变废为宝，演绎精彩——浅谈数学教学中错误资源的有效利用，本文主要内容关键词为：变废为宝论文,浅谈论文,错误论文,数学论文,精彩论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“正确，有可能是一种模仿；错误，却大凡是一种经历”，错误是每一个人成长所必须经历的过程，同时，正确有效地指出错误也是初中数学教学的基本内容之一。然而，在实际教学中，许多教师为了追求课堂的“完美”，往往不顾“错误”这个生成资源，忽略了另一种“美丽的精彩”。那么，教师应如何变废为宝，演绎精彩课堂呢？在此，笔者将结合自己的教学实践，浅谈关于利用数学教学中错误资源的几点经验。
一、心“容”错误
数学学习过程实际上是一个不断提出假设、修正假设，使学生对数学的认知水平不断提高，最终趋于成熟的过程。学生出现错误是正常的，因为错误不过是学生在数学学习过程中所做的某种尝试。因此，教师要以“宽容心”对待学生的错误，进而巧妙、合理地挖掘错误资源。
案例1 学习“等腰三角形”后，复习课上，教师发现有一道题很多学生都做错了。
问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内的一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC。
图1
出示题目后，教师先让学生说一说自己的思路。
：因为OB=OC，所以AO平分∠BOC。再由等腰三角形“三线合一”即可证得。
师：用OB=OC为什么能说明AO是∠BOC的平分线？
：（理直气壮地）到角的两边距离相等的点在角的平分线上啊！
：你错把OB、OC当作距离了。我认为，可以取线段BC的中点D，连接OD。由AB=AC，进而由等腰三角形“三线合一”的性质即可证得垂直。
师：（慢慢地）这个方法很简明啊……
：（迫不及待地）我觉得他的证法不妥。连接OD，并不代表A、O、D三点共线啊！
（“一石激起千层浪”，学生恍然大悟。）
师：很好！那么如何来证明这三点共线呢？
：可以不用证明三点共线的，延长AO交BC于点D，这样就说明了A、O、0三点是在一条直线上。再利用“SSS”证明△AOB≌△AOC，利用等腰三角形“三线合一”即可证得。
（大家纷纷向投去赞赏的目光。）
师：不错！通过延长AO巧妙地避免了“三点共线”问题。还有其他方法吗？
……
分析：此案例中，学生能意识到AO与“三线合一”有关，体现了学生的直觉思维水平，但一些学生把直觉当成已知条件，如未加证明便默认A、O、D三点在一条直线上，或AO平分∠BOC。因此，教师有必要引导学生明晰直觉与逻辑论证的关系：直觉是发现的先导，解题方向往往产生于直觉，但还需要对直觉进行逻辑论证。这样，在教师的宽容、鼓励、引导下，学生的思维火花得以点燃，得到了更多的收获，也增强了学生学习的积极性和自信心。
二、灵“辨”错误
教师要引导学生从知识的定义、本质出发辨析错误，引导学生“对症下药”，找出错误的根源，并对问题进行深入挖掘，总结解法和一般性的结论。在典型错题的讲解中，可以先展示错误，暴露学生的思维，再通过辨析错误回顾解题思路，引导学生整理思维过程，寻找错误原因，使学生的思维更加条理化、精确化和概括化，解题过程清晰化。这种纠错方式能收到较好的效果，让学生以积极的心态去面对错误和失败。
案例2 在解一元一次方程时，学生易犯的错误有：误解“等式性质和分式的基本性质”；去分母时漏乘不含分母的项；去分母后，忘记将分子部分加括号；去括号、移项时出错；等等。
基于这些错误，笔者设置了一个“火眼金睛”的环节，让学生辨错：
想一想，这样的解法对吗？
解方程
解：方程变形，得
。
去分母，得2(10x-1)+10=5×3-x。
去括号，得20x-1+10=15x-x.
移项，得20x-15x-x=1-10.
合并同类项，得4x=-9.
