期从事图形与几何的操作活动，并善于分析几何活动要素之间的关系，可以逐步形成空间观念.同时，空间观念的发展具有（儿童发展的）时节性，已有的研究表明，义务教育阶段是发展儿童空间观念的最佳期，一旦错过，几乎无法修复或者重新发展. 而几何的启蒙活动应该借助探索、研究、分析、讨论生活中的真实形体，充分使用学生原有的、处在生活经验状态的几何认知，熟练地描述与表征周围的环境.这些实验、观察、探索的活动需要不间断地安排在不同的学习层次中，探索形体的要素、发现性质、找出形体间的关系，让学生透过有趣的操作实践活动更多地了解几何世界，促进他们几何思维的发展. （六）二者都具有一定的逻辑性，都与推理有一定的关联 几何直观属于从整体的视角直接把握问题的本质，其间需要摒弃大量无关的次要信息，而把握核心要素之间的内在关联，其逻辑的成分显而易见. 与此相对，空间观念的各个成分几乎都涉及逻辑成分.无论是实物与其相应的图形之间的逻辑关系，还是图形之中的各个要素之间的关系，无论是二维、三维图形之间的转换，还是将复杂的图形与其基本图形之间的关系，无论是根据物体特征抽象出几何图形，还是想象出物体的方位及其相互的位置关系，无论是描述图形的运动和变化，还是依据语言的描述画出图形，都或多或少地涉及逻辑因素. 特别地，就整个义务教育阶段（即小学、初中）而言，推理能力的培养必须以学生已有的几何活动经验、几何直观为先导，但必须强调概念或观念的明确定义，以及几何量的代数运算.在小学阶段，推理能力属于渗透，而不是重点培养.但是，这是整个义务教育阶段发展学生推理能力必不可少的阶段，属于奠基性工作. 与几何直观相比，空间观念更倾向于，即使是脱离了背景也能想象出图形的形状、关系的能力.而几何直观更强调借助一定的直观背景条件而进行整体把握的能力，虽然空间观念（高中称之为“空间想象能力”）有时也需要借助一定的实物（即几何原型）进行想象.但是，许多情况下是在没有背景的条件下进行的，而未必一定借助直观进行感知、把握. （七）二者具有密切的关联性 作为几何学习的重要目的，无论是几何直观，还是空间观念，都深深融入学生的几何学习活动之中，而这些学习与学生亲身参与的几何活动交织在一起，在许多情况下几乎无法严格区分.虽然空间观念、几何直观都有先天的成分，但是，其实质性的发展都是在后天完成的.同时，二者的发展相互制约、相互促进. ①空间观念的发展对于几何直观的发展具有重要的促进作用，并构成几何直观形成的重要基础（虽然不是唯一基础），几何直观发展的另一个重要基础是整体思维方式的形成，这需要适度的抽象水平，能够撇开无关要素、单刀直入把握要害. ②几何直观的发展对于空间观念具有重要的强化作用. 在实物直观（即实物层面的几何直观）阶段，学生以与研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物作为参照物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷、形象地思考，获得针对研究对象的深刻判断（的一种能力）.与其同时，学生也在渐渐地经历图形抽象的过程，空间观念的“根据物体特征抽象出几何图形”“根据几何图形想象出所描述的实际物体”“依据语言的描述画出图形等”等成分不断发展. 在简约符号直观（即简约符号层面的几何直观）阶段，学生在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象而形成半符号化的直观.诸如行程问题中的线路图等，运用这种直观形式，学生可以很好地“描述物体的方位及其相互之间的位置关系”“描述物体的运动和变化”. 在运用图形直观的阶段，学生可以明确的几何图形为载体分析处理相关的问题，既可以涉及代数问题，也可以触及几何问题.其中，分析图形的基本要素之间的相关关系是准确运用图形直观的关键，这恰恰是空间观念的重要成分之一. 作为实物直观、简约符号直观、图形直观的复合物，替代物直观是一种复合的几何直观，既可以依托简捷的直观图形，也可能依托用语言或数学学科表征物所代表的直观形式，对于“根据物体特征抽象出几何图形”“根据几何图形想象出所描述的实际物体”等成分的培养具有显著作用. （八）二者彼此具有不可替代性 作为“图形与几何”领域学习的重要目标，几何直观和空间观念彼此无法替代，几何直观侧重于应用，而空间观念侧重于学习者对于几何对象的把握程度.从而，具有良好的几何直观（能力）就构成检验空间观念的重要指标之一. 二、对于几何直观认识误区的校正 （一）关于几何直观的含义 几何直观的含义究竟是什么？ 事实上，它首先是一种特殊的数学直观.所谓直观，《辞海》（第六版）[2]的解释是：①即感性认识.其特点是生动性、具体性和直接性；②指旧唯物主义对认识的理解. 《中国大百科》（http://ecph.cnki.net/default.aspx）的解释是：“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识.拉丁文为interi，意为‘凝视’.