中学生分式加减与乘除运算错误研究，本文主要内容关键词为：乘除论文,分式论文,中学生论文,加减论文,错误论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
自1925年美国学者Buswell和Judd[1]对学生算术错误的诊断研究以来，国内外学者对数学错误进行相关研究已有很长的历史了.学生的错误大致可分为“一般性错误”和“非一般性错误”.所谓“一般性错误”是指学生在基本运算法则的运用和计算方面出现了偶尔的失误，事后这些学生一般都能发觉自己错在哪里和为什么错了，并能自己订正.而“非一般性错误”是指学生的错误虽然从形式上来看，与“一般性错误”并没有太大的区别，但是通过与这些学生进行交流，就会发现他们一般都有一个支撑自己错误的“理由”.而且，在导致那些错误产生的内外要素出现时，他们还会继续反复地犯同样的错误.学生出现的这类错误叫做“非一般性错误”，数学错误研究就是专指对此类错误的分析和研究.数学错误研究的范式经历了从行为主义、认知主义到建构主义等学习理论为导向的研究思路.由于学生数学错误的普遍性、长期性、复杂性和多样性等特点，研究者要找到一种包罗万象的、全面的研究模式是不可能的，因此，对数学错误的研究就要寻找一个合适的切入点.目前，国内外针对数学错误分析研究的视角主要包括以下4个方面，即：基于社会一文化视角、基于学习心理学视角、基于数学教学视角和基于解题视角[2].从对国内外数学错误研究的内容来看，概念学习错误方面的研究要多于数学运算错误方面的研究：从错误归因方面的研究来看对主观因素（如：认知水平、知识背景等）方面的研究要多于客观因素（如：教师的教、教材等）或主客观交互影响方面的研究；从研究的方法来看，经验研究范式多于实证研究范式，研究拟对中学生在分式运算中产生的错误，基于学习心理学的视角从学生的认知水平和学校教学材料呈现的不同次序对学生学习的影响方面进行实证研究，以期引领中学教师提高数学错误的分析能力.
研究中随机抽取了318位参加2011年南京市数学中考的考生答卷，运用Mattair的“错误模式分析”（Error Pattern Analysis）方法[3]，对学生解答分式运算题：
的错误进行了归类和统计，发现有约占15%的学生出现“非一般性错误”.现对此类错误中的“乘除法约分型错误”和“去分母型错误”进行研究.
1.乘除法约分型错误
类型一：有的学生在进行分式的乘除法运算时，约分后把分子和分母又交叉相乘并把结果写在分式的分母（或分子）上，例如：
此类错误约占被试错误学生总数的46.67%.
类型二：有的学生还会同时出现两种不同的约分错误，例如：
此类错误约占被试错误学生总数的2.22%.
错误类型一和二是在学生进行乘、除法约分运算时出现的错误，这类错误叫做“乘除法约分型错误”，此类错误的比例约占被试错误学生总数的48.89%，其中错误类型一，即约分后又交叉相乘类的错误约占46.67%，属于“高发型”错误.
2.去分母型错误
类型三：此类错误通常出现在学生进行分式加减法运算已经正确地找到公分母后发生，如：
另外，有的学生还写出了详细的过程：
这类错误的主要特点是“去分母”.此类错误约占错误学生总数的28.89%.
类型四：如：
等，这类错误的主要特点是学生进行加减法运算时，在两个分式的分子和分母中只要出现相同或部分相同的代数式就会“约去”这些相同的代数因式，类似于去分母，错误类型三和四即为“去分母型错误”.此类错误约占错误学生总数的15.56%，
上面的错误类型一、二、三和四所占比例之高已经出乎教师们的想象.在阅卷结束后同教师的访谈中，听一位教师说：他在教学分式运算的过程中，学生出现错误的比例要远远低于这个比例，而且他任教的班级还主要是由中等认知水平的学生组成的.通过进一步了解发现，这位老师在教学中除了颠倒了教材原来的教学顺序外（即先教分式的乘除法后教分式的加减法），并没有使用其他特殊的方法，这个信息引起了研究者的注意.为此，对国内不同版本的初中数学教材进行了研究，发现这些教材在编撰分式这一部分教学内容时，前半部分一般是相同的，即先安排分式的概念和分式的基本性质，但后半部分的编排则略有差异，即有的教材是先讲分式的乘除法运算，然后再讲加减法运算；但也有的教材则是先讲分式的加减法运算，然后再是分式的乘除法运算.当然，导致学生出现上述分式混合运算错误的原因应该是多方面的，但教学内容呈现的次序对学生学习的负迁移是否也是导致学生产生错误的原因呢？
二、研究对象和方法及过程
1.研究对象
在南京市建邺区8所初级中学的49个八年级教学班级中挑选出480名学生作为研究对象，并按第一学期期末成绩的平均分，把他们平均分成高、低两个不同认知水平组共8个教学实验班级.具体的做法是：设全区49个班级的平均分为
，标准差为S，把班级平均分不小于+S的班级划分为高认知水平组，把班级平均分不大于-S的班级划分为低认知水平组.其中高认知水平组和低认知水平组各有8个班级，再在这两个组中按照平均分接近原则，每两个班级编成一对实验组和控制组，分别用字母S和K代表实验班和控制班，用数字1、2、3和4分别表示班级序号，例如：S1班代表实验1班，K2代表控制2班等.
