浅析数形结合思想方法的应用论文

浅析数形结合思想方法的应用

方长林

摘 要： 高考强化对数形结合思想方法的考查，是考查学生潜能的有效途径。本文从数形结合思想方法在求不等式最值、函数的零点、解析几何、三角函数、新定义问题等方面的应用进行浅析，渗透与强化数形结合的思想方法。

关键词： 数形结合；等价转化；方法

一、 内容分析

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合。

数形结合思想解决的问题有以下几种：(1)构建函数模型并结合其函数图像求参数的取值范围、研究方程根的范围、研究量与量之间的大小关系、研究函数的最值问题和证明不等式；(2)构建立体几何模型研究代数问题；(3)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(4)构建方程模型，求根的个数；(5)研究图形的形状、位置关系、性质等。

数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用的方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效。应注意：(1)准确画出函数图像，注意函数的定义域；(2)用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数，首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时要先作适当变形)，然后作出两个函数的图像，由图求解。(3)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征、要恰当引参，合理用参，建立关系，做好转化、要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏、精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题解决。

3）再次，从会议的主办方来看，笔者的调查结果显示此次中国航海日的志愿者们并未接受任何形式的语言服务培训。73%的受访志愿者们表示可以通过小组训练、圆桌会议、场景模拟等方式来进行语言培训，从而提高自身的口语表达以及跨文化交际能力。此外，还有32%的志愿者认为通过开设专门特色语言课程会对自身的ESP使用能力有所帮助。可见受访的志愿者们对活动培训十分看重，其缺失也成为志愿者无法提供便捷到位的语言服务的重要原因。

二、 复习要求

高考强化对数形结合思想方法的考查，是考查学生潜能的有效途径。试题以选择题或填空题的形式居多，涉及的内容包罗万象，题目难度大多在中等以上，同时也兼顾对函数与方程、等价转化思想方法的考查。复习中要对一些典型例题进行剖析，让学生体会图形在解题中的作用，然后辅以跟进练习进行训练，有助于学生更好地运用数形结合的思想方法，更好地运用图形解题。

从商业发展的角度来看，企业发展的根本是生产和销售，唯利是图是商业的本质。但是作为国有企业，肩负的不仅仅是利益的最大化，还需要对企业内的员工进行必不可少的思想政治教育，不少国有企业以商业利益为根本，在选人提拔、晋升、年终考核等标准制定上，绝大部分因素保证都是商业利益、为企业的贡献，并没有把思想政治扎实过硬作为必选项和一票否决项列在最前沿。换言之，往往选拔晋升的干部队伍本身就是思想政治意识不强，认为技术、能力、对企业的贡献远比思想政治工作有效，可想而知，领导的意识形态直接影响员工的思政政治导向，忽视了思想政治教育在日常生活和工作中的指导性。

三、 复习重点与难点

重点是引导学生善于联想、等价转化和准确规范地作出图形。难点是用代数的方法分析图形，深入探究图形的内在关系；通过图形直观，深刻理解代数式中的隐性关系。

四、 例题分析

(一) 运用数形结合思想方法解题时应注意作图的准确性

【例1】 (1)函数f (x )=2^x -x ²零点的个数为 ；函数g (x )=sinx -lgx 零点的个数为 ；函数零点的个数为 ；

(2)定义在R 上的奇函数f (x )，x >0时，则函数f (x )在R 上的零点的个数为 。

1. 梳理了数形结合思想方法在函数的零点(方程的根)、不等式(与线性规划有关)、参变量的取值范围、解析几何、三角函数、新定义等方面问题中的应用，进一步渗透了数形结合的数学思想。

Maya Angelou is a versatile and extraordinary black woman,always concerning about those people who have the same situation and encounters with her.Her works have encouraged many black girlsfromgeneration togeneration.

简析： 一般的，关于函数零点的个数问题，有三种处理方式：(1)作出函数y =f (x )的图像，考查其与x 轴交点的个数；(2)转化为方程h (x )=g (x )的解的个数判断；(3)转化为h (x )=g (x )的形式，在同一坐标系中分别画出y =h (x )与y =g (x )的图像，考查它们交点的个数。本题是道易错题，会因为随意画图像而导致交点个数出错。第(1)题易错成2，1，3；第(2)题有两个地方容易忽略，一是定义在R 上的奇函数f (x )，f (0)=0可能会遗漏；二是x >0时，转化为与的交点，其实它们有两个交点，均在y =x 上，容易想当然画成一个。提醒学生借助图形解题一定要关注细节，避免图形失真。

思考题：函数y =f (x )在定义域内单调递增，若y =f (x )与y =f ^-1(x )图像有公共点，证明公共点一定在y =x 上；若函数y =f (x )在定义域内单调递减呢？

