通过“数学化教学”进行教材研发及教师培训，本文主要内容关键词为：教师培训论文,教材论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
笔者于1998年启动“数学化教学”工作，至今已有9年。“数学化教学”采用的策略，是通过具有实效的教学设计，吸引教师重新学习数学。因此，可算是教材研发和教师培训同步进行。
一、“数学化教学”的基本理念
“数学化教学”是一个改善小学数学教学的计划，基于荷兰数学教育泰斗弗赖登塔尔提出的“数学化”观点。简而言之，“数学化”就是数学认知的产生和演进过程，这过程让数学观念形成和改进，由门外汉的认识过渡到具有数学特质的认识，或是由简陋的认识进化到精密的认识。他认为数学教育对一般人的意义主要在于掌握数学化的过程，而非数学知识。
在香港课堂上见到的多是教师把数学知识介绍给学生，而不是与学生一起经历一次数学知识形成或改进的过程。课本上的材料，鉴于各种限制，也不太重视把数学知识的演进过程说得一清二楚。换言之，要让学生经历数学化过程，必须从教材设计入手。德国数学教育家维特曼早在1984年就已注意到从事教学设计、研究教学设计应居于数学教育工作的中心地位。其后更提出以“系统进化”的“设计科学”范式处理复杂的教与学的问题。在此研究范式之下，作为生命系统的学生和教师，通过自然互动力量，协同建构数学知识，重组本身的知识结构。其中设计和运用“内容丰富的学习情境”至关重要。所谓“内容丰富的学习情境”，就是具有下列特点的教材：
1.涵盖某级别的核心教学目的、内容及原理。
2.与超越目前级别的重要数学内容、过程和程序相关，而且是一个丰富的数学活动源泉。
3.具有弹性及易于调整到可用于特定课堂的教学情境。
4.在数学教学中，数学、心理学和教学等相结合，故能提供广阔的实践研究空间。
若从教师的角度诠释，上述四个条件大概可说成：(1)符合课程要求；(2)有充分的延伸性，可引领学生进行超越课程基本要求的更深层次的数学学习；(3)可适当地调整至配合不同的课堂环境；(4)提供多角度的研究机会。
笔者构思“数学化教学”的时候，深受以上两位学者的影响。在进行教学设计时，特别重视主脉络的布局。一方面追求按系统进化的思路编排学习活动，使学生体验数学化过程，上课就像上演数学连续剧，课堂活动可以环环相扣；另一方面也刻意加以延伸，让学生进行深层次的数学学习，借以开阔数学视野，增长智慧。这种取向令教学讨论的焦点由个别课时转移到一连串课时之上。除了关心前后连贯和呼应，还在意在一连串课时之后，学生的学习表现起了怎样的变化。
总而言之，推行“数学化教学”的目的是希望通过设计和营造内容丰富的学习环境，让学生有更多的机会经历数学知识由无到有、由粗浅到精深的演变过程（即数学化过程），使他们的自信心增加，并掌握数学的独特思考模式，明白数学知识的来历，能循序渐进地深化数学语言的运用。
二、一个例子：正方体展开图
香港的高小课程，只要求学生懂得“制作正方体及长方体的折纸图样”。因此，只要学生知道展开图（香港叫“折纸图样”）的意义，并且能判别一个六联方是不是正方体展开图，便算是达到了基本要求。一般学生最大的困难，在于判别一个六联方是不是正方体展开图。要解决学生正确率偏低的问题，可以请学生背诵全部11种正方体展开图，也可以从提高学生的空间想象力入手。后者显然更可取，关键是怎样做。
“数学化教学”试图把整个课题的学习重组成围绕找出全部11种正方体展开图的探究活动。为了培养学生的空间想象力，必须使能力不同的学生都参与，从低起点开始，按他们自己的能力前进。在整个形成空间观念的过程中，必定浮现借助实物拼砌的需要。因此，设计时加入了让每组学生（约四人）获取正方形塑料拼板6块。
整个课题约用3课时（每课时35分钟）：第一课时介绍展开图的意义，然后集中探讨有4个正方形连成直线的情况（6种可能，如图1）；第二课时处理有3个正方形连成直线的情况（4种可能）；第三课时找出最后一个展开图（不含3个或以上正方形连成直线的情况），做些判别正方体展开图的练习，甚至一些延伸题。
教学成效可从两方面考虑：一是教师带给学生怎样的数学经历；二是学生做到了什么。教师与学生一起排除有5个或6个正方形连成直线的可能性，然后由学生分组讨论，借助塑料拼板，找出图1的6种可能。其间教师引入一些简单记法（通过标号表示余下两块一上一下的位置），并指导学生清理重复的结果。及至讨论3个正方形连成直线的情形，教师介绍分情况讨论的技巧：剩下3块，可以按两边三上零下分，也可按两边两上一下分；包含如图2形状的图形都不可能是正方体展开图；然后找出图3的4种可能，连同图4的一种，教师总结得出的11种正方体展开图。
图1
图2
图3
图4
在整个探索过程中，可以看到学生能做下列事情：借助塑料拼板，以试误的方式（没有系统地）找到大部分正方体展开图；能演示说明找出结果的正确性；能在教师指导或同学协助下清理重复的结果；能在四个正方形连成直线的情况下，说明已找到全部6种展开图；能辨别哪些六联方是正方体展开图；能在较简单的情况下，不借助塑料拼板，运用空间想象力，找出与展开图各边连接的边。
这个教学设计已经历5年多的实践，在不同的学校，由不同的教师执教，效果相近。除了课程基本要求全部达到之外，学生也学会了一些解题策略以及如何严谨地、有秩序地探讨数学问题。因此，这个设计完全符合维特曼有关内容丰富的学习环境的要求。
三、教师的专业成长
不要说学生不懂得正方体的11种展开图，一般教师都不懂。因为在施教之前，教师要仔细研究学习整个探索和推论过程，所以他们得学习数学。有别于传统的数学课，这样的学习不以数学学理作主脉络，而是以教学单元作为主轴。教师不会感到抽象、吃力，反而觉得目标清晰、动机强烈。
参与“数学化教学”的教师，通常会经历三个阶段：第一阶段是研究学习他人的设计，着意模仿，最多只作轻微调整；正在第二阶段的教师已有一些实践经验，对数学化教学的核心思想及所追求的学习质量有初步的掌握，有能力在别人提供的主脉络（称作骨架方案）上，补回执行细节（称作执行方案）；身处第三阶段的教师已熟知实行数学化教学的技巧，能有效地对不同课题实施数学化教学。他们不仅可以设计高水平的执行方案，还可以参与骨架方案的创作，而且能评价别人的工作，给予适当的意见或指导。能到达第三阶段的，已经是可以完全独立地、有效地执行教学任务的教师。
四、结语
9年以来，数学化教学吸引了一群小学数学教师，也产生了不少像上面正方体展开图的教学设计。目前这个数学化教学团队，就是一个互相观摩学习的小团体。他们不停探讨新课题，不停进行新设计，既开发了教材，也培养了教师。