哲学研究
多模态逻辑基础理论研究的基本问题
赵 贤，胡小伟
(河北大学 哲学系，河北 保定 071002)
摘 要 ：多模态逻辑是关于“包含多种模态的逻辑”的研究，它的系统内包含两种或两种以上模态算子，并且算子间不可归约。多模态逻辑旨在为研究多种类型的模态提供统一的形式框架，其基础理论是模态逻辑理论体系的重要组成部分。多模态算子及其表述、多模态逻辑的研究视角、多模态逻辑系统的分离性以及多模态逻辑的语义选择是多模态逻辑基础理论研究的基本问题，上述问题的澄清与解决将有助于多模态逻辑理论的进一步发展。
关键词 ：多模态；模态算子；公理模式；分离性；语义
真势的、时态的、道义的、认识论的、动态的……模态的存在导致了不同模态逻辑理论的产生，这一直是20世纪50年代末至今模态逻辑学家研究的主题。但是，这些不同模态逻辑系统的研究和发展都是相对独立的，即对于不同类型模态的研究都是相对独立的，除了少数人的工作之外，很少有人在一个逻辑框架(系统)内同时对几种不同模态进行研究。20世纪70年代，著名计算机科学家、数理逻辑学家、图灵奖得主斯科特(Scott D)指出：“我所认为的模态逻辑研究中出现的最大的错误之一就是仅仅关注于包含一个模态的系统的研究。想要获得关于道义逻辑或认知逻辑一些哲学意义上的成果的唯一途径就是将它们的算子与时态算子相结合(否则如何制定变化原则)，或与真值算子相结合(否则如何区分相对和绝对)，或者与类似历史或物理必然性的算子相结合(否则如何将理性人与具体的环境相结合)，等等”[1]。斯科特强调对不同类型模态算子在同一逻辑系统中的交互作用进行研究，即多模态逻辑的研究。
多模态逻辑是关于“包含多种模态的逻辑”的研究，它的系统内包含两种或两种以上模态算子，并且算子间不可归约。多模态逻辑旨在为研究多种类型的模态提供统一的形式框架，其基础理论是模态逻辑理论体系的重要组成部分。本文将从语形和语义两个方面对多模态逻辑基础理论研究中的若干基本问题进行讨论。
一、多模态算子及其表述问题
多模态逻辑研究的主要任务是从方法论层面构建多模态逻辑的一般系统，并研究一般系统的可靠性、完全性、可判定性等基本性质，从而为构建具体的多模态逻辑系统提供指导。构建多模态逻辑一般系统面临的首要问题是给出一套多模态形式语言，这套语言可以对多种模态进行表述。一般认为，多模态语言是在一阶逻辑语言的基础上通过添加任意模态算子(集)得到的。因此，在对多模态逻辑研究的过程中，将采用单模态逻辑的做法，用算子表示模态，从严格语形的角度来分析多模态算子及其表述问题。
严格语形的角度即从多模态语言的层面进行分析，而不考察模态本身的哲学意味。模态算子是一种非真值函项算子，即包含任意模态算子O的模态命题Op的真值不能简单地从p的真值来估算。多模态逻辑是包含多种算子的逻辑系统，这也就是说，多模态逻辑是单模态逻辑通过添加更多算子得到的一种扩展。多模态语言的初始符号、公式形成规则及一些基本定义是在单模态语言的基础上添加能够表述多种模态的算子集以及模态算子的若干形式运算得到的，如“合成”“并”运算等。
从形式化角度来看，对多模态算子进行表述的方法主要有两种。一种表述方法是直接表述，在这种表述方法中，所有算子的形成直接由模态概念的性质决定。在多模态语言中，模态算子代表的就是其对应模态的性质，因此可以使用单模态逻辑中常用的符号。如用□和◇表示真势逻辑中的“必然”和“可能”算子，用O、P、I表示道义逻辑(也称规范逻辑、义务逻辑[2])中的“义务”“允许”和“禁止”算子，用K、B表示认知逻辑中的“知道”和“相信”算子，用F、G、P、H表示时态逻辑中的算子等。这种表述方法可以根据模态概念的性质直接定义算子的性质，因此比较符合人们的直观，使用这种表述方式也可使人们从直观上理解模态算子间的交互作用。
另一种表述方法是间接表述，在这种表述方法中用模态参数表述模态算子。这种表述方法较为抽象，主要参考了动态逻辑中模态算子的表述方法。其中，任意模态算子被记作[α]、〈α〉，其中α不再表示程序，而表示模态参数或模态维度。用模态参数对模态算子采取统一的表述，各种类型的(多)模态逻辑系统有统一的模态表述符号，使用这种表述方式得到的结论更为普遍和简洁，其缺点就是较为抽象，不符合直观。
