用于连续抽样方案的两类更优的中止规则，本文主要内容关键词为：两类论文,规则论文,方案论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O212
引言
概括地说，连续抽样方案CSP-1，CSP-2，CSP-T[1]及CSP-V[2]均可被视为100%检查（简称全检，简记FI）与抽样检查（简称抽检，简记SI）之间的转换（下文以符号→表示转换），其中SI→FI的转换程序（又称转换条件）随方案类型的不同而异，但各类方案的FI→SI程序是完全相同的[3]。即当B=“FI中连续检出i个合格品”发生时转入SI，这里，参数i随方案的检索指标AQL[1]和f的不同而不同。例如，对于AQL=0.4,f=1/10的CSP-1,有i=207；对于AQL=0.65,f=1/25的CSPT，有i=217等。可以验证，当被提交的一系列单位的过程平均不合格品率P(0＜P=1-q＜1)较小，如P=AQL时，全检期的平均长度[3]Eτ(P)=(1-q[i])/(pq[i])较小，而当p处于极限质量水平LQ时，相应的Eτ(P)取值是很大的。例如，对于上述CSP-1方案，分别有Eτ(AQL)=327及Eτ(LQ)=4206。可见，当生产过程不处于质量控制状态[3]，尤其是当p值由较为理想的水平（如AQL）增大到被认为不能接受的水平（如LQ）时，相应与FI→SI的全检数量将是很大的，此时的检查乃至生产都将是不经济的，这就需要依据某种随机事件（称为中止事件，简记D）在方案原有的转换程序中添加一种能获得p值增大信息的特定规则（称为中止规则，简称规则）。依据这种规则，一旦D发生，便中止检查（简记DI）和生产过程，并寻找和排除P值过高的根源。
添加D后，FI→SI的转换程序变为：若B先于D而发生，则转入SI；在相反的情况下，转入DI。
对中止规则问题的一个起码要求是，中止事件的添加必须保持方案原有的基本统计特性。即添加之后，方案原有的三个基本函数[3]不变，否则所作的讨论将是无意义的。文[4]理论性地证明了[1,2]中引入的规则[n[*]-i]（本文称为规则[S]）满足这一要求。文[5]仿此证明了另一类被称为[R]的规则亦然。在此基础上，文[6]更为一般性地证明了若D仅当检出不合格品时发生，则D的添加将满足上述要求。这些工作无疑为对中止规则问题的进一步研究提供了有益的参考。
文[7]提出了被称为中止概率典线的度量，用以衡量中止规则统计特性的优劣。简言之，若以D(p)表示不合格品率为p时某种中止事件的（又称中止概率函数，简称中止概率），则不同规则特性优劣体现于：在D(AQL)≤a的条件下，D(LQ)值的大小，大者为优。事实上，p[,1]=D(AQL)及p[,2]=1-D(LQ)正是通常所为的第一、第二类误判概率。基于此度量，[5]证明了规则[R]的第一类误判概率不超过规则[S]，而其第二类误判概率比之[S]有很大幅度的下降，即[R]优于[S]。
下文将提出两类比[R]更优的中止规则。
一、规则[N,c],[R,d]的设计依据
在提出新的规则之前，先赋予已有的两种规则[S]，[R]以假设检验的观点，依[4]和[5]，已有的两种规则可以表述为：
[S]：累计全检数超过S,B末发生，且在随后的不超过i次检查中检出不合格品：
[R]：至累计不合格品数达到r为止，B未发生。
可以看出，两类规则的基本观点是有差别的：前者意在限制全检期的长度。事实上，规则[S]的中止事件可以等价地表述为“全检期长度超过s+i”。后者直接限制了全检期中的不合格品总数。尽管如此，它们均符合假设检验的基本观点。对于规则[S]，因原假设“H[,0]:p值较小”成立时，全检期长度不应很大，故在相反的情形下应予否定（即中止）；类似地，对于规则[R]，当上述原假设成立时，全检期中不合格产品数量应很小，故在达到一定的界限时应予中止。
另一方面，上述两规则在设计上并未实质性地与事件B结合。事实上，衡量H[0]中p值是否较“小”的依据应当是，事件B是否能较“快”地发生，而B等价于“相邻两个不合格品之间的合格品数量（下称不合格间隔）不小于i”，其中，自FI开始记数到首次检出不合格品之前的合格品数量亦称不合格间隔。利用假设检验的观点，若构造这样的原假设H[*,0]：不合格间隔较“快”地不小于i，则其对立假设应为H[*,1]：不合格间隔“长期”地小于i。基于此，本文提出如下的两类中止规则：