中国按其不同含义分别译为‘直观’和‘直觉’.直观的字面意义是直接的观察.” 对于数学直观，美国著名的数学史家莫里斯·克莱因指出，“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”[6]；而西方哲学家通常认为，“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家则认为，“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”.当代著名数学家徐利治教授提出，“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知”[7].换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系. 总之，几何直观是指，借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力. （二）关于几何直观的核心作用的特别诠释 几何直观的核心作用，一方面，利用图形直观分析数学问题、整体把握解决问题的思路和方法.另一方面，建立数学直观，培养敏锐洞察问题核心和本质（撇开枝枝节节、直达问题的关键）的能力. 事实上，正如当代许多著名的数学家指出的，数学家发现数学真理是“看出来”的而不是“证出来”的. 这种思维的特点正是具有“抓主要矛盾、淡化次要矛盾”的典型特点.其中的关键在于，能用图形表达问题的主干，这就需要经历利用图形概括核心问题的过程，建立图形模型与其他数学模型（包括代数模型、统计模型、概率模型等）之间的等价关系或可以替代的关系. 为此，在初中数学教学中，培养学生的几何直观，其关键在于，积淀“基本图形及其代数含义”，积淀“代数、统计、概率等表达方式及其图形表示”. 诸如，看到
，马上联想到“直角三角形的两条直角边的平方和”. 看到（c-a）·（c+a）=b·b，马上联想到“相交弦定理所刻画的关系：相交的两条弦，被交点分成的两条线段的乘积彼此相等（只不过属于一条直径垂直于一条弦的情形）”. 看到y=
，马上联想到抛物线. 看到含有三个量的代数式ab+c，马上联想到“这是关于b的线性函数，其图象是关于b的一条直线”. 看到二元一次方程组
马上联想到两条直线相交. 看到三角形，联想到三边之间的不等关系a+b＞c. 看到“当且仅当a=b=c时成立”，如果其中的a、b、c表示三角形的三边，那么，马上联想到“当且仅当三角形为正三角形时成立”. 看到“a＞b＞c”马上联想到数轴上的三个点A、B、C按照自右向左的顺序排列. 看到
，其中的5=3+2，马上联想到直角三角形三边之间的关系. 从而，几何直观的培养，需要建立在对于核心数学内容的理解性掌握基础之上，即不仅理解核心概念、核心结论的代数含义及统计含义，而且把握其几何含义、简捷的图表含义.例如，对于a与-a，不仅掌握其核心在于“两个数a、b满足a+b=0”，而且蕴涵着其相对应的数轴上的点“A、B关于原点O轴对称”. 对于看到｜a｜，不仅想到其表示数a在数轴上对应的点A到原点O的距离OA，而且表示max｛a，-a｝，即a与-a之中的最大者. 与此对应，对于几何图形，不仅需要掌握基本图形的组成要素和常见的组合形式，而且能够体会这些基本图形之中所蕴涵的代数含义、统计意义等.例如，看到“三角形”，只要涉及边长问题，马上联想到不等关系a+b＞c及
等；看到“圆被两条半径剖分成两部分”马上联想到“一个统计图形”，其所蕴涵的代数关系是“在调查的数据中，两部分数据分别是a%、b%，其中a+b=100”. 总之，正如2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》[8]指出的：“几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科.人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质……培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求.”其实，上述要求对初中数学依然有重要参考价值.对此，《课标（2011年版）》[1]先后多处针对“几何直观”提出明确要求，即“在‘图形与几何’的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的‘几何直观与推理能力’‘初步形成几何直观和运算能力’‘感受符号和几何直观的作用’‘特别是对于几何图形分类，有利于培养几何直观性和思维的层次性’‘利用几何图形研究代数问题’.利用平面直角坐标系，不仅能够推导出几何图形的代数表达式，还能够利用几何图形来研究代数问题，这是帮助学生建立几何直观的有效途径.”
标签：数学论文; 图形推理论文; 空间分析论文; 基础数学论文; 逻辑分析法论文; 直观教学论文; 逻辑能力论文; 关系逻辑论文; 几何原本论文; 推理论文; 代数论文;