从模态交互作用公理的视角研究多模态逻辑一个重要的问题就是模态交互作用公理的选择及刻画。模态交互作用公理的主要来源是模态交互作用原则的形式化。应该考虑什么类型的模态交互作用原则，能够考虑什么类型的模态交互原则，这类模态交互作用原则对模态间交互作用情况的描述能力如何等，上述问题都是选择、刻画模态交互作用公理时应该考虑的问题，也是多模态逻辑研究的一个较为基本的问题。基于多模态逻辑基础理论研究的主要任务是为研究各种类型的模态定义一般的形式框架，目前，多模态逻辑基础理论研究的一般思路是，选择相对广泛的模态交互作用公理(模式)，基于上述公理(模式)构建多模态逻辑一般系统，进而对该系统的完全性、对应性、可判定性等元逻辑问题进行研究。
取同一批供试品溶液各 10 μL，分别于1.4，1.5，1.6 mL/min流速下进样，测定的有关物质结果分别为0.05%，0.06%，0.06%；在流动相V（磷酸盐缓冲液）：V（甲醇）：V（四氢呋喃）分别为 575∶335∶90，587∶323∶90 与 600∶310∶90 的条件下进样，所测定的有关物质结果分别为0.07%，0.06%及0.06%；将色谱柱更换为DikmaInertsilC8（4.6 mm×75 mm，3 μm），测定的有关物质结果为0.05%。上述试验结果表明该方法的系统耐用性良好。
二、多模态逻辑的研究视角问题
托马斯(Thomason R H)指出，经验表明，在一般情况下，性质不同的概念的一个汇集不仅仅是与这些概念相关的理论的一个简单的叠加[3]206。多模态逻辑中包含多种模态，基于不同的模态可以构建不同的单模态逻辑，但是，多模态逻辑不是多个单模态逻辑的简单叠加。不同的模态在同一逻辑系统中发生交互作用后，会使得这一系统具有新的性质。多模态逻辑研究的核心问题之一就是考察不同模态在同一系统内的相互作用关系。
例如，在认知逻辑系统中，知道算子和信念算子之间的交互作用满足以下原则：
如果i知道p，那么i相信p。[注] i, j…表示任一认知主体，p, q…表示任一命题。
基于前文提到的模态算子的第一种表述方法，上述知识算子与信念算子的交互作用原则可以表述为：
这一原则在认知逻辑中较为常见，它涉及知道算子和信念算子之间的交互作用关系。除了这一原则外，知道算子、信念算子以及道义算子之间的交互作用关系还可能满足如下原则：
该案的特殊性在于其是以长期持续的冒用他人名义所侵害者并非仅仅为姓名权的内容，而是由姓名权引起或者与之相关联的其他更为重要的价值和利益，因此，倘若仅以姓名权为被侵害之对象，则其在侵权损害之救济与社会舆论之平息方面会大打折扣。基本权利的资格意味着“可以被用来对抗国家行为、赋予公民请求权以要求国家有所行为，也可以被用来保障公民有权参与国家管理”，“可以为具体制定法的解释设立标准，亦可保障某项法律制度得以延续”，特别是体现了国家对于基本权利的保护义务，即“国家有义务保护各个具体的基本权利及其中所包含的价值判断”[22]。
(2)如果i知道j不知道p， 那么，i知道p。[注] 原则(1)和(2)表达了一个简单的事实，即i说“ j知道(或不知道)p”都可以推出说话者i自身知道p。
(3)如果i相信p， 那么，i知道i相信p。[注] 这是知识对信念的自省原则。
原原本本学思想。理论武装是管根本、保方向的基础性工作。要进一步健全完善学习制度，自觉用习近平新时代中国特色社会主义思想武装头脑，切实在学懂弄通做实上下功夫，绝不能一阵风、走形式、喊口号、做样子。要继续往深里学、往实里学、往心里学，深刻把握贯穿其中的马克思主义立场、观点、方法，不断提升运用科学理论指导工会工作的水平。
(4)如果i相信p， 那么，i相信i知道p。[注] 这一原则表明，i可能自欺欺人，或者可以说“信念自认为是知识”。
(5)i不会既相信p又相信非p。
(6)如果i不知道p是被禁止的，那么，i相信p是被允许的。
多模态逻辑基础理论研究的另外一个重要问题就是语义选择问题。什么类型的模型可以用来解释多模态逻辑，这种类型的模型是否对于解释各种类型的模态具有普遍适用性，这是多模态逻辑的语义选择问题。
(8)如果i知道p是必然的，那么，i相信p不可能是被禁止的。
在多模态逻辑中存在很多这种类型的交互作用原则，其中模态算子间的交互作用原则依赖于具体模态的内涵，因而它们看起来是直观有效的。而这些交互作用原则也将成为包含上述种类模态算子的多模态逻辑系统的初始公式(公理)。此外，还可以研究一些具体情境下的不同模态算子之间的交互作用关系。例如，下述交互作用原则可以用来描述一组具有认知能力的理性人之间良好的沟通关系：