[N,c]：至于不合格间隔连续N次小于c为止，B未发生，1≤c≤i,N≥1；
[R,d]：至于不合格间隔累计R次小于d为止，B未发生，1≤d≤i,R≥1。
二、规则[N,c],[R,d]的中止概率函数
为区别起见，以D[,c](p)表示不合格品率为p时添加规则[N,c]的CSP(泛指CSP-1,CSP-2,CSP-T,CSP-V中的任何一类)的中止概率，即FI→DI的概率。下面借助多元转移概率流向图(MTPFG)与多元转移概率母函数(MTPGF)[8]的方法，寻找规则[N,c],[R,d]的中止概率函数。
一般地，设从某一单位开始计数，则在不超过i次检查中必出现下列情形之一：
1.恰在第k次检查中首次检出不合格品，1≤k≤a≤i：
2.前k-i个单位均合格，恰在第k次检查中检出不合格品，a≤k≤i；
3.连续i次检查均合格。
与情形1,2,3相应的TPGF依此为:
F(x)=(px)[1+(qx)+…+(qx)[a-1]]=(px)[1-(qx)[a]/(1-qx);
G(x)=(px)[(qx)[a]+…+(qx)[i-1]]=(px)(qx)[a][1-(qx)[1-a]]/(1-qx)；
H(x)=(qx)[i]。
可以验证：F(1)=1-q[a],G(1)=q[a]-q[i],H(1)=q[i]，从而F(1)+G(1)+H(1)=1成立。
对于规则[N,c]，令a=c,Q为不合格间隔不小于c的状态，C[,k]为不合格间隔连续k次小于c的状态，1≤k≤N，D为中止检查，S为SI的起点，则添加规则[N,c]的CSP方案相应于FI→SI或DI的浓缩TPFG如图1所示
图1 添加规则[N,c]时CSP方案全检期的浓缩TPFG
图1中相应于Q→D的直路的TPFG为F[N](x),Q处的N条并联环路的TPFG之和为：
G(x)[1+F(x)+…+F[N-1](x)]=G(x)[1-F[N](x)]/[1-F(x)]
依MIPFG原理，F1→DI的TPFG，即图1中Q→D的TPFG为
G[,Q→D](x)=F[N](x)/｛1-G(x)[1-F[N](x)]/[1-F(x)]｝
=[1-F(x)]F[N](x)/｛1-F(x)-G(x)[1-F[N](x)]｝
再依D[,c](p)=G[,Q-D](1)，即得到D[,c](p)的表达式:
D[,c](p)=q[c](1-q[c])[N]/[q[c](1-q[c])[N]+q[i]-q[i](1-q[c])[N]],0＜p＜1
(1)
类似地，对于添加规则[R,d]的情形，令a=d，沿用图1中关于状态Q,D,S的定义，并引入
图2 添加规则[R,d]时CSP方案全检期的浓缩TPFG
状态D[,k]=“不合格间隔累计k次小于d”，1≤k＜R，便得到相应的TPFG，见图2，由此得到相应于Q→D的TPGF为：
G[,Q→D](x)=F[R](x)/[1-G(x)][R]=[F(x)/(1-G(x))][R]，
相应的中止概率为：
D[,p]=G[,Q→D](1)=[(1-q[d])/(1-q[d]+q[i])][R],0＜p＜1
(2)
依(1)，(2)不难看出，D[,c](p),D[,d](p)分别是p,N,c,i及p,R,d,i的多元函数,即D[,c](p)=C[,c](p,N,c,i),D[,d](p)=D[,d](p,R,d,i),0＜p＜1；1≤c,d≤i;N,R≥0
定理1中止概率函数D[,c](p,N,c,i)及D[,d](p,R,d,i)具有下列性质:
(1)D[,c](p1,N,c,i)＜D[,c](p[,2],N,c,i),D[,d](p[,1],R,d,i)＜D[,d](p[,2],R,d,i),p[,1]＜p[,2],
(2)D[,c](p[,1],N,c,i)＞D[,c](p,N+1,c,i),D[,d](p,R,d,i)＜D[,d](p,R+1,d,i),N,R≥0,
(3)D[,c](p[,1],N,c,i)＜D[,c](p,N,c+1,i),D[,d](p,R,d,i)＜D[,d](p,R,d+1,i),c,d≤i,
(4)D[,c](p[,1],N,c,i)＜D[,c](p,N,c,i+1),D[,d](p,P,d,i)＜D[,d](p,R,d,i+1),i＞c,d
表1 CSP-V方案的中止参数N,c及R,d
AQL(%)0.400.651.01.5
2.54.06.510.0