(二) 数形结合思想方法在不等式求最值问题、求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用

【例2】 若x ，y 满足约束条件则

的取值范围为 ；

的取值范围为 。

答案：

简析： 正确地作出不等式组表示的平面区域，第(1)题，将目标表达式变形为联想到区域内的动点(x ，y )与定点(2，-1)连线的斜率；第(2)题将目标表达式变形为的形式，再换元令结合斜率与耐克函数图像求解。

(三) 数形结合思想方法在解决与函数有关的问题、方程根的相关问题中的应用

【例3】 若方程lg(-x ²+3x -m )=lg(3-x )在x ∈(0，3)内有唯一解，求实数m 的取值范围。

1611年帕多瓦版《图像学》的卷首部分，书商保罗·托奇（Pietro Paolo Tozzi）依据其丰富的徽志类图书出版经验，自作主张为里帕的读者们提供了一系列索引表（Tavole），其中甚至包含“所引用的作家目录”（Tavola degl'autori citati）。托奇此举令里帕大为满意——这不仅是他们后续几个帕多瓦版《图像学》合作愉快的起点，甚至成为此后大部分《图像学》修订本和译本的“标配”。

答案： (-3，0]∪{1}

简析： 方程lg(-x ²+3x -m )=lg(3-x )在x ∈(0，3)内有唯一解等价于混合组有唯一解，等价于有唯一解，作出二次函数y =-x ²+4x -3在(0，3)上的图像，考查直线y =m 与它的交点情况。

本题在考查数形结合的思想方法的同时，更多地考查了等价转化的数学思想方法。

威廉斯在作品中反复提到了“中国哲学”或“中国人的哲学”等字眼，这是他对中国的第一类想象。然而这些所谓的中国哲学并不是以儒释道为核心的中国传统哲学思想，也不是普通中国人为人处世的观念，而是美国人从经验的角度、按照自己的理解对中国人进行的想象。

【例4】 (1)已知函数若关于x 的方程[f (x )]²+a ·f (x )+b =0(a 、b ∈R )有且只有7个不同实数根的充要条件是 。

答案： a <0且b =0

简析： 先作出y =f (x )图像，再换元令f (x )=t ，方程转化为t ²+at +b =0，考查二次方程的根以及y =f (x )与y =t 的交点情况。

(2)已知函数f (x )=x |x -a |-2有三个零点，则实数a 的取值范围是 。

答案：

简析： 方法一：作出函数的图像，需要对参数a 分类讨论，a >0，a =0，a <0三种情况，考查y =f (x )的图像与x 轴的交点；

答案：

方法三：在方法二的基础上继续等价转化等价于即和解的情况，再作与y =a 的图像，考察交点。

【例5】 若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时若对任意的x ∈R ，都有f (x -1)≤f (x )，求实数a 的取值范围。

答案：

①已知点P (3，1)和直线l ：2x -y -1=0，则

崔：谢谢您对“拉三”的精彩观点。除此以外，在您的经历里，关于钢琴协奏曲，有一首始终绕不开的作品，您以它赢得了“克利夫兰国际钢琴比赛”，但您在今天的回答中却始终未有提及，那就是舒曼的《钢琴协奏曲》！

(四) 数形结合思想方法在解析几何中的应用

【例6】 且集合A ⊆B ，其中求实数C ₁的取值范围。

答案： a ≥2

答案： 3

在中国，几乎所有的工业互联网平台业务都还没有完全进入到良好的盈利阶段，都还需要依靠本公司其他业务补贴。大家都在争取活久，因为唯有活下去才能有一丝希望。大家都在抢客户，都在花钱、烧钱、亏钱过日子，盈利是暂时不要去想了。

【例7】 已知常数x ₁，x ₂，y ₁，y ₂满足：则的最大值为 。

Providing Global Impetus for China’s Eco-civilization Construction with All-round Opening up and Cooperation Huang Chengliang

答案：

因此，如何激发中药学专业本科生对于中医药文化的兴趣，提高其中医药文化底蕴、培养其中医药思维方式，是我们中医药教育工作者需要思考、研究和探索的重要课题。笔者所在中医药学院对此进行了深入探索与思考，近年来开展了针对新生的中医药文化游学活动，现介绍如下，以期与相关教育工作者探讨。

简析： 记知知向量a ，b 的夹角为∠MON =60°，又的几何意义是点M 、N 到直线x +y =1的距离之和，结合图像，知的最大值为

(五) 数形结合思想方法在三角函数问题中的应用

【例8】 设试证明：sinα <α <tanα 。

简析： 构造单位圆，利用三角函数线。因为S _△POA <S _扇形POA <S _△OAT ，所以即sinα <α <tanα 。

【例9】 (1)函数的值域是 ；

(2)已知则M 的取值范围是 ；

(3)若锐角α 、β 、γ 满足cos²α +cos²β +cos²γ =1，则tanα tanβ tanγ 的最小值为 。

答案：

简析： (1)sinx =1时，f (x )=0；sinx ≠1时，令联想斜率求解。(2)变形为令或t ≤-2)，联想动点(t ，t )与动点(cosθ ，sinθ )连线斜率的变化范围；(3)构造长方体求解。