如果John知道p，那么，Pierre也知道。[注] 因为John告诉了Pierre，他们是好朋友。
如果Mary相信p，那么，John也相信p。[注] 因为John是个特别轻信的人，他相信别人说的任何事情，或者John非常喜欢Mary，他对她是盲目的信任。
传统单模态逻辑系统的构建方式是围绕着一些具体的特征公理，如自返性公理、传递性公理等构建具体的模态逻辑系统，多模态逻辑一般系统的构建方式与之类似。基于模态间的交互作用原则的直观有效性，对其进行形式刻画，即可作为模态交互作用公理从而成为构建多模态逻辑系统的特征公理，这是构建新的多模态逻辑形式系统的关键。模态交互作用公理通过联合不同的模态算子，从而描述不同的模态交互作用之后形成的新性质和新特征。对模态算子间的交互作用原则进行形式刻画，即定义模态交互作用公理，这是多模态逻辑基础理论研究的一个重要视角。
一是高台县大多数农产品出口企业对中亚国家的情况缺乏深层次的了解，农产品市场信息不对称，企业拓展市场难度和成本大，与国内外大客商进行洽谈合作的渠道不畅，企业向西开放的积极性不高。二是高台县农产品物流体系建设滞后，特别是冷链物流缺乏。物流成本高，导致农产品出口成本居高不下，严重制约了高台县农产品出口竞争力。三是高台县出口企业规模小，贸易方式单一，边境小额贸易方式居多，大多处于分散经营的状态，且出口的农产品绝大部分为初级产品，产品档次低、技术含量少、附加值小。
(1)Ki Kj p →Ki p
(3)B i p →Ki B i p
删除训练集中已有的样本时，采用减量式(或“遗忘”)算法。当样本xc在集合R中，如果它对SVR的解无作用，将其从训练集中移除时影响不大，且不需要调整。另一方面，若xc有一个非零系数，则将这个非零系数的值逐渐减少为0，同时确保训练集中的其它样本依然满足KKT条件。
(3)水溶性硫酸盐金属阳离子的电荷数决定了硫酸盐溶液中是否能形成接触离子对，进而影响TSR反应的难易程度。电荷数越高，TSR反应越容易发生。因此，含有Al3+的硫酸盐溶液体系比含有Mg2+、Ca2+的硫酸盐溶液体系更容易发生TSR反应生成H 2 S。
(2)K i 
Kj p →Ki p
(4)B i p →BiKi p
2.2.3 不同分娩方式对盆底肌力治疗前后的影响 不同分娩方式之间相比较，盆底肌力在治疗前后均无统计学差异(均P>0.05)，故认为产后盆底肌力减退治疗前后的变化与分娩方式无关。见表12。
(5)(B i p ∧Bi p )
(2) 若L2(Γ(n);η), ∀R+,则显然有s f(·,s)L2(Γ(n-1);η),即的作用是将函数进行了“湮灭”。
要与企业文化一脉相承。不同企业各具一格，拥有不同的企业文化，顶岗实习学生只有深入了解企业文化，不断学习，才能提升职业素养。思政教育工作者也要学习企业文化，在课堂中指导学生，促进学生职业道德的发展。
(6)Ki Ip →Bi Pp
(7)(Bi p ∧p )→○(Ki p →Bi p )[注] 这一公式中的○是线性时态逻辑中的算子，表示“……将会是真的”。
(8)Ki □p →Bi ◇Ip
在多模态逻辑基础理论的研究中，多模态算子的上述两种表述方法都会使用。在说明具体的多模态逻辑系统的性质特征时，会使用第一种表述方法。为了使多模态逻辑的一般结论更具普遍性，在构建一般的多模态逻辑系统及给出相关结论时会更多使用第二种表述方法。
假定有两个协变量X1，X2，其中X1为连续型变量，X2为二分类变量，X1～N(10,32)，X2～B(n,0.5)。模拟过程如下：
三、多模态逻辑系统的分离性问题
在多模态逻辑的公理化系统中，不同的模态算子有不同的演绎方式，即与不同模态算子相关的(单)模态系统(子系统)是不同的。例如，有的多模态系统同时包含T 类型的模态算子□1，S 4类型的模态算子□2，以及KD 类型的算子集
等。从一般意义上考察多模态系统的公理化，则面临下述问题：在何种程度上一个多模态系统可以被看作是多个(单)模态系统的叠加？或者，已知多模态公理化系统L及其语言中的任意算子O ，如何得到与O 相关的子公理化系统？这一问题即多模态逻辑系统的可分离性问题。
