数学思维的虚拟实验室——关于《几何画板》辅助数学教学的访谈，本文主要内容关键词为：画板论文,几何论文,数学教学论文,实验室论文,思维论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
专访对象：陶维林（个人简介附后）
专访地点：南京师范大学数学系数值计算实验室
专访时间：2001年3月16日14：00～16：00
访谈目的：如何看待基于《几何画板》的计算机辅助数学教学
访谈方式：口头问答与E-mail访谈相结合
话题1：请问应该怎样理解多媒体辅助数学教学？
新教学大纲（《全日制普通高级中学数学教学大纲》，试验修订版，2000年2月）指出：“现代技术的使用将会深刻地影响数学教学内容、方法和目标的改变。”搞好计算机辅助数学教学的关键首先是教师要更新观念，充分认识新教学技术给数学教育带来的变革，努力学习现代教育技术，运用现代教育技术革新传统的教学方法。实践已经表明，计算机及其教学软件是一种全新的教学工具，对于改善教学方法、提高教学效率、增强教学效果有着不可忽视的作用。数学教师尤其是青年教师对此要有充分的认识和积极的态度，要积极参与实验研究，要敢于探索，既不要夸大计算机的作用，更不要采取消极的态度对计算机辅助教学说三道四。任何事物都有一个发生发展的过程，结论往往产生于实践的末尾，“实践出真知”。
计算机辅助教学的功夫不在计算机，这就要理解数学教学的过程，探索教学规律，运用计算机辅助要明确目的，弄清“辅”在何处，用得恰到好处，要注重实质，讲求实效。计算机辅助数学教学未必追求“多媒体”，尤其是要谨慎地使用声音，教学中要注意排除与教学无关的干扰因素。
评述：《义务教育阶段国家数学课程标准·征求意见稿》中也指出：“数学课程要重视运用现代技术手段……”而对于现代技术手段，应“让一部分人先用起来，在一些地方，即使能在黑板上画计算机，也比不画好！”《几何画板》（The Geometer's Sketchpad，以下简称GSP）是由美国Scott Steketee 和Nick Jackiw开发、Key Cur－riculum Press公司出版发行的主要用于平面几何、解析几何、射影几何、初等代数等教学的软件平台。GSP以点、线、圆为基本元素， 通过对这些基本元素的变换、构造、测算、动画、跟踪轨迹等，能显示或构造出较为复杂的图形，把较为抽象的数学对象形象生动化，让人在动态中认识数学对象的不变关系，它提供了一个“做数学”的虚拟实验室，在其中实现观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。它的介入可以调动学生的积极参与，加深对数学概念的深层理解，积累丰富的数学体验，拓宽数学能力的培养途径。
话题2：目前使用GSP辅助数学教学正在进行，请问您怎样理解GSP？
GSP是一个数学意义上的软件，其精髓在于， 在变动的状态下保持不变的几何关系，这不正是几何研究所追求的吗？我不知道数学家是怎样发现三角形的外心O、内心I、垂心H在一条直线上，并且有│HG│＝2│GO│这个结论的，当初如果有了GSP，就轻而易举不足为奇了。随着你走近GSP，你会体会到GSP有深刻的内涵。我以为设计这个软件的人是几何学专家，是数学家。比如，GSP怎样识别你在一条直线上
椭圆是由圆压扁而来，这是高中学生对椭圆的最初认识，我就在课堂上用GSP“压”（画）给学生看。这样来初识椭圆学生怎能不高兴！
我曾经和学生一起寻找绘制椭圆的方法，找到了15种，后来不找了，因为定义一个映射（给出一些作图规则）就可以把圆映射成椭圆，而给出映射法则的方法可以很多。我也是多次给学生讲“映”，却从来没有这样去理解过，应用过。用GSP画函数图象更是映射的精彩运用。