2.研究方法和过程
首先，经过分析研究，对学生产生的上述几类高频错误归因提出了如下的理论假设：（1）分式加减法运算对乘除法运算存在顺向迁移（负迁移），学生出现“乘除法约分错误”就是这种迁移的主要表现形式；（2）分式乘除法运算对加减法运算存在逆向迁移（负迁移），学生出现“去分母型错误”就是这种迁移的主要形式；（3）学生认知水平的高低与其在分式运算中出现迁移的程度呈反比，具体地说，认知水平较高的学生出现迁移的程度要小，认知水平较低的学生出现迁移的程度要大.
然后，采用“等组法学习迁移实验方法”[4]对其进行教学实验和实证研究并最终形成结论.所有的教学实验和统计分析都在这样分成的高、低两个认知水平组中同时进行.以下仅对在低认知水平组中进行的教学实验和统计分析作详细的说明（高认知水平组采用完全相同的实验和统计处理方法）.
整个教学实验和统计分析按表1和表2分成4部分.第一部分在S1和K1两班进行，主要研究分式加减法运算对乘除法运算是否存在顺向迁移.具体的做法是：先在S1班中，安排一个课时的时间学习分式加减法运算，在K1班中，安排其他与分式运算无关的学习活动.然后在S1、K1两班中，同时安排两个课时的时间学习分式乘除法运算，学习结束后的第二天对这两个班就分式的乘除法运算进行5分钟的闭卷测试，测试包含两道主观测试题：
第二部分是在S2和K2两班进行，主要研究分式加减法运算是否对乘除法存在逆向迁移.具体的做法是：先在S2和K2两班中，同时安排两个课时的时间学习分式乘除法运算，然后在K2班中，安排其他与分式运算无关的学习活动，但在S2班中安排一个课时的时间学习分式的加减法运算，学习结束后的第二天对这两个班就分式的乘除法运算进行测试，测试问题与第一部分相同.第三部分是在S3和K3两班进行，主要研究分式乘除法运算是否对加减法运算存在顺向迁移.具体做法是：先在S3班中，安排两个课时的时间学习分式乘除法运算，在K3班中，安排其他与分式运算无关的学习活动，然后在S3、K3两班中，同时安排一个课时的时间学习分式的加减法运算，学习结束后的第二天对这两个班级就分式的加减法运算进行5分钟的闭卷测试，测试题包含一道主观测试题：
.第四部分是在S4和K4两班进行，主要研究分式乘除法运算对加减法是否存在逆向迁移.具体做法是：先在S4和K4两班中，同时安排一个课时的时间学习分式加减法运算.然后在K4班中，安排其他与分式运算无关的学习活动，但在S4班中安排两个课时的时间学习分式的乘除法运算，学习结束后的第二天对这两个班就分式的加减法运算进行5分钟的闭卷测试，测试题与第三部分相同.
