例谈含有中点和角平分线条件问题的解题思路，本文主要内容关键词为：中点论文,思路论文,条件论文,平分线论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
题目 如图1，在△ABC中，AB=7，AC=11，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，且MF∥AD，则FC的长为______。
图1
题目中有两个重要条件：一个是角平分线；另一个是线段的中点。针对这两个条件，笔者谈一下在解题时应如何切入，怎样思考。
一、从角平分线条件入手解题
题目中如果有角平分线这一条件，可以从以下三个角度来考虑：(1)直接利用角平分线上一点的性质；(2)角平分线+垂线＝等腰三角形；(3)角平分线+平行线＝等腰三角形。下面我们分条来做具体说明。
(1)直接利用角平分线上一点的性质：角平分线上一点到角的两边距离相等。
分析：根据图形显然要在AD上取一点分别向AB、AC作垂线。则这一点必然要选取点D（如图2）。由DH=DG。又分别知道AB、AC的长度，我们容易联想到△ABD和△ADC的面积，使问题获解。
图2
解法1：过点D分别作DH⊥AB、DG⊥AC，点H、G为垂足。
(2)角平分线+垂线=等腰三角形。
图3
首先让我们来看模型：如图3，BG是∠ABC的平分线，任意作BG的垂线EF，分别交BA、BC于点E、F，垂足为点D。根据“ASA”，易证△EBD≌△FBD。所以BE=BF，D是EF的中点。
分析：我们要作AD的垂线，可以有五条途径，即分别过B、D、M、C、F五点作AD的垂线，经尝试过D、M、F三点作AD的垂线，不能合理地利用M是BC的中点这一条件，即这三条路行不通，只能选择其余的两条路。
解法2：如图4，过点B作AD的垂线BH，点G为垂足，交AC于点H
图4
由模型，得AH=AB=7。
又因为AC=11，则CH=11-7=4。
连接MC，由模型可知，G是BH的中点。
而M是BC的中点，
所以GM是△BHC的中位线。
所以
，GM∥AC
又因为MF∥AD。
所以四边形AGMF是平行四边形。
所以AF=GM=2。
所以FC=AC-AF=11-2=9。
解法3：如图5，过点G作AD的垂线CH，垂足为点G，CH交AB的延长线于点H。
图5
由模型，得AH=AC=11。
又因为AB=7，则BH=11-7=4。
连接MC，由模型可知，G是CH的中点。
而M是BC的中点，
所以GM是△BHC的中位线。
所以
，GM∥AH。
所以∠HAG=∠AGM。
又因为∠HAG=∠FAG，
所以∠FAG=∠AGM。
又因为MF∥AD，
所以四边形AGMF为等腰梯形。
所以AF=GM=2。
所以FC=AC-AF=11-2=9。
(3)角平分线+平行线=等腰三角形。
模型：这里的平行线分两种情况。
①角的一边的平行线与角平分线及角的另一边相交得到等腰三角形。
如图6，OP平分∠AOB，CP∥OA，则∠1=∠2=∠3。所以OC=CP，即△OCP是等腰三角形。
图6
②角平分线的平行线与角的一边及角的另一边的反向延长线相交得到等腰三角形。
如图7，OP平分∠AOB，CD∥OP，则∠1=∠2=∠3=∠4。所以OC=OD，即△OCD是等腰三角形。
图7
分析：题目中既有角平分线，又有角平分线的平行线，完全符合性质的条件，只需延长BA、MF，使其相交，即可得到等腰三角形，从而打开缺口，解决问题。
解法4：延长MF交BA的延长线于点G（如图8所示），由模型，得AG=AF。
图8
设BD=a，DM=b，由M是BC的中点可知，MC=a+b。
设AG=AF=c，贝CF=11-c。
从而可得c=2。所以CF=11-2-9。
分析：作角平分线的平行线得到等腰三角形。由图7可知，有两种情况，即过点C或点B作AD的平行线。