即
。
学生经过仔细观察，发现了其中的错误：
(1)方程变形中，学生混淆了“等式性质和分式的基本性质”，将“1”也扩大了10倍；
(2)去分母时，“10”没有乘以10，“3-x”没有加小括号；
(3)去括号时，“10x-1”中的“-1”没有乘以2；
(4)移项时，-x从等号右边移到左边没有变号。
不同程度的学生发现的错误也是不同的，教师要对学生的正确判断加以鼓励、及时巩固，对于学生判断不出来的，可通过其他学生的讲解来认识问题所在，从而重新认知错误。
分析：这道典型例题中几乎包含了学生平时解一元一次方程时易犯的所有错误。在解决这道问题之后，教师可以让学生在每次解决此类问题前，联想此题，进行反思，从而有助于学生巩固正确的解题思路和方法，预防错误的再次出现。教材中的例题通常都是正例，是规范解题的范例。同时，像这样的错误辨析也是非常必要的，能从另一个角度加深学生的理解。因此，在平时的教学中，应注意将正、反例相结合，以有助于学生更好地掌握所学内容。
三、活“用”错误
错误在一定程度上反映了学生的思维水平和真实的想法，是一种有价值的资源。通常，学生的错误中也包含着一定的合理成分。教师应善于活“用”错误，发现错误背后隐藏的教育价值，引导学生对错误进行分析、评价，让学生从错误中深化认知、领略成功，
1.活“用”错误，提升学生的自主探究能力
教学中，可以让学生以小组合作学习的方式进行合作纠错，使不同的学生都能积极主动地表达观点、发现错误、思考错误、反思错误，综合运用多种交流方式，不断提高学生的自主探究能力。
案例3 在教学“二元一次方程”时，让学生以小组合作学习的方式进行纠错。
判断下列式子是否为二元一次方程？
：我认为只有式子(2)是二元一次方程，其余的都不是。
：式子(3)也是二元一次方程。因为它有两个未知数，并且次数都是一次。
：你的理解是错误的，单项式的次数是把所有未知数的次数相加，这里“xy”的次数是2。
（拍了拍后脑勺，点头称是，急忙在作业本上订正错误。）
：我觉得式子(6)可以先化简合并为
，根据定义可确定它也是二元一次方程。
：我来说说式子(4)、(5)吧。(4)是个代数式，不是方程，更不是二元一次方程。(5)好像是二元一次方程，我不太确定。
：式子(5)中只有两个未知数，但y在分母处，是个分式，所以它不符合整式这个要求。
……
分析：在小组合作学习中，学生对二元一次方程定义的3个关键点（两个未知数、最高项的次数为一次、整式）有了更深入的理解，真正实现了“不同的人在数学上得到不同的发展”。这里应注意的是，教师要让不同程度的学生都有发言的机会，让学生暴露“错误”，然后利用错误找到学习新知的切入点和自主学习的探究点，使学生在小组合作中都能得到提高。
2.活“用”错误，提升学生运用数学思想方法的能力
具有方向性和规律性的数学思想，是数学方法的灵魂，数学思想是蕴含在解题过程中的。教学中，教师应适时引导学生，让学生在纠错过程中理解各种数学思想方法，从而起到“画龙点睛”的作用。
案例4 在“一次函数”的复习课中，有题目如下：
如果函数y=ax+b(a＜0，b＜0)和y=kx(k＞0)的图象交于点P，那么点P应该位于()。
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
经观察了解到，有许多学生通过联立方程组
来求交点，但由于受a、b、k的干扰，消元目的不明确而不能求出x和y。另外，一些学生没有想到运用数形结合的思想来画出交点的大致位置（如图2所示）。
图2
这里，对于涉及“多元”的问题，学生未能灵活地运用主元消元法突出问题的主要矛盾，解出x和y；同时，学生主动运用数形结合思想使抽象问题具体化的意识不强。在讲解时，教师应注重渗透数形结合的思想方法，并帮助学生分清“主元”和“次元”，理解主元消元法。
3.活“用”错误，了解学情，增强教学针对性
案例5 在教学“解直角三角形”时，教师出示例题：
如图3，四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=______。
图3
教师首先让学生独立思考并计算，之后，教师将学生解答的各种情况进行整理，主要有以下4种：
(1)延长AB、DC相交于点E（如图4所示），将问题转化为含有特殊角的直角三角形，经计算可得
；
图4
(2)部分学生对于需要添加辅助线思路清晰，目的是把四边形转化为三角形，但只想到分割的方法，而连接AC或BD都会破坏已知的特殊角度条件，使思维走入“死胡同”；
(3)有些学生想到作辅助线，但方向不明确，盲目尝试。如过点B作BE⊥AD，或延长DC再过点B作BE⊥CD等，其结果是思维混乱，解题失误；
(4)由于题干中给出的不是特殊四边形，一些学生感到束手无策，没有思考的方向。
