矿产资源最优开采问题研究
——环境约束、后备替代与Hotelling法则

仓定帮 魏晓平 曹明

[摘 要 ]矿产资源最优开采研究对资源的优化配置和社会可持续发展至关重要。经典的Hotelling模型是研究矿产资源最优开采的主要工具，但是Hotelling法则在现实中并不总是成立，一个主要原因是模型中没有考虑矿产资源开采中的环境外部性及后备替代问题。本文建立的相关数学模型，利用动态最优化方法系统地研究了在环境约束及后备替代条件下矿产资源最优开采路径，对Hotelling模型进行拓展。结果发现：不考虑环境约束、矿产资源储量较少时，资源价格路径遵循Hotelling法则，在高于后备替代价格后退出市场，并且矿产资源成本、后备替代成本等因素都会对替代节点产生影响。考虑环境因素时，若污染未达阈值，资源储量较少时，价格的变化体现了环境外部性和稀缺性，变化率高于贴现率；当污染达到阈值，并且资源储量较丰富时，价格先保持不变，体现能源消费总量控制，然后由于稀缺性促使价格上升，遵循Hotelling法则；当污染达到阈值、存在资源进口时，价格的变化与资源出口国贴现率密切相关。

[关键词 ]矿产资源 最优开采 外部性 环境 后备替代

一、引言

矿产资源是经济发展和社会进步的重要物质基础，其最主要的特点是具有不可再生性。如何对矿产资源进行最优开采,实现代际均衡，促进可持续发展一直是能源经济学研究的重要内容。1931 年美国数理经济学家Hotelling发表了《可耗竭资源经济学》^[1]一文，讨论了在完全竞争条件下耗竭资源的最优利用问题，理论上说明要使得矿产资源的社会价值达到最大，该耗竭资源的净价格增长速度等于社会效益贴现率,即著名的“Hotelling” 法则。该文被视作能源经济学诞生的标志。

但是此后长达40 年的时间里，很少再有学者对该问题做深入研究。直到20世纪七八十年代全球范围的石油危机和环境恶化等问题日益突出，掀起了能源经济研究的热潮，推动了耗竭资源的最优配置理论的新发展，研究内容涉及市场类型、资源的储量、资源税等因素^[2-14]。

Hotelling法则对研究资源最优开采有很大的借鉴作用，但是在实际问题中发现，资源开采可能并不满足Hotelling法则。其中一个原因是矿产资源开采外部性的影响没有被考虑在内。魏晓平等(2013)^[15]建立了相关计量模型，结果显示我国的矿产资源的供给和价格指数相关性不显著，与Hotelling法则不吻合，并指明主要原因是外部性造成的非市场因素没有体现在模型中。

以上，仅是针对测绘地理大数据在城乡规划中的应用展开的一些浅显的探讨，我国测绘地理大数据的爆发式增长才刚刚开始，处理和应用手段相对还比较简单，在形式和内容上仍偏向单一，还有许多其他行业的信息没有被发掘利用，测绘地理大数据有着非常广阔的利用空间。测绘地理大数据有效提升了城乡规划的合理化、科学化水平，为“数字城市”和“智慧城市”的建设和发展发挥了重要的促进作用，相信随着科学技术的不断发展，测绘地理大数据的应用价值必将得到更高层次的提升。

外部性又称为溢出效应、外部影响等，指一个人或一群人的行动和决策使另一个人或一群人受损或受益的情况，分为负外部性和正外部性。外部性问题是矿产资源最优配置理论研究中的一个重要方面，主要包括储量外部性、环境外部性和代际外部性。储量外部性主要指矿产资源是典型的可耗竭资源，储量必将越来越少，稀缺性程度将越来越高，从而产生代际公平问题；环境外部性是指矿产资源在生产利用过程中会造成环境污染，形成负效用；代际外部性指如何能够在现代人和后代人之间进行资源分配，不影响后代人的福利。

为了解决资源使用过程中出现的代际公平和环境污染问题，本文拟在资源开采中纳入环境约束与后备替代因素，建立相关数学模型，给出资源开采的最优路径，拓展Hotelling法则的应用范围。

由于波特一致性系数只是给出了总体的一致性比较，为了分别在内容主题维度和认知层次维度上对大纲标准和7套试卷中的数学学科知识题进行比较，研究者在下文将矩阵的数据信息，绘制为条状图，从而在图中可以清晰的看出被研究者在内容上的侧重主题与认知上的侧重水平，呈现更为明确的信息.

