从美国高中课程标准看几何教学改革的新趋势_数学论文

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      21世纪以来，各国加强了几何教学，运动变化思想和推理论证的方法在高中数学的地位得到显著提高.本文以美国高中几何为例，论述几何课程的新发展.

      一、课程标准概观

      2000年，全美数学教师协会编制出版了《美国学校数学的原则和标准》（简称NCTM）；2009年，由美国各州教育部门和数学教育专家联合研制出版了《美国州核心共同数学标准》（简称CCSSM）；2011年，由美国马萨诸塞州教育部门研发了《美国麻省数学课程框架》（简称MCFM），以上标准对几何课程提出了一系列新见解.

      NCTM把几何与数学应用联系起来，恢复了推理论证在几何中的地位；CCSSM重视变换在形成核心概念中的作用，把新理念带入几何学；MCFM加强了建模在几何中的地位，把建模与数学应用结合起来，该标准内容精炼，创意突出，运动为纲，超越传统.MCFM与NCTM标准相比，大大提高了对推理论证的要求.与CCSSM标准相比，MCFM重视建立相对严密的概念和理论体系.与我国高中标准相比，MCFM加强了建模的教学要求.

      MCFM在初中几何的基础上，注意拓展加深.课程内容包括平面几何、立体几何、解析几何等，涉及推理、证明、度量、构图、探索等方面.

      二、运动为纲，核心概念引领

      根据MCFM标准，三类初等几何变换是平移、旋转、反射.它们具有的共同性质是保距性和保角性：设线段AB经过上述变换后的象是A′B′，则AB=A′B′；设角α经过变换后的象是α′，则α=α′.全等和相似是平面几何的核心概念，传统数学课程用图形的边、角对应相等定义三角形全等，研究过程呈现静止状态；新课程把图形的全等作为几何变换的结果，用刚体运动与伸缩变换的合成定义图形的相似.这样，运动进入了数学，辩证法进入了数学，数形结合的思想也进入了数学.

      1.用几何变换观点认识全等、相似和对称性

      刚体运动是几何变换的基础，平移、旋转、反射和它们的组合都是刚体变换.上述变换都具有保距性和保角性，因而上述变换是保形变换.平移、反射和旋转变换分别解释一类特定类型的对称性.例如，等腰三角形的底角相等，它刻画图形关于其中轴线的反射对称性.

      说明两个几何图形全等的途径是：如果有一个按顺序进行的刚体运动，把某个图形变换到新位置上，则称这两个图形全等.这样，利用刚体变换可分别阐明三角形、四边形和其他几何图形全等的概念，如三角形全等的公理和定理（边角边、角边角、边边边）.

      2.用刚体运动与伸缩运动的合成定义相似

      放缩变换是保形变换再乘以一个“比例因子”，原象及其变换后的象就构成相似图形，两个相似图形具有的性质是：对应角相等，对应边成比例.

      3.指出变换序列，认识变换过程

      高中数学要求学生利用初等几何变换的性质说明图形的特征与性质，用变换序列描述全等图形或相似图形的形成过程.

      4.明确运动中的关键因素，注意变与不变的辩证关系

      学生要识别变换中的关键因素，掌握静与动的辩证关系.

      （1）在平移变换中，驾驭变换的主要因素是距离与方向，用向量t表示.平移变换用记号T（t）表示，T表示平移变换，t表示支配该变换的向量，图形的所有动点都按照向量t进行运动.

      （2）在旋转变换中，支配因素是旋转中心O与旋转角θ，动点在变换中都要绕中心O旋转角θ，记旋转变换为R（O，θ），表示所有动点都绕旋转中心O旋转一个定角θ.

      

      （4）在位似变换中，支配变换的因素是位似中心O与位似比k.用记号H（O，k）表示位似变换及其支配因素，它们是位似变换中的不变量，经过位似变换，图形得以放缩.

      标准要求学生用坐标描述二维图形的平面变换，包括描述图形的平移、旋转、反射和放缩.要求学生理解二维图形的相似：如果第二个图形能够从第一个图形经过旋转、反射、平移和放缩等变换序列而得到，则第二个图形与原图形相似.学生应能够用坐标表示两个二维图形相似，描述从原象到象的变换序列，从而得到相似图形.学生应能利用直线、线段、角、圆、垂线、平行线等术语，阐述平移、旋转、反射、放缩等变换的定义，认识以上运动中的不变量.

      5.初等几何变换的实践

      把变换作为平面上点的函数，点P作为输入，另一个点P′作为输出，用

表示在平面上变换的过程.对给定的几何图形，要求学生运用平移、旋转、反射和放缩变换描述变换过程.学生会用绘图纸、方格纸、几何软件作为工具，确定各种变换的变量与不变量，详细说明变换后的图形，依次作出变换序列，使之按步实现变换目标.对于给定的刚体运动和给定的图形，告知变换的效果.