(六) 数形结合思想方法在新定义问题中的应用

【例10】 在平面直角坐标系中，定义d (A ，B )=max{|x ₁-x ₂|，|y ₁-y ₂|}为两点A (x ₁，y ₁)、B (x ₂，y ₂)的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称d (P ，Q )的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作d (P ，l )，给出下列两个命题：

简析： 函数f (x )的图像如下图所示，

②定点F ₁(-c ，0)、F ₂(c ，0)，动点P (x ，y )满足|d (P ，F ₁)-d (P ，F ₂)|=2a (2c >2a >0)，则点P 的轨迹与直线y =k (k 为常数)有且仅有2个公共点。

其中真命题的序号是 。

答案： ①②

五、 提炼总结

答案： (1)3，3，1 (2)5

2. 渗透了函数与方程、等价转化、分类讨论的数学思想方法。

若对任意的x ∈R ，都有f (x -1)≤f (x )等价于将函数f (x )的图像向右平移1个单位后，图像在函数f (x )的图像的下方，即只要1-3a ²≥3a ²即可。

3. 运用数形结合方法解题的关键：巧妙地结合、准确地作图。

4. 温馨提示：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合无限好，二者分家万事休”。

六、 跟进练习

1. 若实系数一元二次方程x ²+ax +2b =0有两个实根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：(1)点(a ，b )对应的区域的面积；的取值范围；(3)(a -1)²+(b -2)²的取值范围。

由于地面IoT设备的运动，UAV的移动节能策略需要与IoT设备分簇情况联合设计，如图2所示.地面IoT设备运动导致分簇的整体位置和簇内节点数动态变化，进而影响到负责该簇通信UAV的运动.

方法二：转化为x |x -a |-2=0，即研究y =|x -a |与的公共点；

2. 已知若y =2f ²(x )+2bf (x )+1有8个零点，则实数b 的取值范围 。

答案：

3. 已知函数f (x )=|x ²+3x |，x ∈R ，若方程f (x )-a |x -1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 。

答案： (0，1)∪(9，+∞)

4. 已知a ₁、a ₂、a ₃与b ₁、b ₂、b ₃是6个不同的实数，若关于x 的方程|x -a ₁|+|x -a ₂|+|x -a ₃|=|x -b ₁|+|x -b ₂|+|x -b ₃|的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素。

3.症状。气泡病经常发生在刚放苗的时候和晴天日照强烈的午后。主要症状为病鱼初期体表或体内出现大量气泡，游泳异常，迎着阳光会看到由于气泡出现的明显的银白色反光点。后期逐渐失去游泳能力，浮于水面，而后死亡。

简析： 先换元，令|x -2016|=u ，|y -2017|=v ，则转化为与u +v ≤a 的关系。

5. 已知函数若|f (x )|≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 。

答案： [-2，0]

6. 已知圆C ：x ²+(y -2)²=1，P (x ，y )为圆C 上任意一点，则的取值范围是

( )

答案： B

刘铁军（1986-），男，黑龙江省绥化人，哈尔滨理工大学马克思主义学院科学技术哲学专业硕士研究生，研究方向：科学技术哲学。

7. 函数的最大值为 。

答案： 1

8. 求y =(cosθ -cosα +3)²+(sinθ -sinα -2)²的最值。

答案： 最大值为最小值是

9. 定义：min{a ₁，a ₂，a ₃，…，a _n }表示a ₁，a ₂，a ₃，…，a _n 中的最小值，若f (x )=min{x ，5-x ，x ²-2x -1}，对于任意的n ∈N ^*，均有f (1)+f (2)+…+f (2n -1)+f (2n )≤kf (n )成立，则常数k 的取值范围是 。

答案：

10. 对a ，b ∈R ，记则函数f (x )=min{|x -2|，-x ²+4}的最大值 。

答案： 3

COPD 的发病机制较为复杂，且个体之间发病易感性差异较大。吸烟已被证实为 COPD 发病最主要的危险因素，但流行病学研究发现仅有 10%～20% 的吸烟者发展为具有临床症状的COPD[9]，并且 COPD 和肺功能受损具有家族聚集倾向，另外不同国家、不同民族 COPD 的发病率也不同[10]。随着基因组学的深入研究及人类全基因组测序的完成，从基因水平分析疾病发病机制及遗传易感性、揭示遗传因素与疾病的相关性成为研究者关注的焦点。本研究旨在通过对 apoM 基因 SNP的研究，进一步探索 COPD 患者的遗传背景，为早期识别社区风险群体和发展新的个体化的治疗靶点提供依据。

作者简介： 方长林，上海市，上海市复兴高级中学。

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