3.关于实验和统计处理的几点说明
（1）关于迁移是否发生的行为界定
通过分析和访谈，可以发现有如下几类运算错误主要是由分式加减法运算对乘除法运算的负迁移引起的.第一类是“乘除法约分型错误”中的类型一、二，依据是由于这两类错误都有一个共同的特点，那就是在进行分式乘除法运算时，对两个分式约分后都要把分别位于这两个分式中的分子和分母相乘再写在同一个分式的分子或分母上.导致这种做法的深层原因多半是由于学生在做与
类似的分式加减法运算时，首先要进行通分引起的.因为学生在没有完全理解通分运算实质的背景下，反复进行这样的通分运算时，很容易让他们觉得分式的加减运算就是把b和c、a和d交叉相乘后再相加，从而形成定势并在分式的乘除法中“泛化”.因此，“乘除法约分型错误”中的类型一、二是由分式加减法运算对乘除运算的负迁移引起的主要错误类型之一.第二类是在进行乘除法运算时，直接将两个分式先“通分”然后再约分，如：
等.在运算过程中，学生如果出现了以上两种类型中的任何一种情况，就认定该被试分式加减法运算对乘除法运算产生了负迁移.
另一方面，分式乘除法运算对加减法运算的负迁移主要体现在以下两方面，即：“去分母型错误”中的类型三和类型四.关于这一点需要给予补充说明，一般认为学生在进行分式的混合运算时发生去分母的错误主要应该归咎于学生对等式基本性质的理解出了问题，而不应该指向分式乘除法运算对加减法的负迁移.但事实上，这种错误的发生多数都是以约分为“诱因”的.通过访谈发现，这些学生把
都看成是约分的结果，而且他们还认为上面两式都是正确的.而“去分母型错误”中的类型四，则是最常见的分式乘除法对加减法运算的负迁移.因此，在测试中只要被试出现上述类型三、四中的任何一种，就认为该被试分式的乘除法运算对加减法运算产生了负迁移.
（2）测试卷的信度和效度
考虑到测试卷主要是用来测试被试在学习分式中的迁移是否发生，因此，采用“重测法”测试其信度.即采用包含实验所用测试卷中所有测试题的试卷对同一班级的42位学生进行两次测试，时间间隔为一个星期，在此期间未对学生进行任何教学和暗示.每次测试后，对学生答题中每出现一次迁移现象（按上述判断迁移是否发生的界定为标准）就记“1”分，若迁移没有发生，则记“0”分，整份试卷采用累计积分.最后，对这样获得的两组分数计算其Spearman积差相关系数，结果为为0.734，说明用此测试题来测试被试的学习迁移具有较高的信度.
测试卷在编拟问题的过程中广泛征求了一线有经验的教师、教研员和学科专家的意见，较好地保证了测试卷的表面效度和内容效度.筛选了32位在平时学习中曾出现过相关迁移现象的被试，再用上述测试题进行测试，结果出现同类型迁移现象的人数达到27人，占84.38%，说明测试卷具有较好的效度.
（3）实验数据的量化与统计处理方法和实验教学教材
在进行数据统计处理时，规定：当被试在测试中出现迁移时，该被试对应的成绩就标记为“1”，否则，标记为“0”.考虑到被试总体数量均大于10，而且总体分布并不明确，故选用独立样本非参数检验的“秩和检验法”——Mann-Whitney Test（即：曼—惠特尼U检验）以验证这两个样本之间是否存在显著性差异.所有实验数据均使用统计软件SPSS 16.0处理.
研究均使用苏科版全日制义务教育《数学》[5]教材八年级下册第八章“分式”作为教学材料.每一教学内容的授课时间均按照教学参考资料建议的时间.在教学实验开始前，学生已经学习了分式的概念和分式的基本性质等基础内容.教学实验均尽量减少人为因素干扰，选用教学年限、教学经验和水平相近的教师执教，尤其是对处于同一部分教学实验中的控制组和实验组，如S1和K1等班级必须选用同一名教师执教，并统一使用相同的教学资源和课外作业.
三、实验数据及分析结果
1.低认知水平组分式加减法运算对乘除法的顺向和逆向迁移研究
下页表3和表4列出了低认知水平组学生中，分式加减法运算对乘除法运算的顺向迁移实验分析数据.分析结果表明：实验组S1与控制组K1在曼—惠特尼U检验（Mann-Whitney Test）中，Z值为-1.981落在-1.96至1.96区间外，表明两个独立样本在0.05水平上的有显著性差异（双侧），即低认知水平组学生中，分式加减法运算对乘除法运算有显著的顺向迁移（负迁移）.
下页表5和表6列出了低认知水平组学生中，分式加减法运算对乘除法运算的逆向迁移实验分析数据，分析结果表明：实验组S2与控制组K2在曼—惠特尼U检验（Mann-Whitney Test）中，Z值为-1.484落在-1.96至1.96区间内，表明两个独立样本没有显著性差异（双侧），即低认知水平组学生中，分式加减法运算对乘除法运算没有显著的逆向迁移（负迁移）.