二、Hotelling模型与后备替代

假设t 时刻的资源价格为p (t )，资源的开采量为q (t )，资源的储量记为S (t )。边际开采成本假设为c ，ρ 为贴现率。理性的社会决策者要选择最优的开采路径使得收益的现值最大化，即有下面的最优化问题:

通过本研究可以说明H-UPPP对于腭咽平面阻塞的重度OSAHS具有良好的手术疗效，同时术后的并发症少，手术安全性高。但因为本研究的样本例数较少，同时临床研究受到干扰因素较多，所以可以在将来的研究中通过增加样本例数进一步评估H-UPPP治疗腭咽平面阻塞重度OSAHS患者的手术疗效。

求解该优化问题，构造现值Hamilton函数如下:

H (t )=U (q (t ))-cq (t )-λq (t )

其中λ 是资源的影子价格，也称为资源租。据最优化理论,最优化条件为:

计算可知U ′(q (t ))=c +λ ₀e ^ρt ，λ ₀为初始值，与资源储量有关。

在上式中若定义资源的价格p (t )=U ′(q (t ))，则有p (t )=c +λ ₀e ^ρt ,即矿产资源价格增长的速度等于贴现率，此为Hotelling法则。资源价格变化路径如图1。

图1 资源的价格变化路径 (Hotelling )

若市场上后备替代技术(可再生资源)的单位开采成本为常数c _r ，显然当矿产资源的价格高于c _r 时，可再生资源进入市场，实现完全能源替代，此时资源的价格变化可由图2表示。

1)设计一个零阶差分方程的系统实例，如y(n)=3x(n)-x(n-1)+4x(n-2)，得到系统单位脉冲响应 h(n)=[3，-1，4]，设置输入序列 x(n)=[1，2，3，4]。分别用conv()和filter()函数求系统输出响应。

图2 资源的价格变化路径

2.环境达到阈值资源开采路径分析。

(a ₁-b ₁f (q ⁱ ,μ ₂)-dq ⁱ )+(a ₁-b ₁f ^′(q ⁱ ,μ ₂)-d )q ⁱ -h -λ ₃=0

表1 灵敏度分析结果

从上表的结果可以发现，相关参数变动正负5%后，四个参数中对替代节点影响最小的是贴现率，最大的是资源的初始储量，后备替代成本对替代节点的影响程度要小于矿产资源的成本，但是对资源的影子价格的影响要高于矿产资源的成本。贴现率越低，替代节点越延迟，后备替代成本和矿产资源成本越低则替代节点越提前。

三、环境约束下能源开采问题研究

在t 时刻矿产资源开采量为q =q (t )，当矿产资源的价格达到后备替代价格c _r 时，实现能源完全替代。考虑能源消费带来的环境负面效用，Z =Z (t )表示污染存量，满足动态变化方程即污染存量变化由两部分构成：一部分为能源消费带来的污染，为能源消费的线性函数；一部分为环境的自净能力，k >0,θ ≥0为比例系数表示环境污染的阈值，资源开采面临的优化问题为：

问题

构造Hamilton函数为：

H ₁(Z ,S )=U (q ,y )-cq +μ ₁(kq -θZ )-λ ₁q

(1)

其中λ 表示资源租,U (·)为效用函数，v ≥0是关于的共积变量，满足当时，v =0。问题1的最优化条件为：

U ′(q )-c +μ ₁k -λ ₁=0

(2)

(3)

(4)

-p ⁱ q ⁱ }e ^-ρ₁t dt

定义矿产资源的价格为其边际效用U ′(q )，记为p _i =c +λ ₁-kμ ₁，即资源的价格由三部分组成：开采成本、资源租、环境的外部性成本。由污染存量的约束条件可知最大的能源投入量为对应的资源价格下面分两种情况分析能源价格变化路径。

即环境污染已经达到阈值。 此时资源的投入总量不能超过因此可知资源租的一个最小值应为否则过多的能源投入会使得环境污染超过阈值。再考虑资源储量的影响，假设资源储量较少，λ ₁₀与储量呈反向变动关系，所以资源租的初始值应当介于与c _r 之间，此时资源的价格变化路径可由图3表示。

图3 资源的价格变化路径

图3中资源的价格完全按照Hotelling规制进行变动，当价格达到c _r 时，后备技术进入市场。这段时间记为Δt ^H ，上标H 表示Hotelling路径，在此过程中消费的资源总量记为S =S ^H 。

