《全日制普通高级中学教科书（必修）#183;数学》第一册（上）第二章“函数”简介，本文主要内容关键词为：第二章论文,高级中学论文,教科书论文,第一册论文,函数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、《大纲》修订情况
教育部在2002年4月颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》（以下简称《大纲》），与2000年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》（以下简称《原大纲》）比较，在“教学目的”上有很大变化.《大纲》提出，“在数学教学过程中注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力”“努力培养数学思维能力，包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系建构等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断”.这些提法在《原大纲》中都是没有的.在“教学中应注意的几个问题”中，《大纲》把《原大纲》的“3.重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养”和“5.改进教学方法，正确组织练习”合并为“3.转变教学观念，改进教学方法”，并在表述上进行了重大调整.例如，改变《原大纲》强调“基础知识的教学、基本技能的训练”的做法，提出“数学教学应‘与时俱进’，重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵.揭示数学发生发展的过程，加强数学与其他学科和日常生活的关系”.《大纲》对数学教师的地位和作用、练习的作用、教学过程的内涵等也都做了重新阐释.这些变化与调整是本章修订时的指导思想.
从具体内容来看，《大纲》将《原大纲》中的“函数的奇偶性”调整到后面的“三角函数”中去，并在“教学目标”中删去了“能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程”这一要求.其他未作改变.
根据大纲的上述变化，本章教材的内容与原教材内容相比较，加强了联系实际、数学应用，在通过建立函数模型解决实际问题上也提出了更高的要求.鉴于映射内容比较抽象，在高中阶段后续的学习中应用的机会不多，因此不再作为定义函数的基础，而将映射概念作为函数概念的推广给出.为了防止学生产生“有解析式的才是函数”的错误认识，特别设了一节“函数的表示法”.
二、内容安排
（一）本章的地位
函数是数学的重要的基础概念之一.极限理论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，都是以函数作为基本概念和研究对象的.函数是刻画客观世界变化规律的重要数学模型，函数的思想方法是处理数学和其他学科、现实生活和社会中各种问题的有力武器，因此函数的知识是其他学科（如物理学）的必备基础，也是研究和解决各种问题的基础.函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义教育的好素材.函数的思想方法已经广泛地渗透到中学数学的全过程和其他学科中.
函数是中学数学的主体内容.高中的“函数”是在初中的“函数及其图象”学习的基础上展开的.高中数学中函数的基本概念、指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体.通过对这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用.后续的极限、导数等都是函数内容的延续.中学的许多数学内容都与函数内容有关.例如，方程、不等式与函数的取值问题相关；数列可以看做自变量为正整数的函数；等差数列的通项反映的点对（n，a[，n]）都分布在直线y=kx+b的图象上；等差数列的前n项和公式也可以看做关于n（n∈N[*]）的二次函数关系式；等比数列的内容也都属于指数函数类型y=Ca[λx].
函数在中学数学教材中分三个阶段安排.
第一阶段，在初中代数教科书内初步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等，并具体讨论正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，通过计算函数值、研究正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的概念和性质，使学生初步理解函数的概念，并使学生学会用描点法绘制相应的函数图象.
本章以及后续的“三角函数”（第四章）的内容是函数教学的第二阶段，这是函数概念的再认识阶段，即用集合、对应的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质，使学生获得较为系统的函数知识，并初步培养学生的函数应用意识，为今后学习打下良好的基础.第二阶段的主要内容在本章教学中完成.
第三阶段的函数教学安排在高中三年级数学选修课中.选修Ⅰ的内容是导数，选修Ⅱ的内容有极限、导数.这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，是进一步学习高等数学和其他学科需要具备的基础知识，也是解决较复杂问题的工具.
（二）本章内容要点
本章可以分为四个单元：函数概念、指数与指数函数、对数与对数函数以及函数的应用.
第一单元是函数概念，包括函数、函数的表示法、函数的单调性、反函数四节，是全章的基础.
本章的函数概念是用集合与对应的语言来表述的，是初中函数概念的进一步深化.初中学生的数学知识较少，接受能力有限，因此适于用变量之间的对应（一个变量随着另一个变量的变化而变化）来描述函数定义.随着学生年龄的增长，接受能力的提高，函数知识的积累（学习了较多的函数实例），在高中阶段将函数的定义叙述为如下形式是合适的：
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素f（x）与之对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作
y=f（x），x∈A.
这个定义实质上用的是“映射”的语言，只是没有用“映射”二字罢了.这个定义与初中的函数定义在实质上是一致的.两个定义中的定义域和值域的意义相同，对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同.另外，由于引进了函数符号，高中的函数定义把元素之间的对应关系表述得更加清楚了，但抽象程度更高了.
