——数学思想系列教学课例研究
刘欣泽
摘要：数学思想是学生数学素养培养中最重要的一部分，同时也是学生学习数学和解决实际问题所必须掌握的一种思维方式，亦是运用于其他学科领域的一种技巧和能力。本文通过解读新课标，分析一年级至六年级的教学课程，结合传统教学方式、先进教学设备以及自身的教学经验，逐步形成了一套关于小学数学思想培养的系列化课程教学理论。经过多次实践和不断改进，该理论逐渐趋于完善，并成为本校优秀课程中的经典范例。
关键词：数学思想；系列化课程教学；课例研究
数学素养不仅仅需要学生掌握基础知识和基础技能，更重要的是领悟其中的数学思想和活动经验，并将其运用到其他学科领域。学生对数学思想的掌握能力一方面取决于学生对知识的理解力，另一方面取决于教师的传授能力和课堂影响力。常用的数学思想有数形结合思想、等价转化思想、可逆性思想、归纳猜想思想、数学模型思想。系列化课程教学是一种有效的教学方式，使学生从一年级开始慢慢形成用这些数学思想解决问题的意识，不再受外在因素如教师的变化和课程内容的差异而影响学生接受知识的程度。
一、典型课例
本文在介绍系列化课程教学的数学思想培养中，分别从六个年级课程中一次选取六个课例，再加一个综合实践的课例，从这些课例中能反映出相应的数学思想。
【课例1——11~20各数的认识】
在学生认识了20以内的数以后，可以向学生引入数轴的概念。
师：同学们都会不会画一个带箭头的直线？(黑板上示范)
生：会。
师：那从在这条直线上从左到右依次标注1、2、3……20。标注好后，提出一个问题：14靠近10还是靠近20呢？前进一个数等于走出一步，同学们好好想想。
生A：10到14需要走4步，14到20需要走6步，所以14靠近10。
师：A同学回答的很好。那么以后两个数比大小的话，同学们会比较了吗？
生：会。
【课例2——厘米与米】
学生学会用尺子进行测量后，可以鼓励学生对自己的身高进行测量。
师：既然课桌的长度可以用厘米来测量，那么同学们对自己的身高有没有好奇呢？
师：以4人小组为单位，同学们开始测量身高，其中2个人负责测量，2个人负责监督并记录结果。5分钟之后，大家全部做完。
第1组汇报结果：A同学135cm，B同学141cm，C同学126cm，D同学138cm。
师：同学们能将厘米和米之间进行转换吗？
第1组继续汇报：A同学1.35m，B同学1.41m，C同学1.26m，D同学1.38m。
接下来，各组同学进行汇报……
最后，由教师帮忙对全班同学的身高进行统计，这既了解了学生情况，也丰富了课堂内容。
【课例3——用连除解决的实际问题】
经过本单元的学习，学生懂得了除数、被除数、商之间的关系。
师：那么在实际生活中，我们最常见一个关系式就是总价=单价×个数。通过除法运算，同学们能得出求单价的关系式吗？求个数的关系式呢？
生A：单价=总价÷个数。
生B：个数=总价÷单价。
师：同学们的回答都很棒，那么在这里老师又提出一个小问题。小红去买作业本，一本1元钱，要买4个作业本，同学们都知道要用4元钱。那么，假如她有5毛和1块的零钱，一共需要几个5毛和几个1快钱呢？如果有1块和1毛的硬币，一共需要几个1块钱和几个1毛呢？如果有1块钱、5毛和1毛的硬币，各需多少个呢？大家以小组为单位讨论一下。
……
【课例4——植树问题】
针对植树问题特意作出一个拓展内容。
师：每隔一段路上就有个路灯，那么模拟路灯与路线所在的位置，得出线上路灯摆放有三种情况。用“____”代表一段路，用“/”代表一个路灯，画“/”就表示放置了一个路灯。以放置4个路灯为例，同学们根据路灯放置情况分别画出这三种情况。
生A：①两端放置路灯：/____/____/____/
②只一端放置路灯：/____/____/____/____或者____/____/____/____/
③两端都不放置路灯：____/____/____
师：回答的很好，这3种放置路灯的方式，对同一段路可摆放的路灯个数有没有不同？
生B：对①可以放4个，②可以放3个，③可以放2个
师：因此，同学们遇到类似的题目时要看清题意再着手开始做。
生：好。
【课例5——平行四边形的面积】
通过补割法，将平行四边形转化为长方形，通过已学过的长方形面积求解公式推导出平行四边形的面积公式。
师：如果两个长方形的底和高都相等，那么这两个长方形的形状是一样的吗？
生：是一样的。
师：如果两个平行四边形的底和高都相等，那么这两个平行四边形的形状是一样的吗？
生A：不一样，我画出了两个底和高都相等，形状不一样的平行四边形。
生B：不一样，我用平行四边形的道具摆出了两个不一样的平行四边形。
师：同学们的方法都很好，已经学会用最简单的方法来解释问题了。
【课例6——倒数的认识】
认识了倒数，知道3和1/3互为倒数、4/5和5/4互为倒数。
师：同学们，能举出像倒数这样可以互为相反的例子吗？
生A：加和减、乘和除。
师：还有其他同学有补充吗？
生B：南和北、东和西、正方向和反方向
……