你要完成一个制作，除了要了解GSP 的基本操作规则（因为符合数学原理，所以很容易掌握，比如经过某点作某线的垂线必须同时选择该点与该线）以外，其他需要的是数学知识，弄清数学关系，而不是制作上的困难。GSP选修课中，我校高中学生中产生的一些GSP爱好者都是数学学得很棒的。巧妙地运用GSP完成一个制作，解决一个数学问题， 发现一个未发现的数学结论都会令我的心情久久不能平静，因为那是成功的喜悦、思维的享受。
评述：GSP的基本功能有：1.画出各种欧几里德几何图形；2.画出解析几何中的所有二次曲线；3.画出任意一个初等函数的图象；4.对所有画出的图形、图象进行各种变换，如平移、旋转、缩放、反射等；5.对所作出的对象进行度量，如线段的长度、圆弧的弧长、角度、 封闭图形的面积等；6.显示或隐藏任意一个对象；7.显示一个对象（点或直线）的轨迹。GSP 中至少蕴含以下数学思想：①公理化思想：任何图象最终都归结为点、线、圆等基本元素，从某种意义上来讲是欧氏几何尺规作图的一种现代延伸；②函数、对应思想；③建模及数学化思想：绘图实质上是用数学观点理清对象数学关系的过程，比如弹簧振子的制作等。教学中我们反对把它当作电子黑板，而应注意：（1 ）充分暴露绘图（数学思维）过程；（2 ）让学生在操作中体会数学化和相应数学思想方法，积累成功体验；（3）注重数学共同体的交流、探索、合作。
话题3：您为什么多次强调自己喜欢使用GSP，它与其他的课件制作平台相比有何优点？
我非常喜欢GSP， 这是我在进行计算机辅助教学使用各种软件平台的实践过程中，反复比较的结果。我使用过好几个辅助数学教学平台，由于诸多原因，我现在都有所不为了。GSP 除了它在功能上基本满足数学各科的教学需要之外，中文版、容易学习、操作简单、生成的文件小便于携带等等优点都是让众多老师爱不释手的重要原因。
GSP是一个全中文软件， 一切通过鼠标点击菜单或者按快捷键完成。不是中文版的软件不便于交流，很难推广开来，对于中学数学教师这一庞大的群体来说，英语和计算机基础好的人凤毛麟角，因此容易学习、操作简单是非常必要的，它可以让繁忙的中学教师们在课堂上随手制作，像使用圆规、三角板一样。另外，学生通过老师的操作，弄清了几何关系，看到了知识之间的内在联系，图形、图象都是动态的，可以演绎各种各样的情形。哪个传统的教具能与之相比？我不否认Authorware等软件都是好平台，尤其在辅助文科教学方面，但是中学数学教学有着特殊的要求；我更不否认《数学实验室》是个好软件，但是中学数学教学强调“过程”，而不是结论，有着特殊的需要。我赞成“一学科多平台”的观点。北京大学林建祥教授指出：“为了使学生学习得主动，真正对教育革新发挥作用，还得使计算机设备小型化，廉价到达每个学生手里。”图形计算器正在走进课堂，为许多教师、学生所接受。计算机设备的小型化（如TI等）也是计算机辅助教学的一个趋势，但是目前的价格是一个障碍。关心计算机辅助数学教学的人们应该关注图形计算器的应用。
评述：掌握好一个优秀的课件制作平台是数学教师得以利用计算机辅助教学的关键。妥善并熟练运用GSP不仅会让教师教得轻松， 学生也会学得轻松，达到事半功倍的目的。GSP 并非是普通的画画几何图形的软件，经过众多教师的开发，已经发现它满足中学数学各学科的需要，对代数、立体几何的表现力也是很强的，如果与其他软件，如Powerpoint结合，可以制作出更美观实用的课件。建议中学数学教师以GSP为突破口，积极探索CAMI，促进素质教育的纵深发展。 但也需提及的是，GSP并不能完全代替数学教学，也不是所有的数学课都适宜， 须实事求是。