多模态逻辑系统的可分离性问题主要关注多模态公理化系统及其子系统之间的关系问题。不同类型的多模态逻辑系统对这一问题的回答不同。根据多模态系统内模态算子、公理及规则的组合方式，多模态系统可分为包含交互作用的系统和不包含交互作用的系统。多模态逻辑基础理论研究将分别考察这两类公理化系统的可分离性问题。
首先，需要严格定义区分包含或不包含交互作用系统的标准。如果模态交互作用公理涉及不同的模态算子O 1，…，O n ，那么系统的定理及推理规则都会有所涉及；如果该公理化系统包含(或不包含)涉及不同类型模态算子交互作用的公理或推理规则，则被称为包含(或不包含)交互作用的多模态公理化系统。
其次，根据多模态公理化系统的性质及公理化可分离性的定义，通过归纳证明不包含交互作用的多模态公理化系统是可分离的。对于包含交互作用的多模态公理化系统而言，不同模态算子的演绎方式会因其算子间的交互作用发生变化，而导致包含交互作用的多模态公理化系统不可分离[4]。
最后，在多模态逻辑系统的可靠性和完全性结论的基础上，定义一个具体的标准去判定一个具体的多模态公理化系统是否可分离。对多模态逻辑系统的可分离性进行研究，是进一步精确分析多模态系统的一般性质、多模态系统与其子系统之间的关系，研究多模态逻辑相关结论的“渐增参考(cumulativity)”问题的重要基础，是研究多模态逻辑基础理论的重要方面。
四、多模态逻辑的语义选择问题
(7)如果i相信p但p是假的，那么，i将会继续相信p只要他不知道p是假的。[注] 这一原则表明，只有否定的事实才会使得i放弃自己的信念，或者说i会一直相信p除非“他证明不是这样……”。
在克里普克语义学中，模态算子按照以下方式加以定义。用U表示可能世界的集合，用R表示可及关系：如果一个命题p在可能世界x中是必然真的，那么，在与x世界具有R关系的所有可及世界中，p是真的。一个较为自然的想法就是将这种语义学推广到多模态逻辑中。假设一个模态算子对应一个可及关系，由此能够得到多关系结构〈U,{R1,…，Rn }〉，其中U表示可能世界集，R1,…，Rn 表示不同模态算子对应的可及关系。多关系结构可看作是通常意义上的克里普克语义结构在多模态逻辑中的“自然”扩展。这种类型的语义被称为多关系语义，一般选择这种语义对多模态逻辑进行解释。
(1)如果i知道j知道p， 那么，i知道p。
多关系语义是比较符合直觉的语义，它的模型为M=〈U,
,V〉，其中U是可能世界的集合，是在U之上的二元关系的集合，即{R1,…，Rn }，V是在U之上的一个赋值。在一定意义上，多关系语义的模型是“典范的”，并且具有比较深层次的代数结构。在多关系语义中，由任意模态参数
形成的模态算子[a]和〈a〉的真值条件可在模型M中通过公式(M,x )
〈a 〉α ⟺(∃y ∈U)(x Rα y ∧(M,y )α )和(M,x )[a ]α ⟺(∀y ∈U)(x Rαy→(M,y )α )定义，其中Rα 是与模态参数相关联的二元关系，α 是任意合式公式，x ,y ∈U。
4）铁肥。基肥可亩施硫酸亚铁 15～20 kg，与充分腐熟的有机肥混合施入；喷施可在生长前期用0.5%硫酸亚铁+0.5%尿素混合连喷3～5次，或用螯合铁500～800倍液喷施。
多模态逻辑中涉及到模态算子的运算，从语义层面看，模态算子的运算实际上是模态算子所对应的二元关系的运算。模态算子和二元关系的联系是多方面的。首先，模态算子之上的运算与其所对应的二元关系之上的运算相“对应”，即这两个层面的形式运算是相对应的。其次，一般来说，由特定的模态算子交互作用公理所构建的多模态逻辑系统的完全性问题，与该模态交互作用公理所对应的框架的二元关系性质相对应[注] 例如，在模态逻辑中，公理□p →p 与自返关系R是对应的，公理□p →□□p 与传递关系R是对应的。。最后，上述完全性问题就会产生对应性问题和系统的决定性问题，与之对应的就是上述二元关系的一阶性质所对应的这些问题。因此，对于多模态逻辑系统的语义研究，很自然地就会转向对多关系语义中二元关系运算的研究。需要注意的是：正是因为从单模态逻辑到多模态逻辑研究的扩展，导致了对二元关系的运算进行深入地研究。事实上，这种研究开拓了模态逻辑和克里普克语义学之间很多新的联系，并且由此可以给出一些更为简洁的完全性和对应性理论的结论。