2.低认知水平组分式乘除法运算对加减法的顺向和逆向迁移研究
表7和表8列出了低认知水平组学生中，分式的乘除法运算对加减法运算的顺向迁移实验分析数据，分析结果表明：实验组S3与控制组K3在曼—惠特尼U检验（Mann-Whitney Test）中，Z值为-1.598落在-1.96至1.96区间内，表明两个独立样本没有显著性差异（双侧），即低认知水平组学生中，分式的乘除法运算对加减法运算没有显著的顺向迁移.
表9和表10列出了低认知水平组学生中，分式乘除法运算对加减法运算的逆向迁移实验分析数据.分析结果表明：实验组S4与控制组K4在曼—惠特尼U检验（Mann-Whitney Test）中，Z值为-2.039落在-1.96至1.96区间外，表明两个独立样本在0.05水平上的有显著性差异（双侧），即低认知水平组学生中，分式乘除法运算对加减法运算有显著的逆向迁移（负迁移）.
3.高认知水平组分式乘除法运算对加减法的顺向和逆向迁移研究以及分式加减法运算对乘除法的顺向和逆向研究
在高认知水平组8个实验班和控制班中进行了同样的教学实验和数据统计分析，结果表明：所有的实验组和控制组在曼—惠特尼U检验（Mann-Whitney Test）中两个独立样本均没有显著性差异，即：在高认知水平学生中，分式的加减法运算对乘除法运算以及分式的乘除法运算对加减法运算之间均没有明显的顺向或逆向迁移.限于篇幅，不再列出这一部分的统计分析数据.
四、主要结论及教学建议
中学生在分式学习中，出现运算错误的原因是多方面的，不但与学生自身的认知水平、学习基础及学习状态等因素有关，还与学生学习分式相关运算法则的先后次序有关.具体地说，在低认知水平组学生中，分式加减法运算对乘除法运算有显著的顺向迁移（负迁移）；分式乘除法运算对加减法运算有显著的逆向迁移（负迁移）；但是，分式加减法运算对乘除法运算的逆向迁移（负迁移）和分式的乘除法运算对加减法运算的顺向迁移都不明显.
分式的加减法运算对乘除法运算以及分式的乘除法运算对加减法运算均存在着显著的顺向或逆向迁移（负迁移），但分式的加减法运算对乘除法运算以及分式的乘除法运算对加减法运算之间并不存在显著的逆向和顺向迁移.这一点是完全符合J.R.Anderson的“产生式迁移理论”的.分式加减法运算法则和乘除法运算法则的学习产生相互迁移的主要原因是这两项技能之间产生式的重叠，而且这种重叠越多，迁移量就越大，所以分式的加减和乘除这两种运算法则之间就恰恰是极容易产生迁移的.但由于分式加减法运算和乘除法运算的学习时间分别为一个课时和两个课时，同分式的加减法运算比较起来，乘除法运算已经算是过渡学习了，并且分式的加减法运算要远比乘除法运算复杂，当个体学习的知识还处于不稳定和不清晰状态时，具有较大的产生式重叠的邻近的新学习就极易产生彼此间的迁移.
在高认知水平组学生中，分式加减法运算和乘除法运算之间的顺向和逆向迁移都不明显.而且实验还表明被试认知水平的高低与发生相关迁移的程度大小有关.具体地说，被试认知水平愈高则发生上述迁移的程度就愈小，反之则愈大.
考虑到上述因素，建议中学数学教科书编撰“分式”这一部分教学内容时，将分式的乘除法运算安排在加减法运算之前.并且根据学生的学力水平适当增加分式的加减法运算的学习时间，以减少由于不同知识内容的学习次序和学生对某一运算法则的不稳定和不清晰等因素对较低认知水平的学生在学习中产生的顺向或逆向负迁移，提高教材的使用效率.同时，中学数学教师在教学中也要具有一定的课程资源意识，即使有的教材并不是按照如上的编辑顺序和教学时间，为了提高学生的学习效率也可以进行适当地调整.
致谢：感谢南京市建邺区属初级中学的部分数学老师，特别是南京师范大学附属中学新城初级中学的杨虹霞、宋伟军老师和南京市南湖第一中学的陈芳老师对本研究给予的大力支持.