      三、更新推理体系，发展学生能力

      美国重视推理能力的培养，在初中生对几何概念初步认识的基础上，帮助学生扩展数学概念，从感性认识上升到理性认识.

      1.锐角三角函数的扩张

      锐角的正弦、余弦和正切的定义是从对直角三角形的研究开始的.毕达哥拉斯定理是锐角三角函数的基础，也是现实世界许多问题情境的依据.把毕达哥拉斯定理推广到非直角三角形就是余弦定理，正弦定理与余弦定理结合起来，完全解决三角形全等问题然而“边边角”情况具有不确定性，可能导致两解、一解或无解.

      2.三角形内角和与外角和

      两平行线被第三条直线所截，产生相等的角与互补的角.学生要认识三角形相似的判别定理和性质定理.例如，重新安排三角形三内角的位置，使它们依次两两共边，从而出现共线反向图形，形成一个平角，这是证明三角形内角和定理的一个方法.类似地研究三角形的外角和.

      3.曲线与方程、解集的几何意义

      解析几何把几何与代数联系起来，成为分析和解决问题的重要工具.代数操作可转换成对几何的理解，图形几何变换对应代数方程的变化.动态几何环境提供了实验工具，使之能调研几何现象，计算机代数系统也能对代数现象进行试验.

      学生能根据动点的条件，建立直线和圆锥曲线的方程.例如，根据一已知点及直线的斜率，求该直线的方程；求线段上的一点，把此线段分成两段，它们的比等于定值.

      用勾股定理推导圆的方程.根据动点的轨迹条件推导椭圆、双曲线和抛物线方程，用方程和圆锥曲线图象建立现实世界问题的模型，认识圆锥曲线方程的一般形式.

      例1 已知某圆圆心是坐标原点，且点（0，2）在圆上，则点（1，

）也在圆周上.

      判断以上命题是否正确，如果正确，请给予证明；如不正确，请给予反驳.

      例2 给出四个已知点，求证它们恰为某矩形的四个顶点.

      例3 用坐标计算多边形、矩形和三角形的周长和面积，包括使用距离公式.

      4.建立相对独立、较为完善的推理系统

      初高中几何紧密联系，相互衔接，螺旋上升，温故知新.注意在初中的基础上建立相对独立、相对完善的推理系统.初中生认识勾股定理，它反映直角三角形边的度量关系.高中生能独立证明该定理，进一步认识该定理的逆定理也成立.要求证明的定理包括：平行于三角形一边的直线分另外两边成比例，反之亦真.高中生还要认识定理的构造，知道定理与逆定理、判别定理与性质定理；把直角三角形推广到一般三角形，勾股定理就变成余弦定理；从角的关系思考三角形的边角关系，就得到正弦定理；从应用的方向去思考，就得到两点间的距离公式；从维度进行思考，就得到三维空间中的勾股定理，等等.

      高中几何重视夯实基础.例如，认识未定义的概念如点、直线、平面等，要掌握的概念如线段、射线、角、垂线、平行线、直线上两点间的距离、圆弧上两点间的弧长.能证明有关直线与角的定理包括：对顶角相等；两直线平行且与第三条直线相交，则内错角相等，同位角相等；线段的垂直平分线上任一点到该线段两端距离相等.

      5.证明有关三角形和四边形的定理

      包括：三角形内角和定理；等腰三角形两底角相等；三角形中位线定理；三角形中的共点线问题，如重心、垂心、内心、外心有关定理.

      证明平行四边形性质定理：平行四边形对边相等，对角相等，相邻两角互补，对角线互相平分；反之，可以建立相应的平行四边形的判别定理.类似地，可以探索和证明矩形的性质定理.探索：平行线等分线段定理，平行线分线段成比例线段定理，等等.

      6.理解和运用圆的定理与公式

      证明所有的圆相似；确认与描述圆周角、圆心角、弦切角及其度量；直径上的圆周角是直角，构造圆的内接三角形，证明圆的内接四边形的对角互补的性质，证明圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.认识圆的切线，它的判别定理与性质定理；证明圆中的比例线段定理，包括：相交弦定理、切割线定理、切线长定理，等等.

      认识扇形弧长面积公式，能证明与圆相关的度量关系，如圆幂定理.认识立体几何有关圆柱、圆锥、圆台和球相关问题.认识与运用圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式.

      四、几何构图——量与实践检验

      实践是导出概念的基础，也是检验理论的标准.高中几何给学生提供丰富的机会进行实验与探索、检验与验证，从而加深对理论的认识.

      1.常见基础作图

      重视培养学生探索发现、动手实践的能力，要求能利用圆规、直尺、绳子、反射装置、折纸、动态几何软件等，作出规范的几何图形.