3.1.1解剖结构因素 从解剖结构上来看，这些漏误诊的病例中大多数都是解剖结构比较复杂，在X线平片上重叠组织较多。本例较多的肋骨骨折漏误诊中，由于肋骨的走形弯曲且本身多个部位相互重叠，还与肺纹理重叠，与胸部、背部褶皱的皮肤重叠，有的位于膈肌上方，有的位于膈肌下方，还有的肋软骨钙化、有的不钙化。所以细微的骨折容易漏诊，与局限性皮肤褶皱影重叠区及肋软骨钙化与肋骨的结合部容易误诊。
多关系语义凭借其直观的特性和相对广泛的适用性在多模态逻辑研究中发挥重要作用，但是，多关系语义仍存在一定的局限性，它不适用于某些类型模态的解释。比如，多关系语义无法给时态一个满意的解释，时态算子以及时态算子和其它类型算子的联合可能需要更为复杂的语义结构去解释。此外，在一些具体的系统内，如时态逻辑系统[5]和认知逻辑系统[6]内，也出现了一些多关系语义的替代品。如〈U1,…，Un ,R 1,…,R n 〉类型的结构[注] 这种类型的结构被称为多维结构。 ，其中Ui 表示可能世界集，Ri 表示在Ui 之上的二元关系。除此之外，还有更为复杂的结构[3]222。从逻辑的角度来看，一个需要研究的问题是这些不同语义之间的关系。已知一个给定语义下的模型M，以及其它语义下的模型M′，若M和M′可以验证同一个公式(即这一公式在这两种模型上都是有效的)，那么，这两种语义之间是否具有等同关系。不同语义对应的不同类型的模型分别适合什么样的多模态逻辑系统，这是多模态逻辑基础理论的语义研究中需要考虑的另外一个重要问题。
多关系语义对多模态逻辑而言可能不是最好的选择方案，但是作为一个可参考的语义解释，它仍旧能够为多种类型的模态及其联合提供解释。因此，它具有相对广泛的适用性。与此同时，探索其它类型语义，通过综合比较多种语义进行进一步的研究，即不同类型的模型之间是否存在等价关系、不同类型语义的适用性问题等，这也是多模态逻辑基础理论研究的一个重要方面。
结 语
综上所述，在一般情况下，与多模态逻辑研究相关的语形和语义问题又可以分为下述两种类型：
(1)在何种情况下，单模态逻辑的某些方法和结论可以直接推广到多模态逻辑中？
(2)什么样的问题是只有在多模态逻辑情况下才会出现的？
问题(1)已经涵盖了多模态逻辑研究大部分的问题。实际上，模态逻辑现在发展的技术水平相对而言已经很高，但是，要想在很短的时间内把在单模态逻辑中获得的一些方法和结论推广到多模态逻辑中还是有一定困难的，这需要长时间的研究和构建。但是，这一工作是不可避免的，这涉及到逻辑系统的完全性问题，可判定性问题，模型论以及对应性问题等结论的推广。因此，非常有可能的是，如(1)关注的那样，多模态逻辑具有许多类似于单模态逻辑的方法和结论。通过抽象概括单模态逻辑一些标准的方法，可以有效地得出多模态逻辑系统的一些完全性、对应性、可判定性结论等。
问题(2)更加具有开放性。正如上文已经提到，在多模态逻辑中有许多问题是先验的，这主要包括：上文提到的模态算子的交互作用问题；模态算子的形式运算和实际运算问题(如果采用参数概念的话，就是模态参数之上的形式运算和实际运算)；多模态逻辑与二元关系理论的关系；包含不同模态算子的子系统的相关语形语义问题；多模态逻辑系统的多种语义解释问题等。
在当前全球经济一体化趋势越来越明显的背景下，开放的国际市场对于我国编辑出版既是难得的机遇同时又面临着挑战，国家的原始创造力不足，就难以针对自身发展的经济结构和贸易战略作出及时、有效调整，难以越过发达国家强势的文化壁垒，不断压缩自身的生存空间，丧失主体文化占据主流的地位。为了保证我国的编辑出版业在国际范围内保持优越地位，避免我国文化被边缘化的风险，现阶段唯一的出路就是培养创新型人才，提升编辑出版创新能力。为了适应这一时代发展趋势，首先要做的就是解决高校在培养创新型人才过程中遇到的问题，站在国家编辑出版行业发展的高度上，对高校的课程体系做出调整。
多模态算子及其表述、多模态逻辑的研究视角、多模态逻辑系统的分离性以及多模态逻辑的语义选择等问题是目前多模态逻辑基础理论研究的基本问题。多模态逻辑是模态逻辑基础理论的重要组成部分，研究多模态逻辑基础理论有助于构建全面、完整的模态逻辑理论体系。同时，研究多模态逻辑有助于进一步发挥其方法论功能，促进其在理论计算机科学、人工智能、博弈论、多主体认知等领域内的应用[7]。
[参 考 文 献]
[1]SCOTT D.Advice on Modal Logic[M]//Philosophical Problems in Logic:Some Recent Developments,Dordrecht: Reidel,1970:143-173.