与以往教材相比，映射的处理有较大变化.过去把映射安排在集合的基本概念之后，作为两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念，其主要目的是为了给函数下定义.现在，为了降低映射概念学习的难度，在讲完函数概念后，将它作为函数概念的推广，而在教学要求上作了一定的控制.
函数的表示法共有三种，解析法、列表法和图象法.函数的各种表示法及不同表示法之间的相互转换是理解函数概念的重要途径.在函数表示法中，以解析式表示为主要形式，但是，现实生活以及其他学科的学习和研究中，列表法和图象法的应用也非常广泛.因此通过社会实践及其他学科中的实际问题，使学生体会函数的三种表示法各自的特点，认识列表法与图象法也是表示函数的重要方法，并能根据具体问题的需要，对表示法作出选择.另外，还能进行函数的不同表示法之间的相互转换，这些都应该成为函数学习的内容.
函数的单调性是函数的重要性质之一，中学数学教材中研究的函数性质主要有单调性、奇偶性、周期性以及连续性等.本章研究的单调性以函数图象为载体，通过观察函数图象增减变化的特性，在感性认识的基础上给出一般的定义，作为代数方面证明的开始和基础.周期性和奇偶性是结合三角函数内容讲授的，连续性安排在函数极限之后学习.教材做这样的处理，一是为了分散难点，二是利用具体函数的相关特点（例如指数函数、对数函数在R上的单调性，而周期性、奇偶性是三角函数的重要性质等）学习函数性质，这样可以使函数性质的学习和应用紧密结合起来，既能加深对相应性质的理解，又能激发学生的学习兴趣.
反函数也是函数，因为它符合函数的定义.中学不讲逆映射，所以只能以变量及对应关系来说明反函数的含义.高中学生接触的函数内容以解析式表示的函数为主，因此求反函数主要借助初中学习的方程知识来解决.由于函数与反函数的图象间的关系能够得到非常直观的反映，学生可以通过观察具体函数的图象自己得出结论.
第二单元是指数与指数函数.指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛.它是在本章学习完函数概念和函数的单调性之后第一个较为系统地研究的初等函数.
为了学习指数函数，必须将初中学过的指数概念进行扩展.初中代数中学习了正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质.本章在此基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质.在分数指数幂概念之后，教科书中注明“若a＞0，p是一个无理数，则a[p]表示一个确定的实数”.为高中三年级选修课学习导数做准备.
指数函数的概念从实际问题引入，这样既说明指数函数的概念来源于客观实际，使学生认识学习指数函数的必要性，也便于学生理解指数函数的产生过程和定义的合理性.函数图象是研究函数性质的直观工具.指数函数的性质是通过观察图象归纳出来的，这样可以使学生学习数形结合的方法，有利于理解和掌握函数的性质，也有利于培养观察能力.借助图象直观是中学阶段研究函数性质的重要方法.本节安排了图象平行移动的例题，主要是为了给学生一个用代数方法表示函数图象变化规律的示范，使学生体会如何提出与函数相关的问题，学习研究函数性质的方法，掌握数形结合、数形转换的方法.
第三单元是对数与对数函数.16、17世纪之交，为了满足天文、航海、工程、贸易以及军事的发展需要，改进数字计算方法成了当务之急.对数就是在这种简化复杂的数字运算的过程中发明的.对数的发明是数学史上的重大事件.关于对数的发明，本章的阅读材料有较为详细的叙述.今天，随着计算机的广泛使用，作为一种计算工具的对数计算尺、对数表都不再重要了，但是，对数的思想方法却仍然具有生命力，对数函数的应用仍然非常广泛，因此，对数的学习仍然是必要的.
对数的定义和运算性质的学习目的主要是为学习对数函数做准备.对数概念是在指数概念的基础上定义的.在保证对数函数学习需要的前提下，教材对对数定义做了简化处理：从实际计算需要引出对数定义log[，a]N=b（a＞0，a≠1）后，给出常用对数和自然对数.
对数函数是指数函数的反函数.教科书从指数函数中的问题的反问题“细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞”引入对数函数；根据互为反函数的两个函数的关系，给出对数函数的定义；又根据互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称画出对数函数的图象，并研究得出相应的性质.教材紧扣对数函数是指数函数的反函数这个本质联系来展开对数函数的概念、图象和性质，目的是使学生能够借助已有知识，通过自己的探索、思考和推理，获得对数函数的知识.另一方面，通过应用已有的互为反函数的函数图象之间的关系以及指数函数的知识，通过观察、比较、归纳、推理等思维活动，在学习新知识的过程中可以加深和巩固已有知识，提高数学能力.