1/f N,c N,c N,cN,c
N,cN,cN,cN,c
2
3 603 272 26
2 16 3 94 94 6/ 2
3
3 583 353 2215
4 14 4 94 5
4 3
4
3 554 564 36
4 24 4 14
5 12
5 74 3
5
4 894 544 35
4 23 5 19
4 85 75 4
7
4 865 725 47
4 22 5 18
5 11
7 10
5 4
10
5 115
5 695 45
5 30 5 17
6 14
6 86 5
15
5 110
6 846 54
5 28 6 21
6 13
7 96 5
25
6 113
6 797 62
6 34 7 24
7 15
8 10
10 8
50
7 149
8 104
8 67
8 45 8 26
8 16
9 11
12 9
100 8 162
10 123 10 80 9 48 10 31 11 21 15 16 16 11
200 10 193
12 138 11 82 11 55 14 40 12 22 18 18 15 10
1/f R,d R,d R,dR,dR,dR,dR,dR,d
2
2 232 142 93 15
3 93 53 33 2
3
3 523 313 20
3 13
3 73 44 45 4
4
3 473 273 17
3 11
4 11
3 45 55 4
5
3 424 444 28
4 18
3 64 65 57 5
7
4 654 374 23
4 16
5 13
5 85 47 5
10
4 554 314 20
4 13
5 11
5 75 38 4
15
5 675 375 23
5 16
6 11
6 77 47 3
25
5 515 286 21
6 16
8 13
7 79 510 4
50
7 607 317 20
7 147 7
11 9
12 5
14 3
100
8 489 29
12 28 11 18
13 11 10 5
17 4
18 3
200 11 49
10 21
13 19 12 13
18 10
9 3
14 2
14 2
上述各式的概率意义是显而易见的，证明从略。
下面的结论一般性地给出了所有中止函数当p值固定的时的上确界，它在各类中止规则的优劣比较中具有重要的作用。
定理2 令Ψ为全体仅在FI中检出不合格品时才发生的中止事件D的集合，D(p)为与D相应的中止概率函数，则对任何固定的p值，有下列关系式：
Max｛D(p)｜D∈Ψ.jpg}≤1-q[i],0＜p＜1
(3)
且有D∈Ψ，使(2)式中的等号成立。
证明：构造中止事件D[,T]=“FI中检出不合格品”，则与D[,T]相应的中止规则为[T]：当D[,T]先于B发生时中止检查。在规则[T]下，不难看出，除非FI中最初的连续i个产品单位均合格，否则检查过程将被中止。换言之，规则[T]不允许FI中检出不合格品，它在与Ψ中所有元素相对应的全体中止规则中是最严（即中止概率最大）的，易知对于任何固定的p，与规则[T]的相应中止概率函数为D[,T](p)=1-q[i]。证毕。
三、规则[N,c]的中止参数确定
为了确定中止参数，首先必须规定第一类误判概率□的数值。本文令a=1%。这一方面是由于[1]，[2]中采用的规则[S]满足a≈1%，另一方面，也是为了便于与已有的两种规则[S]，[R]进行比较。其次，有必要强调选择参数的原则[5]，即在给定第一类误判概率的前提下，使第二类误判概率最小。本文称满足上述两个要求的参数为最优参数。基于以上观点及定理1，可按下列步骤并借助于计算机确定规则[N,c]的最优中止参数N及c：
1.给定k，确定N[,k]，使D[,c](AQL,N[,k]-1,k,i)＞1%，而D[,c](AQL,N[,k],k,i)≤1%，依据定理1，当k满足1≤k≤i时，相应的N[,k]存在且唯一。
2.计算D[,c](LQ,N[,k]k,i)，1≤k≤i，找出最大者，与之相应的N[,k],k即为所求的N,c。
规则[R,d]的中止参数R，d的确定是完全类似的。
顺便指出，[1,2]中的各类CSP均是以抽样比率f和可接收质量水平AQL为检索指标的，即，对于每类CSP，当f和AQL给定时，可检索出与之相应的包括连续合格数i和极限质量水平LQ等在内的一系列操作参数和特性参数。