话题4：GSP对培养学生的数学能力有何影响？
GSP具有很好的交互性， 它给学生探视数学的奥秘提供了理想的实践园地。我多次与学生讨论过一个简单而有趣的问题：△ABC的顶点A在定圆M上运动，B、C固定，探求△ABC的外心O的轨迹。 同学们进行了各种猜测：猜圆、猜直线、猜线段的都有。
用GSP一画（图2），发现是线段，再仔细想一想，在“意料之中”（BC的中垂线上）。“意料之中”吗？当拖动点C，使C在圆内时，是直线（图3）。大家都谨慎起来，不敢说话，一个胆子大的同学说，噢， 三种情况都有：当B、C在圆外时，轨迹是线段；当B、C中有一个在圆外、一个在圆内时，轨迹是直线；当B、C都在圆内时，轨迹是射线。我问他“为什么？”他说，线段、直线都有了，还差（缺）射线呀。我想“有道理”，这可能是受化学中门捷列夫周期表的启发，线段有了，直线有了，还有一个“空格”，应该由“射线”这个“元素”来填。
这就对了吗？仍然把点B、C都放在圆外，但直线BC与圆相交，这时轨迹成为两条射线，这位同学自感有点“冒失”，其他同学更不敢再说话。其实我们大家都比较“冒失”。考虑过点W 的轨迹可能是一条射线的情况吗？我们大家都还应该想到以下几个问题：（1 ）如果一个三角形的两个顶点（三个点在圆上时，三角形的外心就是圆心，没有研究的必要）都在一个定圆上，而另一个点可以自由移动，它的外心轨迹又是什么呢？（2）问题还没有结束！ 为什么不再去“探测”这个三角形的垂心、内心、重心的轨迹呢？（3 ）把“圆”换成“椭圆”或者其他曲线再研究△ABC外心W的轨迹。
思维能力是能力结构的核心，过分强调形象化不利于思维能力的培养，在辅助教学中教师要注意克服这种偏向。恰当地利用GSP演示，协助学生思考而不是代替学生思考可以促进学生思维的发展。
图象，拖动点B改变b的值（点B的纵坐标），图象上、下动作起来。当把点B拖得靠近x轴b（b＞0）的值很小时停下，我问学生，如果再把点B往下拖使b的值成为负数，图象是什么样的。许多学生想象不出来，但是也有学生开始比划着，做出画“八”字的手势。我企图让学生通过对b＞0的图象的观察，归纳、抽象出b＜0时的图象，发展学生的思维能力。什么样的教学工具能实现这样的训练思维的效果？
GSP在培养学生的空间想象能力方面也有不俗的表现。图5是一个可以任意转动的二面角。图形连续转动形成的众多画面变换，给学生带来的视觉感受使学生在大脑中形成图形空间变化的印象。让学生亲自操作，反复观察在各个不同位置二面角的图形特点，从而纠正学生长期形成的二维平面思维习惯，实现空间想象能力培养的目的。它所带来的效果是静态二维图形所无法实现的。
“创新是一个民族进步的灵魂”。在由“应试教育”向“素质教育”转轨的今天，培养“创新意识”越来越受到重视。从GSP 在各科中的表现，在研究、探索问题，开展“数学实验”中的作用， 可以看出， GSP提供了一个“探索式”学习的环境， 一个培养创新意识的实践园地，给了同学们一个创新的工具，许多学校让学生掌握GSP，用GSP学习，得到了一些令老师吃惊的结果。
评述：GSP给学生提供了一个发展自己奇思妙想的好空间， 使学生从学数学到做数学到玩数学，随之而来的是学生学习态度上的变化，从被动学习到主动学习，再到创造性学习，可以有效地培养学生的创新意识，对学生数学能力的影响是深远的。
话题5：GSP目前的推广情况如何？
GSP从1995年由人民教育出版社引入我国，已经有近6年时间。期间GSP得到了很好的推广。全国各地采用GSP的数学教师越来越多，一些地区已经把它列为中学数学教师继续教育的内容，特别是一些师范院校已经在数学系本科生中开设GSP必修课， 这些毕业生正是日后计算机辅助教学的“星星之火”。如今只要在网上搜索一下“GSP”，就会发现， 讨论GSP的网站很多，几乎每一所中学的网站以及一些教育网站都有GSP这一选项，还有专门讨论GSP的网站（GSP课件园）。
