“三角形的面积”学生错误与分析，本文主要内容关键词为：角形论文,面积论文,错误论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
作业中的错误能够暴露出学生在知识和方法方面的缺陷，帮助我们更好地确认教学的着力点；同时，错误也是教学资源.有意识地去记载和积累历届学生的错误，发现共性，对教学有很大的指导意义. 在经验和预测的基础上，笔者开展了关于“三角形的面积”掌握情况的后测，对其中的错误进行了统计与分析. 一、测试的问题、对象和过程 1.测试的问题 后测使用A、B两套试卷.两卷内容相同，个别题目表征方式有所差异，希望借此甄别表征对学生的干扰情况.题目选自现行各版教材及浙教版《课堂内外》五年级上册，数据有改动. 第1题，看图求三角形的面积.主要考查学生能否直接应用公式求三角形面积，包括能否选择有效的底、高信息.评价设定三级水平： L0（水平0）——不会做或忘记除以2. L1（水平1）——信息选择错误，包括：不能正确辨认三角形的底或高，特别是钝角三角形的底或高；没有意识到底和高相对应. L2（水平2）——能正确求出面积. 第2题，主要考查学生对公式的应用是否灵活，即不仅能正向应用公式，也要能逆向运用公式.包括知底、高求面积，知面积及底求高，知面积及高求底.A卷为表格题，B卷为填空题.评价设定三级水平： L0——空白或全错. L1——能正向求取面积，不能逆向求底或高，包括：直接用面积÷底（或高），面积÷2÷底（或高）. L2——正、逆向都正确. 第3题是填空题，讨论等底等高的三角形与平行四边形之间的面积关系.A卷以文字叙述，B卷采用图形表示.主要考查学生对图形关系的理解和应用.评价设定三级水平： L0——对三角形与平行四边形面积关系只是形式化记忆，对计算中“×2”或“÷2”的意义不清楚，出现“×2”“÷2”的套用、误用. L1——用平行四边形面积推算三角形面积是正确的，用三角形面积推算平行四边形面积则错误.说明对两者之间的关系理解不充分，推理不具有可逆性. L2——正确完成两题. 第4题，问题解决，分3小题. 第（1）小题的情境是：从一块长3米、宽1.5米的长方形红布上裁取底、高都是3分米的三角形小旗，可以裁多少面？本题用于考查学生能否综合应用图形面积公式解决实际问题.评价设定三级水平： L0——建模完全错误，不明白这个情境与数学知识之间的联系.出现空白、求最大公因数等方案. L1——出现单位错误或建模错误.单位错误主要是未统一单位或以为1平方米=10平方分米；建模错误则有以下情况：混淆周长和面积概念，混淆长方形和三角形面积计算公式，等等. L2——能正确解答问题. 第（2）小题，求一块直角三角形土地的面积.给出三边长，但未说明谁是直角边谁是斜边（B卷中有不带数据的直角三角形图）.主要考查学生是否具有结合图形确认数据意义的意识和能力.评价设定三级水平： L0——建模完全错误，比如空白或者三边连乘. L1——在计算面积时仅用两直角边相乘而忘记了除以2，或者分不清哪两条是直角边. L2——能正确解题，尤其是部分学生有画图帮助思考的习惯. 第（3）小题，是一道较为复杂的面积推算问题—— 如图，将三角形ABC分割成三个三角形.
已知①的面积是3平方厘米. 求②的面积是多少平方厘米？ 三角形ABC的面积是多少平方厘米？ 此题主要考查学生能否在复杂的图形中辨认及推理图形各部分之间的关系.评价设定三级水平： L0——没有思路或者没有道理的答案. L1——对底、高对面积的影响有所了解但不正确. L2——能正确解题.分两种：第一种是辗转求高再求面积；第二种是根据图形底、高之间的关系推算出要求的面积. 2.测试的对象 我们在杭州市上城区选取2所不同学校6个六年级的班进行了测试①，样本总数为204人.6个班分属3位教师教学，教师的教龄均超过10年，每位教师选自己教的一个班做A卷，另一个班做B卷. 3.测试的过程 两所学校的测试在2012年3月上旬的同一周内进行，由任教老师协助完成.测试前不通知，测试中不读题，不讨论.整个测试过程基本反映了学生在自然状态下独立解决问题的水平. 对测试第4题追加了学生访谈.根据完成情况，按优、中、差各选3名学生进行了访谈.访谈利用午间休息和放学后的时间，一对一在教师办公室由笔者亲自独立进行，测试与访谈在同一天内完成. 二、测试结果与分析 本次研究获得的测试结果如下图：
该结果提示我们，在应用“三角形的面积”知识解决问题的过程中，学生可能存在下列困难. 1.三角形底和高的概念模糊 在解决问题的过程中，学生对图形的观察容易受无关因素干扰，尤其是不能正确辨识非标准图形的底和高.如第1题第③图（右上图），当图形中出现多余信息时，学生的选择受到影响，有的把9当作图形的底边长，有的把（7+9）当作图形的底边长，有的以20为底12为高……
而成绩中下学生尤其不善于辨识组合图形底和高之间的关系.以下是围绕第4题第（3）小题的一段访谈： 生（想了一会儿）：这个图没法做，没有高. 师：不知道高是多少，就不能求面积了吗？ 生（诧异地看着老师）：那当然，面积=底×高÷2，没有高怎么做啊？ 师：那么你能找到图上这些三角形的高在哪里吗？ 学生指出的高仅为垂直于边BC的高.当教师要他找一找三角形②中边BE上的高、三角形③中边EC上的高，以及三角形①中边AD上的高和三角形BCD在边CD上的高时，学生或者指不出，或者随便指一条.
