图形推理研究，本文主要内容关键词为：图形论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B811.23 文献标识码：A 文章编号：1008-7621(2007)02-0099-05
一、图形推理研究的意义
联合国教科文组织国际教育发展委员会在《学会生存——教育世界发展的今天和明天》中谈到形象思维在当今世界中的作用时指出：“通过图画进行交流，已经发展到空前的规模。一切视觉的表达方式正在侵入每一个人的世界，正在渗透到所有的现代生活方式。今天，形象无论作为知识的媒介物，或者作为娱乐，或者作为科学研究的工具，在文化经验的各个阶段上都表现了出来。”[1]今天，我们已经置身于一个到处都充满醒目、动感、千方百计吸引人们目光的图形世界之中，图形已经构成了我们生活中不可或缺的部分。不仅如此，人们还逐步认识到了图形推理能力在人类智能中重要的基础地位，在智力测评和国家公务员的招录考试中均安排了适量的图形推理测试题，以此来评价一个人的基本能力倾向。
推理是人类智能的核心。推理一般可以分为两大类：抽象推理和形象推理。现代逻辑（不论是现代经典逻辑还是现代非经典逻辑）主要研究的是抽象推理的规律。[2]今天，伴随着现代逻辑学研究的充分展开，人们对于抽象推理的规律已经有了比较充分的认识。但是人们对于形象推理却鲜有研究，因此对于形象推理的规律还知之甚少。尽管在西方近、现代有文恩(Venn)、欧拉(Euler)、皮尔士(Peirce)和巴威斯(J.Barwise)[3]等人先后进行过图式逻辑(diagrammatic logic)的研究，但是这种研究本质上是用图形来展示抽象推理（形式推理）的规律，他们的主旨均不是对形象推理的规律进行研究。而且，现代逻辑是以推理的形式结构为研究对象的，这种形式结构主要指的以语言为载体的思维的形式结构。141其中有一个非常重要的假定，那就是人类的推理是以语言为载体的。应该说，这一假定是非常合理的，人类的大部分人在大多数情况下确实是以语言为载体而进行推理或者思维的。但是决不是所有的人在所有的情况下都是仅仅以语言为载体而进行推理的。例如没有语言的先民们、不会说话的婴儿、处于梦境中的人们都不是以语言为载体来进行思维（包括推理）的。特别是在科学家的创造性思维中也有很多不是以语言为载体而进行思维的。可以说，对于人类的智能而言，抽象推理和形象推理（其中一个重要的构成就是图形推理）缺一不可。因此，积极、深入地开展形象推理规律的研究，对于揭示人类智能的本质、进一步开发人类的智力潜能具有非常重要的理论意义。
一般认为，西方民族的思维方式是重形式、重分析，这种思维方式是与抽象推理紧密相关的；而东方民族的思维方式是重内容、重整合，这种思维方式是与形象推理密不可分的。因此，充分开展形象推理（特别是图形推理）规律的研究，对于发扬东方文化、彰显东方民族思维方式之优势也可能具有积极的战略意义。
二、图形推理的特点
那么，什么是图形推理呢？图形推理就是由一个或若干个已知图形而推出另外一些图形或信息的思维过程。
例1.下面共有两组图形，第一组图形给出的是由两个图形到另一图形的变化，第二组图形给出变化前的两个图形。请根据第一组图形的变化规律，推出第二组图形的变化结果，在A、B、C、D中选择正确的一个。
在一个图形推理中，已知的若干图形成为前提，由前提而得出的叫作结论。在上述图形推理中，第一组图形以及第二组图形中的前两个图形是前提，图形A是结论。在一个图形推理中除了前提和结论之外，还有一个重要的构成部分，那就是推理要求。离开了推理要求，一个图形推理是没法完成的。因此，一个图形推理由三要素构成：前提、推理要求和结论。
与一般的形式推理相比，图形推理有如下四个特点：