上述六个课例都是在学生掌握了基础概念后，教师进行了更深层次的拓展。这既是对课堂教学的总结，又是对基础知识学习的延伸。
二、从课例分析数学思想
六个课例隐藏着不同的数学思想——数形结合、统计、模型思想、多角度思考、等价转化、可逆性思维、归纳猜想总结。
课例1——数形结合思想，对于不会加减计算的一年级学生，这无疑是比较数字大小最快的方式。数形结合有两种应用情形：借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即“以形助数”。数形结合思想在各教学领域的应用有：“空间与图形”——借助数的知识及数量关系进行各平面图形的周长和面积的计算；“统计与概率”——通过图形演示移多补少来理解平均数的含义。将复杂的数量关系和抽象的数学概念通过图形、图像变得形象、直观；复杂的几何形体可以用数量关系、公式、法则等手段，转化为简单的数量关系，这就是数形结合的优势。
课例2——统计思想，厘米是实际中常见的单位之一，用来衡量事物的尺寸。现实生活中有大量的数据需要分析和研究如人口数量、商品合格率等，一般情况下不可能考察所有对象，就需要采取抽样调查的方法收集和分析数据，用样本来估计总体，再进行合理的推断和决策，这便是统计思想。
课例3——模型思想，其讲述了S=ab，这样的一个关系式在数学领域不计其数。所谓数学模型是对现实世界的某一特定研究对象，为了某个目的，在做了一些必要的简化和假设之后运用适当的数学工具，并通过数学语言表达出来的一个数学结构。模型思想就是将现实中发现的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化的过程，归结到已解决或较容易解决的问题中，并综合运用所学的数学知识和技能求解的一种数学思想。小学数学中最典型的应用就是建立了一个平面求积的模型S=ab，从长方形求积公式推导出正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形的求积公式，沟通了各平面图形的内在联系，又随着相关边长的变化，得出这些平面图形之间的相互转化关系。
课例4——多角度思考，将生活中的现实问题转化为数学问题，让学生讨论并予以解答。因“问”而“思”。用联系的眼光、辩证的方法，设计教法和学法，组织课堂上的师生互动，寻找引导学生自悟自省的最佳切入点，进行扎实而灵活地训练学生的学习习惯。教学中采用问题、方法、答案多元开放的方式，鼓励学生求异、求变，保护学生思维的个性，提高创造力。将现实问题与数学紧密结合起来，鼓励学生利用数学工具去解决实际问题，增加学生兴趣，实现数学工具的现实作用，从而让学生了解数学的重要性和不可或缺性。
课例5——等价转换思想，是把未知的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。对于小学生，将其难以理解的平行四边形面积计算，通过等价转换思想，利用割补法，转化为较易理解的长方形面积计算，可以有效地开发学生的等价转换思维，为以后解决实际问题提供很好的帮助。在学习过程中，通过激发学生的思考，发现同样底和高的平行四边形多种多样，但其面积是一样的，更让学生了解平行四边形这一图形的性质。
课例6——可逆性思想，通过介绍学生日常生活中常见的相反的事物，如加和减，乘和除，东和西，南和北等，加深学生对倒数的理解。开拓学生的可逆性思维，让学生学会从正面和反面宏观的认识数学概念，加深学生的记忆，为学生以后学习数学中的其他可逆理论打下良好的基础。
除了案例中体现的数学思想，还有类比思想、方程与函数思想等。这些思想都不是单独存在的，并且在每一节的课程教学中都存在。在教学中，教师应时常帮助学生梳理这些数学思想，将其运用到其他学科领域。
三、数学思想的重要性
在课堂教学过程中渗透数学思想方法，仅仅十分钟的时间就足够。学生从根本上理解基础知识，提高教学效果的同时，提高了学生掌握知识的能力和自主学习的能力。学生掌握了基础知识，只是学会了数学的根本；学生只有掌握了数学思想方法，才算是学懂了数学的精髓。数学思想是学生形成良好认知结构的纽带，是将知识转换为能力的桥梁，是拥有创新思维和良好数学素养的载体，在教与学中必须重视数学思想的培养。
四、结束语
从简到繁、从浅到深、从单一到综合，这是一个循序渐进的过程，因此在系列化课程教学中，希望教师可以在点出数学知识重难点的同时，提炼数学思想，将其在数学知识点中融会贯通，帮助学生脱离题海战术，时时刻刻关注着学生数学思想的形成。
注：本文于2015年11月荣获山西省教育科学“十二五”规划指令性课题“培养小学生数学素养的实践研究”优秀成果一等奖。
(作者单位：山西省霍州市大张镇贾村小学 031400)
论文作者:刘欣泽
论文发表刊物:《中学课程辅导●教学研究》2016年1月上
论文发表时间:2016/4/5
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