理解分数的一把钥匙：部分与整体的包含除关系，本文主要内容关键词为：分数论文,钥匙论文,关系论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
分数是数学学习的难点之一.难在哪里？其实并不在等分蛋糕之类的语言表述上.细细想来，原来是“包含除”的数学思想方法没有很好掌握之故.下面来解释这样说的缘由.
分数知识的本质，是为了处理在平均分物体的情境下表示部分和整体之间的数量关系.提起“平均分”，很自然就想到除法.低年级学习的自然数的除法意义，可以有等分除和包含除两种.例如：
问题1（等分除问题）：12个蛋糕，平均分给3个人，每人有几个？（答案：4个）
问题2（包含除问题）：12支铅笔，每份4支，共包含有几份？（答案：3份）
现在轮到分数，也可以用问题驱动.常用的也是等分除和包含除两类问题，只不过推广到了被除数可以小于除数的情形.
这样的问题，原来在自然数范围内是没法解答的.但是引进分数之后，就可以解答了.
仔细分析，等分除的问题是从整体到部分，问的是部分“有多大”；包含除的问题则是从部分到整体，即已知部分的大小，问其整体含有几个部分，部分在整体里“占多少”.从数学思维上看，如何用一个数来表示“有多大”和“占多少”，思维的方向和目的是不一样的.
分蛋糕是分数的几何模型，铅笔份额是算术模型.问题3具有几何直观性，更加贴近学生的生活，比较容易理解.问题4问“部分占整体的几分之几”，是纯粹的数量问题，没有几何背景，理解起来相对困难些.但是它在数学上更为深刻.这一问题直接影响到对分数与除法关系的解释，分数除法的颠倒相乘算法，以及比、比例、百分比等知识的理解与应用.因此在教学中要重点加以关注，反复训练，形成数学直觉，养成数学技能.以下我们阐述分数教学中有关包含除的一些内容.
一、正面揭示分数与除法的关系
如何理解分数的本质是两个数相除？现行教材都是语焉不详，只是形式上加以比照，没有正面论述其缘由.现在我们来正面阐述，仍然从分一盒铅笔的情境开始.
这就是说.4÷12可以从等分除的角度提问，也可以从包含除的角度提问.这需要在教学中强化训练.为了使学生容易理解，也可以铺垫较容易理解的问题：6支铅笔包含了多少个12？答案是半个12，即
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综上所述，我们过去讲除法常常问整体包含了多少个部分，现在我们也可以问部分包含了多少个整体，答案一般会是分数.实际上，这种一个量占另一个量多大份额的问题乃是分数单元最核心的本质问题，学生一旦掌握将终生受用.
二、分数除法的颠倒相乘
这是一个程序性的计算法则，其道理很难说清楚.最近看到美国密歇根大学的一项研究，却是从包含除的视角来解决的.大意如下：
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这种包含除与“比”的关系，并非自然而然地获得，需要大力培养.唐彩斌老师曾有一个调查川，显示许多学生只会把整个圆当作整体，缺乏对分数的比的认识.
这一调查的对象是100多名学生，分别来自三、四、六年级.让学生看到大屏幕上的图2.问：你看到了哪些分数呢？让他们想两分钟，然后写出尽可能多的答案.
调查结果如下表.显然，能够指出分数
的学生太少了.
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最后，容易看到大量的文字应用题，如行程问题、工程问题等都涉及对分数的包含除的理解.“某数A占某数B的几分之几”这样的语句，出现得非常频繁.现实问题大多需要从包含除的角度去看待分数.例子很多，这里不赘述.
总之，我们在分数的教学中比较多地使用了平均分的“等分除”，而对“包含除”的数学方法虽然也给予了一定的注意，但是强调得还不够，练习中也不够给力，有待改进.