法向量在立体几何解题中的妙用，本文主要内容关键词为：立体几何论文,向量论文,妙用论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
人教版高中《数学》第二册（下B）第42页对平面的法向量是这样定义的：如果向量
⊥α，那么向量叫做平面α的一个法向量.法向量的引进，对解决空间问题提供了一个很方便、实用的工具，但目前教材和相关的参考书大都仅局限于法向量的介绍，对后续的空间夹角与距离问题以及线面与面面位置关系的研究时与法向量结合的较少，法向量的运用没有得到很好的挖掘.笔者在教学过程中总结发现：如能结合法向量的有关知识，灵活运用法向量，可减少辅助线的添加，降低解题的难度，其思路明确，易于下手，过程较为程序化，易于掌握.下面举例说明法向量在立体几何解题中的一些运用.
一、利用法向量证明直线与平面平行和垂直
证明直线与平面平行，转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明直线与平面垂直，转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线，然后根据直线与平面平行或垂直的有关概念得出结论，达到解决问题的目的.
例1 已知正方体ABCD-A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]的棱长为2，E、F、G分别是BC、CD和CC、的中点.求证：
（1）AD[，1]∥平面EFG；
（2）A[，1]C⊥平面EFG.
证明 以D为坐标原点，建立如图1所示空间直角坐标系D-xyz，则有D（0，0，0），
二、利用法向量证明平面与平面平行和垂直
证明平面与平面平行，转化为证明这两个平面的法向量共线；平面与平面垂直，转化为证明这两个平面的法向量互相垂直.
例2 已知在正方体ABCD-A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]中，E、F、G分别是BB[，1]、CD和DD[，1]的中点.
求证，（1）平面AED∥平面B[，1]C[，1]G；
三、利用法向量求线面夹角
斜线与平面所成的角和斜线与该平面的法向量所成的角互余或与该平面的法向量所成的角的补角互余，故要求斜线与平面所成的角只要求斜线与该平面的法向量所成的角即可.
例3 已知长方体ABCD-A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]中，DA=1，DC=2，DD[，1]=3，求直线BB[，1]与平面A[，1]BC[，1]所成的角.
解 如图3所示，建立空间直角坐标系D-xyz，则
四、利用法向量求面面夹角
平面与平面所成的二面角和两平面的法向量所夹的角相等或互补.
例4 在例3的长方体AC[，1]中，求平面A[，1]BC[，1]与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小.
五、利用法向量求点到平面的距离
点到面的距离，就是过该点的某一斜线的长和斜线与该平面的法向量的夹角的余弦的绝对值的乘积.
例5 如图4，在直三棱柱ABC-A[，1]B[，1]C[，1]中，AC=BC=AA[，1]=2，∠ACB=90°，D、E、F分别为AC、AA[，1]、AB的中点，求点B[，1]到平面DEF的距离.
解 建立如图4所示的空间直角坐标系C-xyz，则有C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），A[，1]（0，2，2），B[，1]（2，0，2），C[，1]（0，0，2），D（0，1，0），E（0，2，1），F（1，1，0），
六、利用法向量求两异面直线间的距离
求两异面直线间的距离可先求得两直线的公共“法向量”，然后在两直线上各取一点，求出过这两点的向量在法向量上的射影长就是两异面直线间的距离.
例6 已知在长方体ABCD-A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]中，AB=4，AD=3，AA[，1]=2，若M、N分别是DC、BB[，1]的中点，求异面直线MN与A[，1]B间的距离.
解 建立如图5所示空间直角坐标系A-xyz，则有A（0，0，0），A[，1]（0，0，2），B（0，4，0），B[，1]（0，4，2），C（3，4，0），D（3，0，0），M（3，2，0），N（0，4，1），所以
从上述例题可以看出应用平面的法向量解决立体几何题一般有以下四个步骤：
（1）建立空间直角坐标系并写出相应的点与向量的坐标；
（2）由法向量的定义求出平面的法向量；
（3）由向量代数的有关知识判定平面的法向量与对应向量的共线、垂直或者求出两个向量的夹角；
（4）根据题目的要求得出问题的结果.
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