一、图形推理与一般形式推理的重要区别之一是图形推理是以推理为主、其他思维方式为辅的综合性思维过程。在图形推理中，尤其伴随着大量的想象。
例如，在下述图形推理中，没有一定的空间想像，是没法完成这一图形推理的。
例2.在下面的6幅图中哪两幅可以组合成最左边的图形？
二、一般的形式推理主要从形式结构的联系上来考虑推理的有效性，而图形推理的有效性既考虑图形在空间形式结构上的联系，又考虑图形与图形之间内容上的联系。
例如，在下述图形推理中，考虑的就是图形在空间结构方面的凹凸变化。
例3.该题包含两套图形和供选择的4个图形。这两套图形具有某种相似性，也存在某种差异性。请从4个选项中选择最适合的一个。正确的选项不仅使得两套图形表现出最大的相似性，而且使得第二套图形也表现出自己的特征。
正确的答案为B。因为这两套图形都是封闭图形，第一套图形都是凸图形，而第二套图形已经出现的两个图形都是凹图形。
再如，在下述图形推理中，考虑的就是图形在内容方面的联系。
例4.每道题在左边的题干中给出一套图形，这套图形呈现一定的规律性。在右边给出四个图形，请测试者从中选出一个保持左边一套图形规律性的一个图形。
答案为C。因为题干中的4个图形都是动物。
三、一般的形式推理其结论是确定的，而图形推理的结论有些是确定的，有些是不确定的。
例如，在著名的“科尼斯堡七桥”问题中，满足条件的方案是不存在的。根据前提条件，这一结论是确定无疑的。
例5.推理要求与例4相同。
解析：如果把左边的一套图形都看成封闭图形，那么正确选项应该是A；如果把左边的一套图形都看成曲线图形，那么正确选项应该是B；如果把左边的一套图形都看成只有一个封闭区域的图形，那么正确选项应该是C；如果把左边的一套图形都看成着色图形，那么正确选项应该是D。
在上述图形推理中，由于对于左边一套图形从不同的角度可以概括出不同的规律，因此结论并不是惟一确定的。在图形推理中，由于任给一些有限数量的图形总可以概括出规律性来，因此结论的不确定性也就不可避免了。
从图形推理的前提与结论之间的这种关系可以看出，图形推理是一种创新型推理。从思维训练的角度看，一般形式推理培养的是严谨型思维，图形推理培养的是发散型思维。
三、图形推理的种类
依据图形推理前提和结论之间的支持关系，可以将图形推理分为必然型推理和或然型推理；依据结论的是否惟一性，可以将图形推理分为确定型推理和不确定型推理；依据前提和结论之间联系方式的不同，可以将图形推理分为直指型推理和意谓型推理；依据图形的维数，可以将图形推理分为平面型推理和立体型推理。
在形式逻辑中，依据前提到结论的思维进程的不同，形式推理可分为三类：演绎推理、归纳推理和类比推理。其中，演绎推理是从一般到个别的推理；归纳推理是从个别到一般的推理；类比推理是从个别（或一般）到个别（或一般）的推理。依据前提与结论之间的逻辑联系又可以将形式推理分为必然性推理和或然性推理。必然性推理是由真前提必得真结论的推理；或然性推理是由真前提可能得真结论也可能得假结论的推理。[4]
在图形推理中，由于前提和结论基本上都是图形，而图形与图形之间很难作出一般和个别的区分，因此，不能将形式推理中的分类方法直接照搬过来。但是我们可以参照其分类方法来对图形推理进行分类。
(1)必然型推理和或然型推理
依据图形推理的前提、推理要求和结论之间的逻辑联系可以将图形推理分为必然型推理和或然型推理。必然型推理指的是根据图形推理的前提和推理要求结论是必然的图形推理；或然型推理指的是根据图形推理的前提和推理要求结论不是必然的图形推理。
例如，著名的四色定理问题中涉及的图形推理就是一个必然型推理。再如，下述图形推理就是一个或然型推理。
例6.推理要求与例3相同。
