集体智慧解决高中新教材中的教学困难——记《任意角三角函数》概念课的课前研究活动，本文主要内容关键词为：函数论文,新教材论文,课前论文,困难论文,集体论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在人教版《普通高中实验教科书·数学4·必修（A版）》中，改动最大的就是《任意角三角函数的定义》。在教研活动中，我们对如何设计“任意角三角函数”的概念教学讨论得非常激烈。
在第一次备课中，各位老师先讲出了自己的想法和教学设计，归纳出以下三派①意见。
A派：趋向于按“终边定义法”讲解任意角三角函数的定义，即在角α的终边上任取一点P(x，y)，P到原点的距离为r，比值
分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数。
主要理由有：一是方便处理教材。因为教材例2中的“已知角α的终边经过点
(-3，-4)，求角α的正弦、余弦和正切值”这类知识是进一步学习的基础。二是保持知识的完整性。x，y，r三个字母两两相比有
种比值，从而产生六种三角函数。若按“人教A版”的定义，不久的将来，可能连“余切及正余割函数”也将从数学中消失。三是采用“终边定义法”。经过“取点一求距离一求比值”等步骤，其操作性强，便于用“定义法”处理已知α的某一三角函数，求其余三角函数。
B派：趋向于按“单位圆定义法”讲解任意角三角函数的定义。即设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；
叫做α的正切，记作tanα，即
(x≠0)。
其主要理由有：一是简单、清楚、易掌握。坐标（cosα，sinα）是单位圆上点的动态描述，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质的解析表述。二是突出三角函数最重要的性质——周期性。单位圆上点的坐标随着角α每隔2π而重复出现（点绕圆周一圈而回到原来的位置）。三是便于采用“数形结合”的思想研究三角函数的定义域、值域、同角三角函数的基本关系式等系列知识。
C派：趋向于先讲“终边定义法”，再简化定义，从而得出“单位圆定义法”。即教学中先复习直角三角形为载体的锐角三角函数，再把直角三角形放到直角坐标系中得出第一象限角的三角函数，再推广到任意角的三角函数，得到“终边定义”。然后简化定义，使分母为1，从而得出单位圆上点的坐标表示的三角函数，推出“单位圆定义”。这样做既可以处理书中例2这类问题，又为“单位圆定义法”做好认知准备，从而以单位圆来研究三角函数的性质。
为了统一认识，教研过程中我们再次学习了《高中数学课程标准（实验）》必修4部分及章建跃②主任的文章《为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数》。通过学习，大家认识到三角函数的内容在中学数学课程中分为两部分：第一部分放在义务教育第三学段，包括锐角三角函数的定义和解直角三角形；第二部分放在高中阶段，包括三角函数的定义、图象、性质和应用，以及解斜三角形。在学习任意角的三角函数之前，学生已经在《数学必修1》中建立了函数概念，已经有了学习指数函数和对数函数的经验。这就是说，在学生已有的认知结构中，函数和锐角三角函数是可用来同化新知识的“旧知”。任意角的三角函数的本质是以角为自变量的函数，其概念建立的难点是转换思考问题的角度，突破用直角三角形定义三角函数的思维局限，把原来锐角三角函数定义中的三角形边的长度比转换为适用于任意角三角函数的坐标或坐标比。其建立的方式是对原有的数学认知结构进行部分改组和重建，进而形成新的数学认知结构。
通过激烈的讨论，大家围绕“单位圆定义法”再次进行教学设计。基本思路为：
回忆以直角三角形边的比值定义的锐角α的三角函数；接着把这个锐角放在直角坐标系中，让学生用角的终边上点的坐标表示锐角α的三角函数；然后由相似三角形的知识，理解三角函数值只与α的大小有关，与点在终边上的位置无关，因而用单位圆上点的坐标表示锐角α的三角函数；最后推广为用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数。这样的设计过渡自然，有利于步步加深学生对三角函数本质的理解。
本设计通过十个问题串，引导学生进行学习。
【问题1】在初中，我们学了直角三角形中的锐角三角函数，你能回忆出锐角三角函数的定义吗？（画出图形，请学生陈述）
教师指出：角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，必须对其重新定义。我们知道锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
【问题2】如图，若把锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限。在α的终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离
(r＞0)。由锐角三角函数的定义，你能用点P的坐标及r来表示锐角α的三角函数吗？
【问题3】（结合相似三角形知识）对于给定的角α，如果改变α的终边上的点P的位置，这三个比值会改变吗？为什么？
【问题4】既然这三个比值与终边上点P的位置无关，那我们能否在终边上找到一个特殊的点，使其比值恰好等于其直角边或直角边的比？
让学生通过讨论得出，将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上，即终边与单位圆的交点，设P点坐标为(a，b)，则得到用直角坐标系内的点的坐标表示的锐角三角函数：
我们能否将上述锐角三角函数的定义推广到任意角呢？
设α是一个任意角，我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y，x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；叫做α的正切，记作tanα，即(x≠0)。
【问题5】你认为任意角三角函数的定义符合函数的定义吗？你能说出它的自变量与对应法则吗？
教师点拨：三角函数是以角的弧度数为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也看成实数为自变量的函数。
【问题6】按照我们研究函数的一般思路，接下来我们将研究三角函数的哪些问题？
【问题7】根据单位圆及任意角三角函数的定义，你能确定这些函数的定义域、值域吗？
【问题8】根据任意角三角函数的定义，你能确定三角函数值在各个象限的符号吗？
【问题9】根据任意角三角函数的定义，你能写出特殊角0、
的三角函数值吗？（学案中制成表格）
【问题10】通过学习，你对任意角三角函数有了哪些新的认识？有哪些体会？利用定义你能解决哪些问题？你还有哪些不明白的地方？请把它写下来。
最后推选了青年教师唐有红上了本节研究课，证实了大家共同讨论的教学设计的可行性。于是大家又进行了二次备课，修改形成符合新课程要求的学案。
注释：
①为了便于陈述，本文将意见相对保守的老教师归为A派，意见相对中庸的中年教师归为B派，意见相对激进的新教师归为C派.
②章建跃，博士，人民教育出版社中学数学室主任，课程教材研究所研究员，代表作《中学数学教学概论》等.