第四单元是函数的应用，包括函数的应用举例和实习作业，这是全章知识的综合运用.
“函数的应用举例”一节共选了三个例题：
例1是增长率计算的问题.例题中给出的公式
y=N（1+p）[x]
在涉及增长率的实际问题中具有非常广泛的应用.例如复利、人口增长率、国内生产总值增长率以及日常生活中的销售利润等各种计算问题都要用这个公式.
例2是物理方面的问题，这是给出函数关系式，根据题中的已知条件确定参数的问题.这类问题涉及方程组的知识和比较复杂的计算.
例3是一个与真实情境比较接近的实际问题.较为完整的函数建模过程是：提出问题——搜集数据——整理、分析数据——建立函数模型——解决问题.本例没有涉及前两个步骤.这个问题的综合性较强，难度也较大.另外，画出散点图，观察散点图的形状，通过猜想、试验选择函数模型，是本例题要完成的非常重要的工作.当前，数学应用问题受到重视，数学建模能力的培养被提到比较重要的地位，这是数学教学中培养学生创新精神与实践能力的需要.因此，给学生提供具有真实背景的实际问题，让学生经历建立函数模型解决实际问题的比较完整的过程，是时代发展对数学教学提出的新要求.在培养学生数学应用能力的做法上，过去往往把它分成几个阶段：给出实际背景及函数模型；将实际问题抽象成数学问题，建立函数关系式；通过观察、实验建立函数关系；完整的函数建模过程；等等.显然，现在的做法比过去要求提高了.
在解决实际问题过程中，观察、猜想、分析、推理、判断、证明、反思等数学思维能力的培养是重点，而复杂数字运算可以让计算器（机）来完成，这也是训练学生信息技术操作技能，培养学生利用信息技术学习数学、解决问题能力的需要.
函数的应用是极其广泛的，这里只通过几个例题予以说明.应用意识的培养和应用能力的提高是高中数学教学培养能力的总的目的之一，应该贯穿于数学教学的全过程.
《大纲》认为，实习作业是培养创新意识和实践能力的重要载体，通过实习作业的教学，要使学生“接触自然，了解社会，能用数学知识和思想方法解决简单的实际问题，提高数学建模能力”.实习作业是数学学习的重要内容，在课程改革的大背景下，在大力提倡改进学生学习方式、加强创新精神与实践能力培养的要求下，更有着重要现实意义.
本节实习作业首先介绍了函数作为描述变量间依赖关系的数学模式，在刻画现实问题中具有广泛的应用.小到一个人的成长过程，大到一个国家的人口增长，小到一架飞机的飞行路线，大到天体的运行轨迹，小到冰块的温度变化过程，大到全球温度的变暖等，都可以利用函数进行刻画和研究.这里的目的是为了使学生感受函数应用的广泛性.接着，以人口问题的研究为线索，描述了“建立实际问题函数模型”的基本过程：
提出问题——收集数据——描述数据——分析数据——建立拟合函数——解释问题，预测变化趋势等.在此基础上，以“冰块融化为水的函数模型”为题，要求学生实施函数建模过程，并写出研究报告，在全班进行交流.
影响冰块融化的因素是很多的，例如，冰块的原始温度、冰块的质量、室温、室内空气流通状况等.在具体实践之前，可先引导学生对“影响冰块融化的主要因素有哪些”做一个讨论，并要求学生思考一下为什么可以只考虑时间的因素.在实际操作中，学生可能会遇到一些困难，例如，如何随时测量水的质量、间隔多长时间记录一次水的质量，甚至是如何得到冰块等.教学过程中对这些困难应当有较充分的估计，并要及时对学生进行指导.
三、本章编写过程中思考的几个问题
（一）注重打好基础
函数是数学的基本概念之一，本章又是函数的基础.因此，本章注意保留和吸收现行教材重视基础知识学习的优点.如表述函数概念时，先引导学生回顾初中已学过的函数概念，分析已学过的函数概念在解决一些具体函数问题时存在的不足，从而引发学生学习新的函数概念的需要，再用集合的语言，引入抽象的函数符号刻画函数概念.这样既能激发学生继续学习函数知识的兴趣，又使学生在已有知识经验的基础上提高对函概念的理解水平.为了巩固函数概念，教科书举了较多的例题，包括理解函数符号、求函数的定义域、求函数值、求函数解析式（包括离散的和分段函数）、建立函数模型的简单问题等，并特别注意叙述详细，书写规范，以利于学生从不同角度理解函数概念，把握函数概念的本质，扎实、系统地掌握函数这一重要的数学基础知识.
