从解直角三角形到解直角四面体——立体几何的一个重要“题根”，本文主要内容关键词为：直角论文,角形论文,立体几何论文,一个重要论文,题根论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1.30年高考催生的重要题根
在数学解题中，我们将那些来源于基础，又高于基础；提炼于解题实践，又能够广泛应用于解题实践的优秀试题称之为题根。本文所论述的直角四面体及基本性质，就是30年高考催生出的一个重要题根。
如图1，将长方体截下一个角锥，我们称截得的这个角锥四面体P-ABC为直角四面体。直角四面体有3个共直角顶点的直角三角形。可是，第4个三角形还是直角三角形吗？请看：
图1
题1（1979年全国高考数学卷第6题）设三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角。求证：△ABC是锐角三角形。
题中提到的三棱锥，由于以V为公共顶点的3个表面三角形都是直角三角形，所以这样的四面体便是直角四面体。证明本题可以利用三垂线定理或余弦定理。而最直观简洁的，还是利用向量：
证明 如图2，以V为原点，直线VA,VB,VC分别为x.y,z轴建立空间直角坐标系，设A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)。那么：
故∠CAB为锐角。同理∠ABC、∠ACB为锐角。故△ABC为锐角三角形。
评注 耐人寻味的是，如同平面直角坐标系是由直角三角形抽象出来的一样，空间直角坐标系的基本模式，正是由直角四面体抽象出来的。
那么，直角三角形的许多重要性质，特别是勾股定理，它们都能够推广到空间吗？再请看：
题2（2003年全国文科卷第15题）在平面几何里有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则有
。”拓展到空间，类比平面几何的定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两相互垂直，则＿＿。
如果只需要写出答案，本题倒也不难。当三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直时，AB、AC、AD三条侧棱亦必互相垂直。也就是说，这样的三棱锥正是直角四面体。
与直角三角形的两直角边对应的是这个三棱锥的3个侧面，与直角三角形的斜边对应的是这个三棱锥的底面，与线段的长度对应的是这个三棱锥的侧面或底面的面积。
为此我们推测：与关系式对应的应该是：
这个推测是正确的，以下给出两种证法。
证明1 （利用与直角三角形有关的比例线段）如图3(1)，四面体A-BCD的侧棱AB、AC、AD两两垂直，那么CA⊥平面ABD。∴CA⊥BD。作AH⊥平面BCD于H，连CH并延长交BD于E，连DH、BH、AE，由三垂线定理知BD⊥CE，且BD⊥AE。△ACE中，∠ACE=90°且AH⊥CE，∴
=CE·HE。
图3(1)
评注 如同勾股定理揭示了直角三角形三边的内在联系一样，公式（※）揭示了直角四面体四个表面的内在联系，这是直角四面体最核心的性质。可以认为：这个性质正是勾股定理在空间的推广。可是，直角三角形的重要性质还不少，且在解题中有极为广泛的应用。这些性质都能够推广到空间，也有广泛的用途吗？
2.由直角三角形到直角四面体——一组漂亮的空间公式
如图4(1)，△ABC中∠ACB=90°，在射线CB上取CB=a，在射线CA上取CA=b。连AB（令AB=c）。那么直角三角形ABC即已确定。这就是说，两条直角边之长是确定一个直角三角形的基本条件；直角三角形的主要性质是：
直角三角形的这些性质，是用以解直角三角形的基础。那么，解直角四面体是否也有相应的性质呢？
如图4(2)，设∠APB=∠BPC=CPA=90°，
分别在三条射线上取PA=a,PB=b,PC=c。连接ABC,那么直角四面体P-ABC即已确定。这就是说，三
直角四面体还有其他一些性质。例如其三个直角表面两两互相垂直，三组对棱各自互相垂直，每个顶点在其对面的射影是对面三角形的垂心等。这些性质都很容易证明，这里略去。
以上的论述说明，只要知道直角四面体的三条棱长，就可以根据如上的公式或其推导方法，顺利地解决诸如求线面角、二面角，体积与表面积等大量空间几何问题。而这个过程，实质上就是解直角四面体。
3.作为解题模型的直角四面体
例1（2004年全国卷3第9题）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为( )
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离。
分析 本题虽然没有明显的垂直条件，但有共底边的两个等腰三角形，再配合数量关系，亦能构造直角四面体。
结束语 本文论述了解直角四面体的可行性其基本条件是知道其三条直角棱的长度。
在高考及各类数学测试中，有大量的空间几何试题可以归结为解直角四面体。如果试题本身就具有直角四面体的形式，可以直接利用其棱、面、角的关系解之；如果试题具有构造直角四面体的条件，则首先构造直角四面体，再借助其棱、面、角的关系解之。
解直角四面体的核心依据，就是公式（※），也就是勾股定理在空间的推广，它是利用直角四面体解题的总题根。