表1给出了按上述步骤确定的，以f和AQL为检索指标的所有CSP－V的N,c及R,d值，相应的i值和LQ值可从[2]中检索到，可以看到，随着1/f值的增加，参数N及R亦单调增加（个别值例外），但对于参数c及d而言，仅有上升趋势（例外数值较多），其原因有二，一是c,d的离散性，二是最优性原则。必要时，通过调整c,d的值可以使之具有单调性，且这种调整对第二类误判概率的影响不大，限于篇幅，本文不作进一步讨论。
四、规则[N,c],[R,d]与[S],[R]的特性比较
提出新的中止规则的首要目的是希望使各类CSP具有更优的中止特性。因此，结合各个CSP-V方案将规则[N,c],[R,d]与已被[1,2]采用的规则[S]以及已在文[5]中研究过的规则[R]进行比较是必要的。由于本文取a=1%，故四类规则的第一类误判概率是基本相同的。因此，比较的第一个内容是分别采用各类规则的CSP－V的第二类误判概率β，易知1-β正是各方案在p=LQ处的中止概率。表2～5分别列出了采用各类规则的全部CSP-V方案在LQ处的中止概率。
可以看出，规则[S]第二类误判概率最大。如f=1/7,AQL=1.5的CSP-V方案采用规则[S]时的第二类误判概率为21.7%，而采用规则[R],[N,c],[R,d]时相应的第二类误判概率分别为:11.8%,9.1%和8.1%（依定理2，该方案的第二类误判概率的上确界为(1-LQ)[i]=(1-7.84%)[51]=1.6%就本例而言，各类规则的优劣顺序依次为[R,d],[N,c],[R]及[S]。由表2～5知，这一结论具有一定的普遍性。
表2 中止规则[S]下CSP-V在LQ处的中止概率(%)
1/f AQL(%)
0.400.651.01.52.54.06.510.0
2
71.371.271.1
73.5
71.1
70.1
70.2
79.0
3
74.374.474.6
74.9
74.8
73.8
71.1
70.2
4
77.073.974.3
73.8
74.2
69.7
69.5
75.8
5
77.077.077.1
76.6
76.4
75.5
73.8
71.4
7
80.278.178.7
78.3
77.7
77.2
75.9
77.6
10 82.180.580.6
81.2
80.2
80.9
77.3
76.7
15 84.082.882.9
83.0
82.6
82.8
79.7
82.9
25 87.185.685.9
86.4
84.3
84.8
83.1
84.5
50 89.488.388.3
89.3
87.3
88.7
85.5
84.1
100 91.990.290.6
91.0
90.0
90.5
87.6
88.7
200 93.992.792.7
93.2
91.0
92.7
90.3
91.4
表3 中止规则[R]下CSP-V在LQ处的中止概率(%)
1/f AQL(%)
0.400.651.01.52.54.06.510.0
2
85.380.880.8
80.8
80.8
80.8
76.7
80.8
3
83.583.583.5
83.5
83.5
83.5
80.6
77.7
4
87.384.984.9
84.9
84.9
84.9
80.4
82.7
5
87.785.885.8
85.8
85.8
84.0
84.0
80.4
7
89.688.288.2
88.2
86.8
86.8
84.1
85.5
10 90.689.689.6
90.6
89.6
89.6
85.7
85.7
15 92.291.590.9
91.5
90.2
90.2
88.2
90.2
25 93.692.792.7
93.2
91.9
92.3
91.1
91.5
50 95.494.694.6
94.8
93.8
94.2
92.9
91.5
100 96.591.895.8
96.2
95.3
95.7
93.5
94.0
200 97.496.796.7
97.0
96.2
96.8
95.0
95.8
比较的第二个内容是，采用各类规则的CSP方案的中止概率曲线[7]。事实上，某种规则的优劣不仅取决于其第二类误判概率的大小——显然第二类误判概率仅是一个局部的性质，更取决于当p值增加时，相应的中止概率函数的变化趋势，即所谓中止概率典线的形状。图5.1～5.4分别给出了采用上述四类规则的四个具体的CSP方案（分别选自CSP-1,CSP-2,CSP-T及CSP-V四个大类）AQL≤p≤LQ范围内的中止概率曲线，其中横轴为p（均匀刻度），纵轴为中止概率(%)。