为了有利于学生掌握函数概念，本章特别注意让学生经历函数概念的发生发展过程.首先说明函数概念的发生过程，然后归纳、概括函数的定义，并及时用实例进行说明或推导.本章使用了大量实际的例子，内容不仅涉及数学内部，而且涉及经济、社会生活、环境以及其他相关学科，其目的就是使学生在学习数学知识的过程中深刻理解函数概念的本质，牢固掌握函数知识.例如，指数函数这一节，先从某种细胞分裂的实际问题引导学生观察变化规律，归纳概括出指数函数概念，然后用描点法画出指数函数的图象，再观察图象的变化规律，从中归纳出指数函数的性质，最后通过举例体会和掌握指数函数的应用.
（二）强调联系实际
理论联系实际是编写教材的一条重要原则，培养学生用数学的意识，提高分析问题和解决实际问题的能力是中学数学的教学目的之一.本章同其他各章一样，遵循这样的原则，注重培养学生用数学的意识.特别需要指出的是，由于函数是描述客观现实变化规律的基本数学模型，教材特别注意了指数函数、对数函数等与现实世界的紧密联系性，使学生有机会接触相关的问题，以培养应用函数模型解决现实问题的能力.
教科书十分注重利用实际问题帮助学生学习函数知识.例如，讲函数概念时用了贴近实际生活的营销问题、国内生产总值问题、人口出生率问题、邮资问题、喷水池问题等；从学生在物理课中学过的匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即从s=vt与t=s/v（其中速度v不变）的关系，引出反函数的概念；从细胞分裂问题引出指数概念；从细胞分裂的“反问题”引入对数；为了突出联系实际，特设“函数的应用举例”和“实习作业”，从几个方面、不同层次说明函数知识的应用.阅读材料“对数的发明”“自由落体运动的数学模型
等内容都是为培养学生用数学的意识而精选和安排的实例.
（三）注意培养学生的思维能力
思维能力是各种能力的核心，它不仅仅是学习数学和学习其他学科所必须具备的能力，也是日常生活中不可缺少的能力.教科书采取了多种手段加强对学生思维能力的培养.例如通过在例题中加“旁注”，着重说明解答问题的方法，使学生不仅知道应该怎样做，还知道为什么这样做.如比较1.7[0.3]与0.9[3.1]的大小时，说明为什么要在两个值中间插入值1的道理.又如在求函数定义域的例题后，通过总结解题规律，得出几种情况，引导学生思考解决各种情况都应当采用的方法，使例题真正起到示范的作用.这样不仅使学生学会解答这道题，而且还使学生举一反三，能够运用所学到的方法解决类似的问题.
四、教学中应该注意的问题
（一）注意与初中内容的衔接
函数这章内容是初高中数学最近的结合点.如果初中代数中的相关内容没有学好或遗忘过多，学习本章就有障碍.本章很多内容都是初中内容的继续和延伸，因此教师应当引导学生认真复习相关知识.如函数概念，在学习之前，应复习好初中函数及其图象的主要内容，包括函数的概念、函数图象的描绘，一次函数、二次函数的性质等；又如指数概念的扩充，如果没有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识，有理数指数幂就无法给出，运算性质也是如此.因此在本章教学中要注意与初中所学的有关内容的联系，做好初、高中数学的衔接和过渡工作.
（二）注意数形结合
本章内容中图象占有相当大的比重，函数图象对于研究函数的性质起到很重要的作用.通过观察函数图象的变化趋势，可以总结出函数的性质.本章的函数单调性就是观察函数图象的变化趋势而总结得出的.函数与反函数的函数图象的关系也是通过观察图象变化特点归纳出来的.指数函数的性质、对数函数的性质本身就是由函数图象给出的.函数应用中，散点图对于猜想、归纳出函数模型是非常重要的.所以在本章教学中要特别注意利用函数图象，使学生不仅能从图象观察得到相应的性质，同时在研究性质时也要有用函数图象来印证的思维方式.在教学过程中要注意训练学生绘制某些简单函数图象的技能，记住某些常见的函数图象的草图，养成利用函数图象来说明函数的性质和分析问题的习惯.
（三）注意与其他章内容的联系
本章是在集合与简易逻辑之后学习的，集合与对应概念本身就属于集合的知识，因此要经常联系前一章的内容来学习本章.如求二次函数的定义域以及值域的表示与一元二次不等式解集的表示直接相关.简易逻辑中的充要条件在本章中也要用到.同样，本章学到的知识在后续内容的学习中经常要用，实际上，函数知识在整个高中数学中具有中心地位.因此，要注意与其他章节的联系，也要注意联系物理、化学等其他学科的知识.
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