若资源的储量大于S ^H ，由于环境污染阈值的存在，此时影响资源价格的主要因素为环境外部性，而储量的外部性并没有体现。为了使得环境污染不超过阈值，资源的投入只能为随着时间的推移，资源储量逐渐减少，资源储量的外部性逐渐体现，此时由于Hotelling规则的存在，资源投入量逐渐减少，资源价格上涨直到后备技术进入市场。资源价格和污染变化路径分别为图4和图5。图4中t ₁至t ₂时段的价格按Hotelling规则变化。

图4 资源的价格变化路径

图5 污染存量的变化路径

下面通过数值模拟对两个时间节点t ₁和t ₂进行分析。仍然假设效用函数为U (q )=aq -bq ²，相关参数的取值为：计算得到t ₁=120，t ₂=236.59，λ ₀=1.51，进一步进行灵敏度分析，得到表2中的结果。

表2 灵敏度分析结果

从上面结果可以看出，环境阈值与能源总量控制的时间呈反向变动关系，环境阈值越大，能源总量控制时间越短。环境阈值与环境规制强度密切相关。现实中环境规制强度越高，能源消费总量控制的时间应该越长。另外，资源储量与两个时间节点呈正向变动关系，说明可用储量越大，能源消费总量控制时间越长，替代节点越延后。现实中，如果后备替代能力不足，则应该加大矿产资源间的相互替代能力，为后备规模替代提供时间保障。另外，技术进步可以有效地降低单位资源消耗产生的污染，技术进步程度越高，k 值越小，总量控制的时间和替代到达的时间越短。

此时环境污染未达到阈值，若污染的排放速度大于环境的自净能力，此时随着时间推移，污染将会增大。假设资源总量较少，在环境达到污染阈值前就消耗结束，资源的价格变化路径为p =c +λ ₁₀e ^ρt -kμ ₁₀e ^(ρ+θ )t ，价格的上升同时体现了环境外部性和资源的稀缺性，变化的速度高于贴现率，并在价格高于c _r 时退出市场。

若资源总量较大，此时初始时刻价格逐渐增加主要体现环境的外部性，变化的速度为ρ +θ ，直到环境污染达到阈值，开始实行资源消费总量控制。初始值为初始时刻的污染量。价格的变化路径如图6，污染的变化路径如图7。

图6 资源价格的变化路径图

图7 污染存量的变化路径图

四、开放经济下能源开采问题研究

再分析资源出口国行为，不考虑资源出口国国内的能源消费问题，其单位开采成本为h >0。资源出口国面临如下优化问题：

博弈分析经常被用于分析能源市场的均衡。Salant(1976)^[17]假设市场由一个占统治地位的企业和其他若干个完全竞争的边缘企业构成。在不考虑开采成本的前提下给出了企业开采行为的均衡结果。该文说明了均衡开采路径由两个阶段构成。在第一阶段,耗竭资源的价格以市场率上升。在第二阶段，市场上只剩下占统治地位的企业,并且该企业的边际收益在两个时间段是相同的。Ulph和Folie(1980)^[18]对Salant的模型加以改进,在模型中考虑了不变的边际开采成本。Gilber(1978)^[19]考虑了市场存在卡特尔和边缘企业的情况，并认为卡特尔在市场中处于领导者地位，而边缘企业处于从属者地位，卡特尔先做出决策,而边缘企业根据卡特尔的决策决定自己的行为。Loury(1986)^[20]研究了市场中存在N 个寡头垄断的情况,给出了各个主体的最优开采路径。Lewis(1980)^[21]考虑了企业的开采成本不同的情形。结果显示，在开放的纳什均衡中低成本的储量不会先被耗竭。Polasky(1992)^[22]假设资源开采市场由两个企业群组构成，同组之间的企业类型相同，不同组之间企业的边际成本和储量不同，得到的一个有趣的结果是低成本的储量可能不会被首先耗竭，而转向高成本开采的企业数量却会越来越多。Long和Soubeyran (1998)^[23]指出高成本的企业会有动机去增加市场份额,从而导致资源配置的无效率和社会福利的损失。

用q ⁱ =q ⁱ (t )、q =q (t )分别表示矿产资源的进口量与国内开采量。p ⁱ =p ⁱ (t )表示进口国际市场资源的价格，因国内资源与进口资源属于替代品，所以可设国内市场的需求价格函数为p ⁱ =a ₁-b ₁q -dq ⁱ 。假设能源出口国有定价权，在市场中处于领导者(leader)位置，进口国为跟随者(follower)，下面研究两者的Stackelberg 反馈博弈均衡。