表4 中止规则[N,c]下CSP-V在LQ处的中止概率(%)
1/f AQL(%)
0.400.651.01.52.54.06.510.0
2
85.385.084.7
84.7
83.6
80.8
79.4
42.6
3
87.686.986.4
86.9
86.3
85.1
82.0
82.4
4
88.988.288.0
88.0
87.0
86.2
83.3
85.4
5
90.089.489.3
89.2
88.2
87.2
86.7
83.0
7
91.790.890.8
90.9
90.2
89.8
87.6
83.2
10 93.292.692.6
92.8
91.9
92.1
89.9
89.1
15 94.894.194.0
94.3
93.5
93.4
91.8
93.2
25 96.295.795.7
95.8
95.1
95.3
94.3
94.2
50 97.697.297.2
97.3
96.8
96.9
96.5
96.7
100 98.598.298.2
98.3
98.0
98.1
97.2
97.4
200 99.198.998.9
99.0
98.7
98.9
98.3
98.6
表5 中止规则[R,d]下CSP-V在LQ处的中止概率(%)
1/f AQL(%)
0.400.651.01.52.54.06.510.0
2
86.385.985.3
84.8
84.4
83.0
82.3
83.9
3
88.387.987.8
87.8
86.7
85.7
83.6
82.3
4
90.189.389.0
88.9
87.8
88.0
84.4
86.5
5
91.090.290.1
90.0
89.5
88.9
87.5
84.4
7
92.491.891.7
91.9
90.0
90.8
89.2
88.7
10 93.993.293.2
93.3
92.7
92.8
90.2
89.4
15 95.194.594.4
94.7
93.7
93.8
91.9
93.0
25 96.395.895.8
95.8
95.0
95.4
94.3
94.4
50 97.497.096.9
97.1
96.5
96.6
95.9
94.6
100 98.297.897.8
97.9
97.5
97.7
96.3
96.6
200 98.798.398.3
98.5
98.0
98.4
97.3
97.7
图5.1～5.4表明了下列结论：
(1)四类规则在AQL处的中止概率基本相同，从而它们的第一类误判概率是基本相同的。
(2)规则[N,c]与[R,d]在LQ附近的中止概率很接近，二者均高于采用规则[R]的中止概率，且明显高于采用规则[S]的情形，这表明[N,c],[R,d]均优于[S]及[R]。
(3)当p处于AQL附近时，规则[N,c]比之[R,d]的中止概率曲线更低，这表明前者对于高质量产品的“保护”能力更高；
(4)当p处于区间[AQL,LQ]的中心附近（对p值而言，这是一个难分优劣的区域）时，规则[N,c]的中止概率曲线比之[R,d]的情形具有更大的斜率，即前者的曲线更陡，这表明前者在难分质量优劣的情形下，对p值的变化更为“敏感”。
第二项比较内容表明，整体而言，四类规则的统计特性的优劣顺序依次是[N,c]最优；[R,d]次之；但优于[R]；[S]最劣。
最后一个比较的内容是，各类规则在操作上的简便性。这是一个较难严格度量的问题。直观上看，[R]最易操作，因为它只须对累计不合格品的个数计数；[N,c]与[R,d]均比[R]繁但[R,d]略比[N,c]简便些，事实上，二者的计数对象虽然都是不合格间隔，但前者以累计方式计数，而后者以连续方式计数；至于规则[S]，因其在统计特性方面最差，在操作方面远比[R]繁琐，故没有深入讨论的必要。
本项比较表明，[R]的操作最为简便，[R,d]次之，但略比[N,c]简便些。
综合上述三个方面的比较，总体上说，有下列结论：
(1)现行标准[1,2]中采用的规则[S]应当被淘汰；
(2)[R]的操作最为简便，但其统计特性不如[N,c]及[R,d]；
(3)[N,c]的整体统计特性最优，但操作上不如[R],[R,d]简便。
(4)[R,d]的第二类误判概率最小，操作上也较简便。