GSP是中学数学教师最理想的辅助教学工具已经是不争的事实。GSP不仅适合中学数学教师，也适合物理教师甚至化学教师、体育教师作用。
评述：建议高师甚至中等师范的毕业生都能掌握GSP软件， 或者将其作为教师继续教育的培训内容。例如江苏省很多地方都成立了GSP 的研究课题组。希望越来越多的教师都成为GSP的积极推广者。
话题6：中学教师怎样快捷地掌握GSP？
GSP不难学。只要看看《几何画板实用范例教程》（由我编著， 全国中小学计算机教育研究中心潘懋德教授审定）就可以自学。书中提供了详细地制作步骤，你只要照着做就能很快掌握它。如果能经过几天的培训当然更好，那就能熟练地掌握它。
评述：进行同行间的交流也是提高的重要手段之一，因为很多制作的技巧和潜在功能都是在教材和自己摸索中遇不到的，网上关于GSP 的课件和提供交流的网站是很多的。例如
几何画板世界：http://jhhb.363.net；几何画板课件园：http://jihe.6to23.com；几何画板：http://61.132.118.17/wjszx/jhhb/jihehb.htm；几何画板课件交流：http://liyistudio.126.com；几何画板课件下载：http://bj101hs.top263.net.
话题7：使用GSP对学生的学业考试成绩有无影响？
用GSP辅助教学不会降低教学质量。 因为操作上的困难（比如一个班用GSP教学，另一个班不用，学生就会有意见）， 到目前还没有量化比较的数据作出肯定的回答。但是，很明显：（1 ）以往讲不清楚的概念，现在容易讲清楚了，使用GSP 能够更好地揭示知识之间的内在联系，使学生对知识的理解更为深刻。比如椭圆的离心角与旋转角的关系，复数开方的几何意义，含参数的方程所表示的曲线系的讨论，探视动点形成轨迹的原因，学生看到动点真正动起来了；（2 ）教学容量加大了，缩短了教学进程，提高了教学效益。比如教学三角函数y＝Asin （ωx＋ψ）的图象。传统教学，是分振幅、周期、 相位等好几节课完成的，现在不需要这么多课时，而且是在网络（多机）教室让学生自己动手操作，认识这些参数是如何影响函数图象变化的，这是传统的教学工具所无法企及的，这些会减低教学质量？（3 ）我不否认高考成绩是衡量教学质量的一个标志，但是，“教学质量”，尤其是人的素质不是一个（一次）高考就能肯定或否定的。教育不能光眼睛盯住分数，更不能急功近利、目光短视。要从人的发展这个高度来设计我们的教学。数学是把人教聪明起来的一门学科，不是仅仅教会解几道数学题。GSP 使学生的想象力得以发挥，能力得到发展，增强了创新意识，有益无害。
评述：教育短视是有害的。当前正在向素质教育转轨，必须要摈弃分数至上的顽固思想，而应把眼光放在提高学生的数学素质上。许多教育问题（包括计算机辅助教学）的成功解决不仅仅需要观念转变，更要大量的实践探索。我们衷心地希望CAMI不仅能够带来教学观念、手段、方法的改变、改进，更能培养出高素质的创新人才。
被采访者简介：
陶维林，男，1947年生，1968年参加工作。1982年毕业于南京师大数学系。现任南京师大附中数学教研组长，江苏省中学数学教学专业委员会理事，计算机辅助教学专题研究协作组负责人。近年来在《数学通报》、《中学数学教学参考》、《中学数学月刊》、《数学通讯》等杂志发表文章30余篇。编著的《几何画板实用范例教程》由清华大学出版社于2001年4月出版。多篇论文或课件获省级以上一等奖。 多次参加全国研讨会议。