解析：如果把左边一套图形看作是颜色递增的，右边一套图形看作颜色是递减的，那么正确选项是A、C；如果把左边一套图形看作是凸图形，右边一套图形看作是凹图形，那么正确选项是B、C、 D；如果把左边一套图形看作是边数递增的，右边一套图形看作是边数递减的，那么正确选项是A。根据推理要求，正确选项应该是A。
因为以A作为这一图形推理的结论并非是必然的，所以这是一个或然型推理。
我们可以根据图形推理的特点，将必然型推理称为演绎推理，将或然型推理称为归纳推理。
(2)确定型推理和不确定型推理
根据图形推理的前提和推理要求，所得推理的结论在一般情况下是惟一的，但是有时不是惟一的。如果根据图形推理的前提和推理要求，所得推理的结论是惟一的，那么就把这种图形推理称之为确定型推理；如果所得推理的结论不是惟一的，那么就把这种图形推理称之为不确定型推理。
例7.一个鸡舍里有7只好斗的公鸡，它们常常打架。为了不让它们打架，饲养员准备了3条直线栅栏。请你考虑一下，该如何布置这些栅栏，使得7只鸡彼此隔开。
解析：[1]第一条直线栅栏必须将公鸡分为这样两个区域，其中一个区域（称为A区域）有3只公鸡，另一个区域（称为B区域）有4只公鸡。这是因为：一个直线栅栏只能将公鸡分为两个区域。如果第一条直线栅栏将公鸡分为0、7两个区域，那么第二条直线栅栏对于这7只公鸡的区域进行分笼时，有一个区域至少含有4只公鸡，这样剩下的一个直线栅栏就没法将这一区域的4只公鸡一一分开：如果第一条直线栅栏将公鸡分为1、6两个区域，那么第二条直线栅栏对于这6只公鸡的区域进行分笼时，有一个区域至少含有3只公鸡，这样剩下的一个直线栅栏就没法将这一区域的3只公鸡一一分开；如果第一条直线栅栏将公鸡分为2、5两个区域，那么第二条直线栅栏对于这5只公鸡的区域进行分笼时，有一个区域至少含有3只公鸡，这样剩下的一个直线栅栏就没法将这一区域的3只公鸡一一分开。[2]第二条直线栅栏必须将A区域分为这样两个区域，其中一个区域（称为A1区域）有1只公鸡，另一个区域（称为A2区域）有2只公鸡；将B区域分为这样两个区域，其中一个区域 （称为B1区域）有2只公鸡，另一个区域（称为B2区域）有2只公鸡。这是因为：假如不这样分笼的话，就会有一个区域至少有3只公鸡，这样剩下的最后一条直线栅栏就没法将这一区域的3只公鸡一一分开。[3]第三条直线栅栏必须穿过A1、B1、B2区域，将其中的2只公鸡一一分开。[4]按照上述方案，从左上角的公鸡处排直线栅栏，根据图中的条件，必然采取如下的分笼策略（不考虑三条栅栏的次序关系）。
上面这道例题就属于一种确定型图形推理题目。上述例5就属于不确定型推理。
(3)直指型推理和意谓型推理
自然语言中的文字符号通常都有两种用法：一种用法就是用它所表达的意思，例如：“人是动物”，这里的“人”指的就是“能思考、会穿衣的两条腿的动物”；还有一种用法就是指它自身，例如：“人是汉字两笔”、“人和仁是一个读音”。其中，第一种用法是正常用法，就是使用文字符号所表达的意思，简称为意谓型用法；后一种用法实际上是指称文字符号自身，简称为直指型用法。
在图形推理中，如果推理规律依据于图形符号自身的特性，那么我们将这种图形推理称为直指型图形推理；如果推理规律依据于图形符号所表达的意思，那么我们将这种图形推理称为意谓型图形推理。
例8：九宫图：在一个有9个(3×3)空格的正方形图（九宫图）中，其中的8个空格各有一幅图，这 8个图呈现出一定的规律性，请在4个备选择的图中选出一个保持这种规律性的图填在空白处。
解析：在第一个九宫格的三行中，每一行的三个图形都是这样变化的：第二个图形是第一个图形的水平翻转，第三个图形是第二个图形的垂直翻转，依据这一规律，正确选项为B。在第二个九宫格的三行中，每一行的三个图形是这样构成的：蝴蝶、蚱蜢和花朵，依据这一规律，正确选项为B。
例8中的第一题就是直指型图形推理，第二题则是意谓型图形推理。
(4)平面型推理和立体型推理