令进口国消费资源的效用函数为U =U (q ⁱ +q )。进口资源和国内资源的单位消费造成的污染为k ₁、k ₂，则污染变化方程表示为

假设国内环境污染未达到阈值，不考虑国内储量的影响，资源进口国面临的优化问题为：

问题{U _e (q ⁱ +q )-cq

由条件(4)可得μ ₁=μ ₁₀e ^(ρ+θ )t 。其中λ ₁₀、μ ₁₀表示变量的初始值，与资源的储量及污染的阈值密切相关。

=

原始社会对宗教崇拜比较盛行，因而，周礼对“礼”的解释是具有神秘性。但是，孔子顺应社会需要,在对周礼的学习、批判、吸收和改造的过程中，周礼的神秘性转换成世俗性，天人关系转向人伦关系，形成了较为成熟的礼学思想。从《左传》内容来看，与礼分不开的乐（礼所规制的内容之一，也是礼本身得以展示的和表现礼的重要内容）在孔子生活的年代有所变化，正所谓“礼崩乐坏”。正是这种变化，礼失去了个体的道德实践者内在的理性自觉和感官与情感愉悦的条件。因此，礼不仅不能为社会和个人提供行为规范，还有助于社会和谐，相反，由于个体缺乏对礼践行的认知，并没有起到有效的影响作用。

H ₂(Z ,S )=U (q ⁱ +q )-cq -p ⁱ q ⁱ +μ ₂(k ₁q ⁱ +k ₂q )

(5)

U ′(q ⁱ +q )-c +bq ⁱ +μ ₂k ₂=0

(6)

(7)

通过表达式(6)可确定隐函数：

q =f (q ⁱ ,μ ₂)

(8)

此即为国内资源开采量对进口量的最优反应，若令国内资源价格为：

p =U ′(q ⁱ +q )=c -b ₁q ⁱ -μ ₂k ₂

此时资源的价格受到三个因素影响：开采成本，环境外部性及进口量，且

p ⁱ =a ₁-b ₁f (q ⁱ ,μ ₂)-cq ⁱ

(9)

对于储量外部性问题，可通过能源替代缓解资源稀缺问题，其中能源进口是常用手段之一，比如我国的石油对外依存度已经超过了68%。本节研究在开放经济条件下，存在能源进口时，资源价格的变化路径，采用博弈方法进行分析。

（4）子代数目：在涂有大肠杆菌OP50的NGM培养基上挑1只待测的线虫，放置在20 ℃的培养箱内培养。在产卵期内每天将线虫转移到新的NGM培养基内，含有虫卵的旧平板继续放置在 20 ℃的培养箱内培养24 h，然后对每个平板内的线虫的数目进行统计、相加。等到线虫的排卵期结束后，计算每条线虫总的子代数目。

问题

其中，ρ ₂为贴现率，N (t )为国内资源存量。求解问题3，构造Hamilton函数为：

H ₃(Z ,S )=(a ₁-b ₁f (q ⁱ ,μ ₂)-dq ⁱ )q ⁱ -hq ⁱ -λ ₃q ⁱ

远方的白点越来越近，越来越大，它们乘风而来，在风与云中上下穿梭，隐隐伴着声声嘶哑的鸣叫，悲哀苍凛，不胜凄凉！

自《纲要》实施至今，我国的科技创新能力也在不断提升，高技术战略不断跟进并取得重大突破。例如，我国在载人航天和探月工程、载人深潜、超级计算、量子通信等领域均取得突破性创新成果，优异的创新成绩备受世界瞩目。毋庸置疑，我国已形成系统性的科学发展体系，并具备实施创新驱动发展战略坚实可靠的现实基础。

(10)

(11)

其中λ ₃₀为λ ₃的初始值。式(9)～式(11)构成了一个动态微分博弈系统，刻画了资源国内产量与进口量的动态变化，再据p =U ′(q ⁱ +q )及p ⁱ =a ₁-b ₁q -dq ⁱ 可以得到国内资源价格和国外资源价格的变化路径。