了解了学生的不同情况后，在教学时就有了针对性，这时，可以因人而异，进行分层处理：
第(1)类学生不用教就已经会求解问题了，这时教师可以进一步引导他们进行反思、总结，看有无他解，为什么会想到这种作辅助线的方法；
第(2)类学生已有图形转化的意识，但是在分割受阻的情况下未能想到用补形的方法，教师可建议这部分学生进行一定的题型训练来提高思维的灵活性；
第(3)类学生的图形转化能力欠缺，需要教师的引导和帮助，教师应引导他们思考：其实陌生或复杂的图形一般都可以转化为三角形或特殊四边形来解决，添加辅助线的目的就是转化图形，建立已知和未知的联系；
第(4)类学生解题意志力薄弱，轻言放弃，不愿尝试。应引导这部分学生理解：此题若能尝试各种辅助线的添加方法，同时具备解直角三角形的知识储备，便不难求解。
四、反思错误
教学中，教师要积极引导学生对自己的错误进行反思，通过反思知识理解是否深刻，解题思路是否合理、严谨，解题方法是否有创造性等，让学生在反思中体验，在体验中提升能力。
1.反思错误原因，培养思维的严谨性
思维的严谨性即思维过程的严密性，体现在解题过程中对推理论证、计算等语言表达的清晰、严谨、科学。对于学生出现的思维混乱、表达不清、以偏概全、忽略条件等问题，要让学生敢发言、多表达，引导学生在不断的反思过程中内化知识，构建更加清晰、稳定、系统化的知识结构。
案例6 在“相似三角形”的专题复习中，有如下题目：
如图5，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。当DM=______时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
图5
教学中发现，此题学生的漏解现象较为严重，于是教师让学生来反思、讨论自己漏解的原因。
：看了图5，我以为就这么一种情况，所以直接由给定的图形确定相似三角形对应边的关系，导致了漏解。
师：如何防止“把运动变化的图形当成静止的图形”呢，题目中有无相关提示？
：题目中“在CD、AD上滑动”中的“滑动”两个字，就意味着△MDN的形状是可以改变的，因此要进行分类讨论。
：我将“△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似”结合图形理解为“△ABE∽NDM”，因而确定只有一种对应关系，导致了漏解。
：我是意识到要进行分类讨论，但画不出另一种情况，找不准对应关系而出错。
：这道题涉及根式和比例式的运算，我的计算能力弱，是算错答案了。
……
分析：这里，学生处理不好“动”与“静”“瞬间”与“过程”的辩证关系，把特殊当一般，而导致了漏解。对于运动型问题，往往采用“动中取静，以静制动，动静结合”等方法，这就要让学生明确：给定的图形其实是变化过程中的某一瞬间状态，这类问题通常需要通过分类讨论来解决。在平时的教学中，教师要让学生勇敢地说出自己错误的原因，对自己解题时的思维过程进行批判性回顾、分析和检查，以培养学生思维的严谨性，提升学生的思维能力。
2.反思解题方法，培养思维的创造性
培养学生思维的创造性，要求教师在提高专业水平、钻研教材之时，还要能利用学生经常出现的错误，提出“标新立异”的问题，引起学生的强烈反响，激发创新灵感，从而培养学生思维的创造性。
（这时，台下的学生开始小声议论。）
教师立即问：的解法对吗？如果不对，错在哪儿呢？
：他“张冠李戴”地把方程变形用在解计算题上了，乘以(x+1)(x-1)去分母。
的话音一落，就有部分犯同样错误的学生开始忙于纠正。于是教师“顺水推舟”，“将错就错”地启发学生：刚才很多同学都把分式的化简当作分式方程来解，虽然解法错了，但是给了我们一个启示，若能将该题去掉分母来解，其“解法”确定会简洁明快。因此，我们能否考虑利用方程来解呢？
经过学生的思考、讨论，一个新颖的解法就出来了：
分析：此案例中，学生理解了“方程变形”和“分式通分”之间的区别，更重要的是教师没有让错误“溜走”，而是发挥出错误应有的价值：将化简转化为方程来求解，引发学生的思维冲突，培养学生的创造性思维。学生犯错的过程本身就是一种尝试、创新的过程，教师要客观、辩证地分析学生的错误，剖析学生“错解”中的合理成分，研究错误的起因与正确方法之间的联系，然后把“错误”及时、合理地加以运用。
有效的数学学习来自于学生对数学活动的参与，错误是学生思想、经验的真实展示，教师要用一颗“宽容心”去正确对待学生在学习中出现的错误，并巧妙、合理地挖掘“错误”资源，让学生通过自我探索、自我体验等方式，引导学生从纠错中领略成功，使纠错成为一次新的学习。因此，“错误”也是一种宝贵的教学资源，教师应在“容错”“辨错”“用错”“思错”的探究过程中变“错”为宝，演绎出精彩的课堂！