      作线段使它等于已知线段；作一个角使它等于已知角；作一个角的平分线；作已知直线的垂线；作已知线段的垂直平分线；构建已知直线的平行线等.以上作图是基本作图，包括简易作图、尺规作图、用技术软件作图.

      2.与几何变换相关的作图

      根据相似变换的意义作图，即由一个中心和一个放缩比例因子作位似图形.一个变换，使得一条不通过放缩中心的直线，变成它的平行线；一条通过放缩中心的直线变换后仍然通过该点不变；一条线段，经过变换后，将按比例长于或短于原来的线段；给出两个图形，根据放缩的定义，说明这两个图形是否相似；利用相似变换的性质作图，证明含有相似三角形的定理.

      3.用多种方法表述平面几何变换

      （1）给出三角形、平行四边形、梯形和正多边形，用平面变换描述平移、旋转与反射的效果.

      （2）验证，经过旋转、反射、平移等变换，线段、角、圆、垂线、平行线等相关性质不变.

      如图1，几何变换作图.

      

      五、几何建模呈现新亮点

      重视数学建模是各国数学课程的新趋势.美国高中几何以数学建模为其特色，以常见的几何对象作为数学建模的重要载体.

      1.对几何形体自身的研究

      几何形体就是有代表性的数学模型，具有规范性、简明性，它们是数学建模的重要依据.

      2.根据实际情境，合理选择模型

      进行建模，需要分析情境、选好模型、进行模拟，需要思考假设、做出预测、探索结论、解决问题，与原预测作比较.技术是模型验证的有力工具.即使是硬币这样的形体，也有不同的建模选择：既可看作三维的圆柱，也可看做平面圆盘，等等.

      3.现实生活中的建模

      分析实际问题，找出主要特征，考虑约束条件，研究数学实质，思考解决方法；寻找合适的几何形体，简化次要方面，力求用熟悉的数学工具予以解决.还要分析模型的实际意义，解决原来的问题.

      模型1 分析实物的外形，探索度量与性质.用一几何形体描述实物（例如，将一根树干或一个人体躯干看作为圆柱或气缸）.

      模型2 在建模情境中，应用面积模拟密度概念.例如，每平方英里的人数.

      模型3 用几何方法去解决设计问题.例如，设计一个物体或一个构图，满足某些约束条件.求多种食物组合，既保证人体需要，又能最节约成本，可转化为平面区域问题.

      模型4 每立方英尺的热量，作为空间密度概念的模型.

      模型5 航海问题、追及问题，可利用三角形模型，或两点间的距离作为模型予以解决.

      模型6 利用量纲分析与单位转换，利用方程表述数学模型.

      模型7 寻找地震震源.

      

      已知地震震源在地球表面某点上.设三台测震仪A，B，C，它们不是直接在震源上方，从它们所在位置能否测出从各点到震源的距离？为测出震源的位置，在A，B，C三点分别安设一台测震仪.

      从点A读出震源在⊙A的某个位置上；从点B读出震源在⊙A与⊙B的两个交点之一上.能否利用测震仪C，使它测出震源的位置？

      模型8 理解正弦定理和余弦定理，求直角三角形乃至一般三角形的未知度量.利用上述定理和公式解决测量问题、合力问题等.

      模型9 给一个非正式的论点，利用卡瓦列里原理（即祖暅原理）研讨用一个球体探测其他立体图形的体积公式.

      模型10 祖暅原理：设两立体M，N同夹于两平行平面α，β之间，如果被两平面间的任一平行截面截得的面积相等，则M，N两立体等积.据祖暅原理可由规范形体求非规范形体的体积.

      模型11 给出圆周长、圆面积、圆柱表面积和体积公式，棱锥、圆锥的表面积和体积公式，根据上述公式解决实际问题.学生建立对几何建模信息的理解与争论.

      六、从高中课程标准看数学教改趋势

      从上述高中课程标准，可以发现美国数学教改有以下新趋势：

      （1）高中几何与初中几何联系紧密，在内容上涵盖了初中几何，注意在初中几何的基础上发展、充实与提高，呈现螺旋式上升的势态.

      （2）用运动和变化的观点分析图形，注意动与静的相互制约与统一，用对立统一观点分析几何变换，使之成为高中几何的核心内容.

      （3）重视发展学生的动手操作能力、推理论证能力、数学交流与数学表述能力.上个世纪美国学校数学单纯偏重数学应用，弱化数学推理，当前有了显著的改善与提高.

      （4）大力提高几何建模的地位，重视模型的构建，加强对常见几何模型的认识，加深理解，提倡实际应用.课程提供了常见几个建模的线索与范例，并用星号予以标注.

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