2.对三角形面积公式的几何意义不理解或理解有缺陷，导致经常忘记除以2，或者用并不对应的底和高相乘 值得反思的是：测试中的错误不仅反映出知识的缺陷，更体现了态度的误区.即，问题可能不仅在于“有没有除以2”，知不知道“为什么要除以2”等，更重要的是，学生有没有想过要去思考这些问题？他是把公式、规则看作一个既定的、封闭的系统，急于复制和套用，还是认识到其中有一个建构和推理的过程？根据卡罗夫德（Crawford）等人的研究，学生对如何学习数学的反应可以分为以下几个层次：（1）死记硬背，以便记住知识和程序；（2）做大量的习题，以便记住知识和程序；（3）做大量的习题，以便理解理论和概念的关系；（4）做难题，以便理解整个理论及其与已有知识之间的关系；（5）理解一种理论，并看看这个理论能应用在哪些情境.② 3.推理能力较弱 （1）逆向推理有困难. A卷第2题第②、③列，B卷第2题第（2）小题，两卷第3题等都反映出这个问题.比如，学生不能从面积=底×高÷2推导出底（或高）=面积×2÷高（或底），不能认识到这是对同一组关系的不同表征. （2）推广结论有困难. 如第4题第（3）小题，有的学生根据等底等高的三角形面积相等，已经分析出S三角形①=S三角形②+S三角形③，却不能进一步分析出在等高的情况下，三角形②和三角形③面积的比就等于底边长度的比.可参见以下访谈记录： 师：最后1题很难，但你还是做出来了，你能和老师说说，你是怎么想的吗？ 生：这道题我记得我们老师以前讲过的，就是整个图形的几分之几.（停顿，不好意思地笑了）可是我想不起来老师到底是怎么变出几分之几了. 师：你还是做出来了. 生：是的.等底等高的三角形面积相等，所以①的面积是3平方厘米，下面这个三角形（指三角形BCD）的面积也应该是3平方厘米.那么它的底是3+5=8（厘米），它的高就是3×2÷（5+3）=0.75厘米.（表情放松了）0.75×5÷2=1.875（平方厘米）. 师：图形②和③之间有怎样的关系？ 生：（重新确认了原题）它们两个的高是一样的. 师：那么面积呢？ 生：面积不一样吧.它们的底不一样.（算起来）③的面积是3×0.75÷2=1.125（平方厘米）. 可以认为，学生记住了“等底等高的三角形面积相等”，却远没有认识到这是底、高、面积关系中的一个特例.学生对公式的认识是肤浅而僵化的.影响其应用公式进行推理. 4.生活经验不丰富，且没有良好的数形结合习惯，导致建模偏差 如第4题第（1）小题，30%左右的学生不理解情景对应的数学本质是长方形面积与三角形面积之间的包含关系，列式错误：如[（3+1.5）×2]÷3，3÷0.3+1.5÷0.3，等等. 三、对教学的启示 根据学生的表现，结合现行教材，笔者认为，教学在两个方面应特别作出改进：（1）前期“三角形的认识”中，比“稳定性”等更应花时间教学的是对三角形各要素的分析，应补充和加强“高”的教学，至少识别不同方向的高应作为基本要求.还可以设计与开发在组合图形中认识三角形的习题.（2）“等底等高的三角形面积相等”应放到更大的背景中去教学，应设法去揭示底、高、面积之间的函数关系.如补充这样的问题③： ●用橡皮筋在钉板上绑出底边为6cm，高分别为1cm，2cm，3cm，…的三角形.研究它们的面积.你发现了什么？
●用橡皮筋在钉板上绑出高为5cm，底边长分别为1cm，2cm，3cm，…的三角形.研究它们的面积.你又发现了什么？
数形结合，使学生直观地感知当底不变，高变化时，面积是怎样变化的，或者当高不变，底变化时，面积是怎样变化的，从而使学生认识到面积公式不仅刻画了作为常量的底（高）、高（底）、面积之间的关系，而且刻画了这一组量的相依变化性，使面积计算公式进一步地抽象和概括化.（这组练习已被借鉴到浙教版新思维小学《数学》有关三角形的面积练习中，但展开方式有所不同，有兴趣的读者可自行查阅.） ①“三角形的面积”为五上学习内容，笔者认为六年级学生在未获强化的情况下，对有的知识会有所遗忘，表现更真实. ②Crawford,K.Conception of mathematics and how it is learned:The perspectives of students entering university.Learning and Instruction,1994,（4），331-345. ③细川藤次，能田伸彦等.小学校算术科用教科书·算数5年下.启林馆，2001.
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