化归思想在数学解题中的运用，本文主要内容关键词为：思想论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
化归思想是一种非常重要的数学思想。它通常把待解决的问题通过一定的转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题，从而最终使原问题得到解决。本文通过实例从几个方面谈谈化归思想在解题中的运用。
1 有些问题与某个基本结论相似， 但又不完全具备基本结论的条件，这时可通过各种手段，把问题化归到具备基本结论的条件，再运用基本结论使原问题得到解决。
问题1 求函数y＝x[3]＋x[－3]的值域。
简析 利用“算术平均值不小于几何平均值”这一定理，容易得到如下基本结论：对于任意正数M，有M＋M[－1]≥2。注意到问题1 中x可正可负，不具备上面基本结论的条件，因而关键是化归到具备基本结论的条件：
化归途径1 若x＞0，则y＝x[3]＋x[－3]≥2；若x＜0，则－y＝（－x）[3]＋（－x）[－3]，
∵－x＞0，∴由基本结论得－y≥2即y≤－2，
∴值域为｛y│y≥2或y≤－2｝。
化归途径2 注意到x[3]与x[－3]互为倒数必同号，故有│y│＝│x[3]＋x[－3]│＝│x[3]│＋│x│[－3]，
∵│x│＞0，∴由基本结论知│y│≥2，
同样得值域为｛y│y≥2或y≤－2｝。
化归途径3 原函数可化为y[2]＝x[6]＋x[－6]＋2，y[2]－2＝x[6] ＋x[－6]，∵x[6]＞0，∴利用基本结论得y[2]－2≥2，即y[2]≥4，∴值域为｛y│y≥2或y≤－2｝。
3 解有些问题时，其特殊情形或标准情形易解决， 这时可设法将问题从一般情形或非标准情形化归到特殊情形或标准情形，从而使问题简化
问题6 作出函数y＝（1/2）[│log[,2]│x││]的简图。
简析 因为函数为偶函数，其图象关于y轴对称， 所以问题可归结到作函数在第一象限的函数。而当x＞0时，y＝（1/2）[│log[,2]│x││]，进而当0＜x＜1时，y＝x；当x≥1时，y＝x[－1]。这样， 问题化归到基本函数（幂函数）的作图，成图如下。
问题7 画出方程││x│－1│＋││y│－1│＝2的曲线并求出曲线所围图形的面积。
简析 ∵x反号或y反号或x、y同时反号，方程都不变，∴曲线关于y轴、x轴及原点对称，∴问题可归结到画曲线在第一象限的部分。
此时x＞0，y＞0时，原方程化为
│x－1│＋│y－1│＝2
①
下面若通过去绝对值符号化简方程①，则须讨论x、y与1 的大小，解答显得十分繁琐。因此，我们不妨来考虑方程①的标准情形
│x│＋│y│＝2
②
由于方程②的曲线仍然关于坐标轴及原点对称，且在第一象限内方程②可化为x＋y＝2，因此可十分简便地画出方程②的曲线如图2，将②的曲线分别向右、向上平移一个单位可得到①的曲线，如图3， 再将①的曲线在第一象限的部分关于y轴、x轴及原点的对称图形作出，即得原方程的曲线， 如图4。由此不难得到所求面积为4（4×4×（1/2）－2×（1/2）×1×2）＝24。