[2]刘叶涛.从逻辑的观点看道德悖论[J].河北大学学报(哲学社会科学版),2018(4):43-49.
[3]THOMASON R H.Combinations of Tense and Modality[M]//Handbook of Philosophical Logic,Vol.VII,Netherlands:Kluwer Academic Publishers,2002:205-234.
[4]赵贤.多模态公理化系统的可分离性研究[J].重庆理工大学学报(社会科学版),2014(9):19-23.
[5]EMERSON E A.Alternative Semantics for Temporal Logics [J].Theoretical Computer Science,1983(26):121-130.
[6]HALPERN J Y,VARDI M Y.The Complexity of Reasoning about Knowledge and Time:Extended Abstract [M]//Proc. Annual ACM Symposium on Theory of Computing,1986(18):304-315.
[7]赵贤,张燕京.多模态逻辑的研究动因及意义[J].河北学刊,2015(4):28-31.
The Basic Problems in the Study of Basic Theory of Multimodal Logic
ZHAO Xian, HU Xiao-wei
(Department of Philosophy, Hebei University, Baoding, Hebei 071002, China)
Abstract : Multimodal logic concerns with the study of logic that contain a variety of modalities. The systems of multimodal logic contain two or more unreducible modal operators. The study of multimodal logic can provide a unified formal framework for the study of many types of modalities. The basic theory of multimodal logic is an important part of modal logic. The multimodal operator and its representation, the research perspective of multimodal logic, the separability of multimodal logic systems, and the choice of semantics of multimodal logic are basic issues in the study of the basic theory of multimodal logic. The clarification and resolution of these issues will help the further development of multimodal logic.
Key words : multimodal; modal operator; axiom schema; separability; semantics
中图分类号 ：B815
文献标识码： A
文章编号： 1005-6378(2019)02-0038-05
DOI: 10.3969/j.issn.1005-6378.2019.02.006
收稿日期 ：2018-05-16
基金项目 ：河北省社会科学基金项目“多模态视域下的社会决策逻辑研究”(HB16ZX006)
作者简介 ：赵贤(1986—)，女，河北雄县人，哲学博士，河北大学哲学系副教授，主要研究方向：哲学逻辑与逻辑哲学。
【责任编辑 吴 姣 】