直线与圆锥曲线相交问题的本原结构与处理手段——“根与系数的关系”拓展应用，本文主要内容关键词为：圆锥曲线论文,本原论文,系数论文,直线论文,手段论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
众所周知，解析几何的本质是用代数的手段来研究几何问题，是数与形的完美结合。而代数离不开的则是四则运算。本文结合2010年高考真题，以四则运算为本原，以根与系数的关系为载体，浅谈新课程高考下解析几何的本原结构及处理手段。
一、第一拓展应用——平方和型
此类型没有明确的典型代表问题，主要是在具体问题情境中将其转化（一般是将向量语言转化为坐标语言），从而得以识别。
例1 （2010年湖北卷）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差是1。
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有2个交点A、B的任一直线，都有
？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。
分析 (1)是求轨迹方程问题，一般情况下解决此类问题我们应本着求什么设什么、通过已知代什么的原则求解。
(2)属于直线与抛物线的相交问题，为简化运算，避免不必要的讨论，将直线方程设为x=ty+m。
1)解决直线与抛物线的相交问题时，直线的设法尤为值得关注。
2)将四元未知量
降成二元未知量时，由于抛物线是偏态曲线即二次与一次的组合。因此，此类问题是代入抛物线中降元，还是代入直线中降元，哪个较为灵活，往往是具体问题具体分析。譬如该题，直线中有双参数，而抛物线中无参数，因此选择代入抛物线中降元，可使方向明确且运算简便。
3)“有解问题”（存在）+“恒成立问题”（任意）＝“最值问题”。
4)将向量语言转化为坐标语言，从而开辟根与系数关系的应用战场。
二、第二拓展应用——差型
此类型的典型代表为弦长问题：
点评 在新课程高考下，由于椭圆和双曲线的第二定义已不再作为考纲要求，因此焦半径问题的唯一解题突破口，便是圆锥曲线的定义（第一定义），即焦半径问题（椭圆、双曲线）的唯一转化途径为利用圆锥曲线的定义。本题的第1问，很好地体现了新课程高考平稳过渡、稳中求变、变中求新、逐年递进的发展思路。
三、第三拓展应用——商型
分析 取横坐标还是纵坐标进行运算是问题转化的关键，此题点A、B未知，已知点F纵坐标为0，故应用纵坐标作为转化目标，从而使得目标更加明确，运算更为简便。
点评 本题第1问便以平面向量共线为背景，其考查本质为将向量语言转化为坐标语言，进而将根与系数的关系应用于其中，创新的考查了用根与系数的关系解决两根之商的问题，入手容易，貌似简单常规，实则计算量较大，体现出了平淡之中见神奇的特点。本题应用四则运算中的
作为根与系数的关系的拓展应用，本质深刻，喻义深远。
1)形成模式化的处理手段
，应更值得关注，想必也是未来高考的方向。
2)A、B、F三点共线，将
用纵坐标将其转化的原因，值得深省，如改为横坐标而最终不转化为纵坐标，本题是否可解，望读者予以探究体令
3)本题可谓是解析几何之中的经典之作，将四则运算、
皆作应用考查，可谓点睛之笔，不可多得。
4)新课程考试大纲在有关能力要求的标准上，重新诠释了两种能力，即数据处理能力和运算求解能力，这两种能力在高考中最好的依托便是运算层面高于思维层面的解析几何问题。本题着重体现通过已知的向量共线关系，对直线与椭圆联立后所消去参数的选取，进而可以降低运算难度。考查对于解析几何大题的灵活运用。尽管计算是解析几何的重要考查方向，但是通过准确的思维定位从而简化计算（因A、B、F三点中只知F点的纵坐标为0，故将向量语言以纵坐标方式表示），将是未来新课程高考的发展方向。
本文以2010年高考真题为例，以四则运算的递进演变形作为本文的脉络主线。而各题之间的交相呼应更体现出高考的本质考查与数学的结构特点，望广大读者予以体会。