解法5：如图9，过点C作CG∥AD交BA的延长线于点G，延长MF交AG于点H。由模型，得AG=AC，AH=AF。
图9
又因为AB=7，AC=11，
则BG=18。
因为M为BC的中点，MH∥CG，
所以H为BG的中点，BH=9。
则AH=9-7=2=AF。
所以FC=11-2=9。
解法6：如图10，过点B作BG∥AD交CA的延长线于点G。
图10
由模型可知，AG=AB=7。
又因为AC=11，则CG=18。
因为M为BC的中点，MF∥BG，
所以F为CG的中点。从而得CF=9。
分析：作角的一边的平行线与角平分线及角的另一边相交得到等腰三角形，则只能过点M或点D去作，而过点D作AB或AC的平行线均不能合理地利用M为中点这一条件，所以只能过点M作平行线。
解法7：如图11，过点M作GH∥AB，交AC于点H，交AD的延长线于点G。
由模型，得AH=GH。
易证四边形AHMF为平行四边形，
从而有AF=HM=2。
所以FC=11-2=9。
二、从中点条件入手解题
在题目中如果存在中点的条件，考虑问题可以有以下两种常见的思路：(1)倍长中线；(2)构造中位线。下面分条来做具体说明。
(1)倍长中线。
首先看一下模型：如图13，若点C是线段AB的中点，那么延长DC至点F，使DC=CF，连接AD、BF，则易证△ACD≌△BCF。所以有AD∥BF，AD=BF。
图13
分析：如图14，延长FM至点G，使FM=MG，由模型可知，BG∥FC，且BG=FC。为了合理地利用已知条件，我们延长MF，交BA的延长线于点H，则问题可以解决。
解法9：如图14，延长FM至点G，使FM=MG，延长MF，交BA的延长线于点H，则有BG∥FC，且BG=FC。
图14
由MF∥AD，得
∠H=∠BAD.∠AFH=∠FAD.
又因为∠BAD=∠FAD，
所以∠H=∠AFH。所以AH=AF。
由BG∥FC，得∠G=∠GFC。
又因为∠GFC=∠H，
所以∠G=∠H。
所以BG=BH=AB+AH=AB+AF=7+AF=FC=AC-AF=11-AF，即7+AF=11-AF。
解得AF=2。所以FC=11-2=9。
(2)构造中位线。
①由点M是BC的中点入手构造中位线。
分析：由点M是BC的中点入手构造中位线，BC必然是该三角形的一边。在△ABC中，可以过点M作AB或AC边的平行线，从而得到△ABC的中位线。
图15
解法10：如图15，过点M作AB的平行线，交AC于点G，则MG是△ABC的中位线。
易证四边形AGMF是平行四边形，
所以AF=GM=2。
所以FC=AC-AF=11-2=9。
②构造以线段MF或MF的延长线为中位线的三角形。
分析：仍然使BC为该三角形的一边，我们可以过点B或点C作肘F的平行线，从而得到以线段MF或MF的延长线为中位线的三角形。
解法12：如图17，过点B作MF的平行线，交CA的延长线于点H，则MF是△HBC的中位线。所以
。
又因为MF∥AD，所以AD∥HB。
所以∠ABH=∠BAD，∠H=∠DAC。
图17
而∠BAD=∠DAC，
所以∠H=∠ABH。
所以AH=AB=7。
所以CH=CA+AH=11+7=18。
而，所以CF=9。
解法13：如图18，过点C作MF的平行线，交BA的延长线于点H，交MF的延长线于点G，则MG是△HBC的中位线。所以
。
图18
因为HC∥MG∥AD，
所以∠HCA=∠DAC，∠H=∠BAD。
又因为∠BAD=∠DAC，
所以∠H=∠HCA。
所以HA=AC=11。
所以BH=BA+AH=7+11=18。
又因为，所以BG=9。
因为AB=7，所以AG=2。
因为MG∥AD，
所以∠AFG=∠FAD，∠AGF=∠BAD。
又因为∠BAD=∠DAC，
所以∠AGF=∠AFG。
所以AG=AF=2。
所以FC=AC-AF=11-2=9。