断奶时逐渐断奶5～7天，过渡期间，颗粒料采食量应不断上升。如果牧场监控犊牛生长速度，断奶后生长速度没有下降，跟以前持平或更高，那证明瘤胃发育非常好；若断奶前呈直线上升，断奶后出现下降，那说明瘤胃发育不好，意味着牧场至少要花一个月时间去补救，那么发情、配种、产犊等都会推后一个月，也就是说平白增加了一个月成本。所以在犊牛断奶前后阶段，牛奶要喂，开食料更要喂。

1.特殊效用函数下的资源价格变化路径。

假设效用函数为二次函数形式，表达式为：

在本级联模型中，对于给定的α，基于度的边定向策略能调整初始负载分布.在攻击使得具有最高负载节点失效之后，它的负载将被全局重新分配给其他节点，这又可能会导致新的节点故障和新一轮的全局故障传播.因此，如果故障节点的负载量较少，它的负载能更容易的被剩余节点吸收，诱发大规模级联故障的可能性将会降低.从这方面来说，初始负载的分布在不同边定向方法对级联故障的影响中起到了主导作用.

U (q ⁱ +q )=A (q ⁱ +q )-B (q ⁱ +q )²

(12)

设问题2的Hamilton-Jacobi-Bellman方程为：

V ₂(S )ρ ₁=

(13)

假设式(13)的值函数为B ₁S +C ₁，则有：

(14)

此即为国内产量对污染和进口量的最优反应函数。式中的系数可以将式(14)代入式(13)中采用待定系数法获得，限于篇幅，不再给出。问题3的Hamilton-Jacobi-Bellman方程为：

V ₃(S ,N )ρ ₂=

其中，ρ ₁为贴现率，S (t )为国内资源存量。求解问题2，构造Hamilton函数为：

(15)

假设式(15)的值函数为则有：

用光速来定义“米”，是长度计量科学史上的一次革命，具有非常重要的科学意义。光速作为一个精确的常数，可以提高长度计量的精度。

q ⁱ =

+B ₃+C ₃S )

(16)

此即为进口量对污染和国外储量的最优反应函数。V ₃(S ,N )中的系数可将式(16)代入式(15)中采用待定系数法求得。

下面通过数值模拟说明矿产资源成本、后备替代成本、贴现率及矿产资源初始储量对矿产资源的影子价格和替代时间的影响。Tahvonen(1996)^[16]将效用函数设为二次函数形式，本文类似设为U (q )=aq -bq ²，相关参数的取值为：a =800，b =40，c =100，c _r =140，ρ =0.03，S ₀=1 000。计算得到T =116.59，λ ₀=1.51，进一步进行灵敏度分析，得到表1中的结果。

当国内环境达到阈值，且国外资源储量较大，此时的能源投入量为q ⁱ ,q 满足国内开采量对进口量的最优反应为：

现在很多管理工作者注重制度化而忽视人性化，从而导致在管理过程中制度得不到很好落实的同时人性化也得不到很好地体现，人性化管理一定是在制度的前提下才可以谈，人性化的管理绝对不是不要制度，因此两者并不是对立的。制度化管理是人性化管理的基础，二者都不能少，没有制度就没有理论，要用人性化的思维制定管理制度，严格执行管理制度时可以有一些人性化的手段，如果制度没有人性，肯定是没有办法执行的，要做到公平公正。如果执行对所有人有利而破坏了规章制度，对自己也没有任何好处。

(17)

再求解问题3，其Hamilton函数为：

最优性条件为：

(18)

(19)

由式(18)得到最优进口量及国内产量为：

由于流量等参数的采样平均时间设定较长，加大了数据在平均时间内的真实性和可靠性、稳定性，但该系数的生成条件是必须在生产运行1.5 h后自动计算。

q ⁱ =

(20)

q =

(21)

由式(20)、式(21)可以看出此时资源价格变化遵循Hotelling法则，但是变化率为资源出口国贴现率，与可供出口的资源总量有关。

五、一个贴现率的选择方法

在上面的分析中可知，贴现率是Hotelling法则的重心，贴现率取值的大小实际上反映了当代人如何看待后代人的利益。因此贴现率的取值关系到后代人的福利，涉及代际公平问题。贴现率越小，越看重后代人的利益。虽然矿产资源是典型的耗竭资源，当代人用得多，后代人就用得少，但是后代人利用后备替代技术的机会要大于当代人，所以在考虑资源的跨期配置的时候应该把后备资源替代因素考虑在内。下面部分在考虑能源替代的基础上给出了一个贴现率的选择方法。

