分类讨论的数学思想在高中数学学习中随处可见，无所不在，而在教学中，发现很多学生对这类问题往往一知半解，似懂非懂，在考试过程中，对这类问题更是感到困难，束手无策，很难做到答对或完整答对。
那么在教学中，怎么来帮助学生有效地解决分类的问题呢？当然要知道这类问题对学生造成困难的原因，根据教学实践总结为两点。
一、缺乏分类意识，造成漏解，错解
在平常教学中，经常遇到这样的情况，例如，已知：a∈R，ax2+ax+1＞0恒成立，求a的范围。很多学生会遗漏a=0这种情况。为什么会出现这种情况，主要原因在于学生平常没有形成良好的思维习惯，审题不仔细，被题目的表面现象所迷惑，认为这就是一个一般的一元二次不等式，完全没想到还有其它的可能。根本没想到要对它分类，结果造成了漏解。针对这种情况可以设问的方式引导启发学生，如问学生：这是一元二次不等式吗？学生往往回答“是”，接着问若a=0呢？这样学生就开始反思了。在平常教学中要不断地这样启发，引导学生，强化学生分类意识，培养学生解题的严密性。
那么哪些问题涉及分类呢？可以归纳为以下几点。
1.涉及到的数学概念是分类进行定义的，如绝对值，就要按>，<，=，进行分类，才能去掉绝对值符号，排列组合问题首先要搞清是分类还是分步，是先分类还是先分步。
2.涉及到定理、公式运算法则等，如等比数列的前n项和公式需要对公比进行分类；如指数函数与对数函数，在讨论函数的单调性时，就必须对底进行讨论。
3.由图形的不确定性引起的分类讨论，如解析几何中对直线的斜率要分存在与不存在进行讨论，立体几何是线与线，线与面，面与面的位关系均有多种可能，要根据题设条件进行讨论。
4.求解的数学问题有多种情况或多种可能。
例.已知{an}是首项为2，公比为 的等比数列，Sn为它的前n项和。
（1）用Sn表示Sn+1。
（2）是否存在自然数c和k，使得 >2成立。
命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力。
知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质。
错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出 Sk-2<c<Sk。
技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型,在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想，即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得答案。
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解：（1）由Sn=4(1- ），得Sn+1=4（1-）= Sn+2，(n∈N*)。
（2）要使 >2，只要<0， 因为Sk=4（1- ）<4，所以Sk-（ Sk-2）=2- Sk>0，(k∈N*)，故只要 Sk-2＜c＜Sk，（k∈N*），因为Sk+1＞Sk，(k∈N*)①，所以 Sk-2≥ S1-2=1，又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3。
当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c＜Sk不成立，从而①不成立。
当k≥2时，因为 S2-2= >c，由Sk＜Sk+1(k∈N*)得 Sk-2< Sk+1-2，故当k≥2时， Sk-2＞c，从而①不成立。
当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，c＜Sk不成立，从而①不成立。
因为 S3-2= >c，又 Sk-2＜ Sk+1-2，所以当k≥3时， Sk-2＞c，从而①成立。
综上所述，不存在自然数c,k,使 >2成立。
5.数学问题中含有参变量。如(m+1)x+4x+1<0需对二次项系数m+1是否等于0进行讨论。
当然一道题目是否需要讨论，什么时候讨论并不是看题目中是否含有参数，而是应看它是否影响继续解题，有些题目一开始就要进行讨论，有些题目则是在解题过程中进行讨论，甚至可以回避讨论.
二、缺乏科学分类的方法.主要表现在分类对象不明确，分类标准不确定，经常出现重漏现象
针对这种情况，要引导学生解决好三方面的问题。
1.分类对象的确定性。对什么东西进行讨论，这是分类的前提。分类时先要确定分类对象的全体是一个怎样的集合，这个集合的元素是什么。
2.分类标准的同一性。按什么标准分类，这是分类的关健，分类标准一经确定，必然突出了对象总体在此标准下的差异，而掩盖了在其它标准下的差异，同一层分类过程，必须按同一标准进。
3.分类过程的逐级性。分成几类讨论，这是分类的终结，例如，已知a∈R，解不等式ax2+2x+1<0。怎样引导学生对这一类问题进行分类呢？首先要找到影响解答这类题的因素。通过分析，可以发现有两点因素影响解题。（1） x的系数影响解的结构形式。（2）方程的根的大小直接影响结果。从这两方面入手，首先令x的系数等于0得到a=0，然后再令判别式等于0又得到a=1。从而可以分成这几类来讨论1.a<0 2.a=0 3.0<a<1 4.a=1 5.a>1共五类。每一类都可以将解集结构形式及根的大小确定下来。
总的来说，分类讨论的一般步骤是先确定标准再恰当分类，然后逐类讨论，最后归纳结论。
论文作者:李锦标
论文发表刊物:《素质教育》2013年12月总第140期供稿
论文发表时间:2014-4-16
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