摘要：在高等数学教学中，进行有效的数学思想教学意义重大。论文立足教学内容，找准知识和思想方法的结合点，分析高等数学中的几种数学思想：知识系统化思想、函数思想、化归思想、类比思想、辨证思想、数形结合思想、构造思想，为课程的教与学提供了一定的参考。
关键词：高等数学；数学思想；教学内容
在高等数学的课程教学中，仍然存在形式主义的弊端，重点关注纯数学知识与技能的传授，而忽视了对蕴含在其中的数学思想方法的教学。数学思想方法产生数学知识，而数学知识又蕴含着数学思想，二者相辅相成，密不可分，辩证统一。学习了数学思想方法亦能理解和掌握数学知识,无论是教还是学，能不能紧紧抓住高等数学课程的基本数学思想，用这些数学思想为框架，构建知识结构显得至关重要。“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地地发生作用，使他们终生受益。”在有限的课堂教学中，将数学思想方法渗透进数学知识教学内，让学生具备高等数学的思想方法，形成策略，提升数学素养，让学生的学习更加宽泛，增强通过数学思想方法分析研究解决实际问题的能力，将会在他们的学习过程中如虎添翼,有利于学生的可持续发展，并为日后工作的开展奠定下良好的基础,服务于终身学习。
1.知识系统化思想
高等数学中，各个知识点之间是相互联系，相辅相成的。在教学中，引导学生分析知识点间的内在关系，理清高等数学课程的知识脉络，有助于学生将零散的知识点优化整合成一个系统，从整体上把握高等数学的知识结构，并进行知识的综合运用。
2.函数思想
函数概念和函数思想的提出和运用，使得变量数学诞生了，常量数学发展到变量数学，数学思想起了决定性作用。高等数学的核心内容是微积分，而函数是微积分的主要研究对象,函数思想贯穿于高等数学教学。在运用微积分解决实际问题时，首先是从实际问题中抽象出变量与变量之间的函数关系,化静为动，化离散为连续，将所讨论的问题转化为函数的问题加以解决，从更一般的角度来解决特殊问题。在高等数学中主要讨论的连续性、可微性、可积性等解析性质，都需要找出对应的函数。
3.化归思想
高等数学中许多重要的发现都是靠化归取得的，化归思想是高等数学中最基本的行之有效的方法。化归思想，简单来说就是将一个问题由难化易，由繁化简。化归思想，不仅是一种数学思想，也是一种解决问题的数学方法。在高等数学课程教学中，掌握化归思想，可以让我们在理解和解决问题时，抓住其数学本质，找到数学问题和数学知识之间的相互联系，从而将复杂的问题，转化到已知数学知识的理解和应用上。即化陌生为熟悉，化复杂为简单，化未知为已知，化整为零。在许多知识的学习中，常常需要用换元、数形转化、一般与特殊之间的转化,比如求未定式 的极限，可通过恒等变形，化归为 型用洛必达法则进行计算。在求解高阶微分方程时，对于可降阶的微分方程可通过换元降阶化归为一阶微分方程进行求解,对于重积分和线面积分可通过降维化归为定积分来计算。而定积分通过牛顿莱布尼兹公式可化归为求原函数及其在积分上下限出的增量。
4.类比思想
类比思想，就是由已知的两类事物所具有的某些相似性质，从而推断出他们在其他的性质可能也相似的推理思想，即从特殊到特殊的推理思想。在高等数学课程中，可以用到类比思想的内容非常多,将新内容与已知的熟悉的内容进行类比，不但易于接受理解掌握新知识，更重要的是能锻炼类比思维，有利于创造力的开发与培养。
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著名数学家、教育学家波利亚曾言“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往依赖于平面几何中的类比问题”，比如空间中两点间的距离类比平面中两点间的距离，空间中的平面、曲面方程类比平面中的直线、曲线方程,多元函数微分学理论是一元函数微分学理论的推广与发展。因此教学中可类比一元函数中的相应概念、性质、理论、方法，会起到事半功倍的作用。多元函数积分学教学中，二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分可与定积分进行类比，包括几何(物理 )引例、定义、性质、计算方法、几何（物理）意义、几何（物理）应用等,还可以将格林公式、高斯公式、斯托克斯公式与牛顿-莱布尼兹公式进行类比。
5.辩证思想
常见的辨证思想方法有：直与曲，常量与变量，连续与间断，有限与无限，抽象与具体，局部与整体等。在高等数学中，利用直与曲的这种中介状态，实现局部范围内的“以直代曲”，是高等数学中的一种基本的辨证思想方法。比如求积分的四大步：第一步化整为零；第二步以直代曲，在无限细分的条件下实现了局部的以直代曲；第三步积零为整，有限和近似代替整体；第四步取极限，消除误差的方法就是有限和求极限,局部的直经过无限累加又反过来转化为整体的曲，处处彰显着辩证思想。再比如，由于连续和间断带来函数性质的显著差异，为了研究不连续的性态，需要对间断点进行分类,为了解决连续和间断差异性所引起的矛盾，对于可去间断点，可采用补充或者修改定义的方式使其连续,有时候我们也需要连续与间断的互相转化，如利用定积分的定义求n项和数列的极限。
6.数形结合思想
通过几何图形来直观的理解概念和进行定理的证明，是高等数学中的常用方法。在导数与微分的概念教学中，讨论了导数与微分的几何意义，有助于对概念的理解,向量代数与空间解析几何是多元函数微积分的基础，“数”和“形”是这一部分内容中两个最最基本的研究对象，大致将“数”理解成“代数”，将“形”理解成“几何”，所以“数形结合”就是“代数和几何的结合”，所谓数形结合，就是利用向量与坐标建立空间形式 (曲线与曲面) 与方程 (组) 间的对应,然后通过对方程 (组) 代数性质的研究,将相关的代数式转化为几何语言,实现研究图形性质和形状的目的。
7.构造思想
构造思想是高等数学的主要思想之一,是指在解决问题的过程中，根据问题的条件和结论或者问题的性质和特点，构造出一个与研究对象有关的辅助模型，然后通过对这个模型的研究实现原问题解决的思想方法。构造是一种重要而灵活的思维方式，没有固定的模式,构造思想在高等数学中有着广泛的应用。比如利用函数的单调性、凹凸性、微分中值定理、积分中指定理来证明等式、不等式、方程有根等问题时，构造辅助函数往往成为解决问题的关键。在计算定积分时，如果被积函数是两个函数乘积形式，其中一个函数可以写成积分形式，则可以构造出辅助二重积分，再通过交换积分次序，便可顺利计算出积分。若高等数学中命题是判断具有特定性质的数学对象，我们可以尝试构造出结论中的数学对象。对于一些命题，如果题设中含有潜在的假设，在一般情况下似乎成立，但个别特殊、极端情况下结论不成立，则可以构造反例即特殊、极端情形，来说明判断的不充分性。
通过不断深入研究，从具体的高等数学知识中挖掘和提炼出数学思想方法，有目的、有计划的进行高等数学思想方法的教学，不仅能促进教学方式的优化，有助于多维课程教学目标的实现，也助力于课程教学效果的提高。
参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学第七版[M].高等教育出版社.2014
[2]王霞,夏国坤.高等数学中的思想方法的范例教学[J].大学数学.2013
[3]许文丁.高等数学中的数学思想[J].当代青年.2015.
论文作者:徐晓利
论文发表刊物:《知识-力量》2019年10月38期
论文发表时间:2019/8/23
标签：思想论文; 高等数学论文; 数学论文; 函数论文; 方法论文; 积分论文; 性质论文; 《知识-力量》2019年10月38期论文;