根据图形的维数，有一维图形、二维图形、三维图形等等。通常将二维图形称为平面图形，三维图形称为立体图形。如果一个图形推理中所包含维数最高的图形是二维图形，那么就称该图形推理为平面型图形推理；如果一个图形推理中所包含维数最高的图形是三维图形，那么就称该图形推理为立体型图形推理。
例如，例6和例7就是平面型图形推理，下面的例9则是一个立体型图形推理。
例9：在下面的四个图形中，只有一个是由上面的纸板折叠而成。请选择正确的一个。
解析：A中右侧面三角形相对于圆形的方向错误；B中也是如此；折叠后D中三个图案的图形只可能出现在连续的一个方向的三个平面上。所以，正确选项应该是C。
四、图形推理的创新功能
加强图形推理能力的训练，可以不断提高人的形象思维能力。而人类的创造性是和形象思维密切相关的。
亚里士多德曾经认为，宇宙中存在两个世界，一个是天上的世界，一个是地上的世界。在两个世界中物体的运动方式截然不同，天上的日月星辰围绕地球进行圆周运动；而地上的物体在不受外力的情况下则是进行直线运动的。在欧洲，他的看法大约在两千年的时间内被人们奉为无可怀疑的真理。可是到了17世纪，牛顿却打破了这种见解。他认为天上星体的运动和地面上物体的运动，并没有什么本质的不同。他运用形象思维，设想了下面的情景：从一个高塔上水平地抛出一块石头，由于地球引力的作用，石块不是沿着水平方向作直线运动，而是沿着一条曲线落到地上。随着石块抛出时速度的不断增大，它落地的距离就会越来越远。因此，如果石块的抛出速度增大到某个很大的数值时，它就不再落地，而是不停地围绕地球作圆周运动。这普通的石块，也就成为一个极小的月亮了。
在这一事例中，牛顿就是运用形象思维，通过一系列的图形推理，证明了亚里士多德所谓的两个世界之间并不存在绝对的界限。
再如，伽利略在研究自由落体的运动规律时也是运用了一系列的图形推理来完成的。亚里士多德在研究物体运动规律时曾经断言，重量不同的物体，从高处往低处自由地降落，其下落速度是不相同的。也就是说，物体越重，其下落速度越快；物体越轻，其下落速度越慢。伽利略对此做了一个思想实验：假设有两个重量不同的大小铁球，我们将它们绑在一起，那么它们从高空自由落下其速度如何呢？一方面，绑在一起的大小铁球的总重量是大于单独的一个大铁球的，如果物体下落的速度与自身的重量成正比，那么绑在一起的大小铁球其下落的速度应该比单独一个大铁球快；另一方面，对于单独的大、小铁球而言，由于其重量不等，如果物体下落的速度与自身的重量成正比，大铁球自由下落的速度应该比小铁球快。这样将大小铁球绑在一起时，由于大铁球下落受到小铁球的后拉，绑在一起的大小铁球下落的速度应该比单独的大铁球慢。这样，前后矛盾。所以物体下落的速度与自身的重量成正比这一观点是不成立的。通过进一步的分析，伽利略得出两个铁球同时落地的结论。
在图形推理中所常用的一些方法如果被巧妙地运用，那么就可以激发人的创造性思维。例如，瑞典天文学家林布拉德把星系与流体进行类比联想，把星系中的恒星设想为一个个水分子，把星系设想为流体，从而建立了解释星系旋臂结构的密度波假说。[5]这是图形推理中类比方法运用的极好案例。再如，德国气象学家魏格纳有一次看到墙上挂着的一幅世界地图，发现大西洋西岸与非洲西部的海岸线以及南美洲东部的海岸线正好彼此吻合，于是他设想它们原来是连在一起的一块大陆，后来随着时间的推移，由于天体的引力和地球自转所产生的离心力，使原本一块的大陆分成许多块，这些大陆块就像木块漂在水面上一样，逐渐地漂移分开，形成现在的几大洲。这就是著名的“大陆漂移说”[5]。这可以很好地说明图形推理中组合方法的创新作用。
随着人们对于图形推理研究的重视和不断深入，可以相信，图形推理将在人类越来越丰富的创造性活动中发挥更加重要的创新功能。[6]
收稿日期：2007-01-06