由Hotelling法则知道不同的贴现率表现为不一样的资源开采路径，假设在资源价格达到替代能源价格时，资源恰好消耗完毕，则可以通过选择合适的贴现率使得资源价值现值取得最大。若效用函数U (q )=Aq -Bq ²，p =A -2Bq ，根据Hotelling法则p =c +λ ₀e ^ρt ，从而令p =c _r ，则

(22)

又因为q dt =S ₀,即得到结合式(22)有

λ ₀=ρ (A -c )-(c _r -c )-2BρS ₀

(23)

(24)

(25)

此时在[0,T ]时间段中，令V =p (t )q (t )dt ，据p =A -2Bq ，再代入式(24)、式(25)可知V =V (ρ )，因而选择合适的贴现率可使得V (ρ )取得最大值，即最优贴现率ρ ^*应满足V ′(ρ ^*)=0。

六、结论

本文在经典Hotelling模型的基础上，讨论了储量、环境、代际公平等非市场因素的约束下矿产资源的最优开采路径，拓展了 Hotelling法则的应用范围，以期能够更贴近实际。结果发现：考虑后备资源替代时，资源的价格增长以后备替代资源价格为上限；考虑污染存量限制时，价格只是在某个时间段中符合Hotelling法则；在开放经济条件下，国内外资源价格变化更加复杂，均衡价格的水平受到进口国的环境污染水平及出口国资源存量水平的影响,当国内环境达到阈值时，国内外资源价格变化遵循Hotelling法则，变化率为资源出口国贴现率。文中最后将替代因素考虑在内，给出一种贴现率的选择方法。

矿产资源最优开采是一个复杂系统工程，涉及的宏观因素、微观变量较多，完全模拟矿产资源价格变化路径也存在很多困难，本文对技术进步、环境规制等考虑不够深入，这将是今后的研究方向。另外本文以理论分析为主，今后需要进一步进行实证分析，提高模型的实际指导意义。

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The Study on Optimal Exploitation of Mineral Resource:Environment Consfraint，Backstop and Hotelling Rule

CANG Ding-bang WEI Xiao-ping CAO Ming

Abstract : The optimal exploitation of mineral resources is very important to the allocation of resources and the sustainable development.Classic Hotelling model was a major means to discuss the optimal mining of mineral resources, but it was found that Hotelling rule was not always true in the reality.A main reason was that the model did not consider externalities of environment and backstop substitution.In this paper, some mathematical models were established to study the optimal exploitation path by dynamic optimization under the constraints of environment and backstop.The results shown that when the environmental constraint was not taken into account and the reserves of mineral resources was small, the resource price path follows the Hotelling principle and exits the market after higher than the reserve replacement price.In addition, the cost of mineral resources, reserve replacement cost had an impact on the substitution node.When considering environmental factors, if the pollution did not reach the threshold and the resource reserves were small, the price change reflected the environmental externality and scarcity, and the change rate was higher than the discount rate.When pollution reached the threshold and resources was abundant, the price remained unchanged to reflect the total energy consumption control, and then increased due to scarcity, following the Hotelling principle.Finally, when pollution reached the threshold and resource import existed, the price change was closely related to the discount rate of resource exporting country.

Key words : Mineral resource Optimal exploitation Externality Environment Backstop substitution

[收稿日期 ]2018-07-21

[作者简介 ]仓定帮,男，1980年8月生，中国矿业大学管理学院博士研究生，华北科技学院理学院副教授，研究方向为资源优化配置；魏晓平，女，1953年6月生，中国矿业大学管理学院教授，研究方向为资源优化配置及数量经济学研究；曹明，男，1977年1月生，中国矿业大学公共管理学院副教授，研究方向为资源优化配置。本文通讯作者为魏晓平，邮箱为Wei.xp@163.com。

[基金项目 ]国家社会科学基金一般项目“矿产资源跨期优化配置的政策工具研究”(项目编号：15BGL175);河北省数据科学与应用重点实验室开放课题“分数阶灰色预测模型及其应用研究”(项目编号：HBSJQ0707);煤炭协会指导类项目“煤炭产能过剩机理及去产能路径分析——基于信息不完全视角”(项目编号：MX2017HK021)。

感谢匿名评审人提出的修改建议，笔者已做了相应修改，本文文责自负。

[中图分类号 ]F407

[文献标识码] A

[文章编号] 1000-1549(2019)03-0085-07

(责任编辑：李 晟 张安平)

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