理性思维问题探究，本文主要内容关键词为：理性论文,思维论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
普通高中《数学课程标准》（实验）中明确指出：“数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用.”这里的“理性思维”，教育部考试中心在2002年高考数学试题评价报告中阐明它包括如下三方面内容：从数和形的角度观察事物，提出有数学特点的问题（如存在性、唯一性、不变性、充要性等）；运用归纳抽象、逻辑推理、运算求解、演绎证明、空间想象、直觉猜想等思维方法思考和分析问题；采用数学语言（文字、图形、符号等）表述和交流.近两年来，许多教师在中学数学课堂教学中，正愈来愈关注学生理性思维的发展和智力的开发，以此提高学生自行提出问题、分析问题、解决问题的能力以及相互协作交流的能力.这里举几例予以说明.
例1 已知函数y=f（x）同时满足如下六个条件：
（1）f（x+1）的定义域是[-3，1）；
（2）f（x）是奇函数；
（3）在[-2，0）上，f′（x）＞0；
（4）f（-1）=0；
（5）f（x）既有最大值，又有最小值；
（6）f（x）不存在反函数.
请画出函数y=f（x）的一个图像，并写出相应于这个图像的函数解析式.
解 由（1）知，-3≤x≤1，故-2≤x+1≤2.
∴f（x）的定义域是[-2，2].
由（3）知，f（x）在[-2，0）上为增函数.结合（2）、（4）知，f（x）在（0，2]上也是增函数，并且f（1）=0，f（0）=0.
∴函数y=f（x）的一个图像如图1，与之相应的函数解析式是
点评 本题是以抽象形式函数为背景的函数问题.涉及了复合函数的定义域，函数的奇偶性，函数的导数及其单调性，函数在某点处的函数值，函数的最大值和最小值，反函数的概念及其存在条件，奇函数的图像，函数的分段表示等众多知识.求解时需要我们从数和形两个角度作出理性的分析和思考，完成文字语言、图形语言及符号语言的相互转译.这是理性思维的基本着眼点之一.本题极具开放性，事实上，同时满足上述六个条件的函数图像是不唯一的.例如图2也符合要求，其解析式是
例2 在平面几何中，研究正三角形内任一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任一点到各边的距离之和是定值
类比上述命题，请你写出关于正四面体内任一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.
解 类比所得的真命题是：
棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和是定值
简证 设M是正四面体P-ABC内任一点，M到面ABC、面PAB、面PAC、面PBC的距离分别为d[，1]、d[，2]、d[，3]、d[，4].
由于正四面体四个面的面积相等，故
故
点评 在本题求解中，我们根据平面几何中正三角形的一个性质，运用类比推理的方法，在正四面体中自行提出具有类似数学特点的一个真命题，并用逻辑推理的方法给出了简要的证明.定值问题是不变性问题中的一类，提出并解决这类问题（尤其是以性质的形式给出），体现了对理性思维的较高要求.经常进行“提出具有数学特点的问题”的训练，对培养和发展学生的理性思维无疑是十分有益的.
例3 设｛a[，n]｝是集合｛2[t]+2[s]│0≤s＜t，且s，t∈Z｝中所有的数从小到大排列的数列，即a[，1]=3，a[，2]=5，a[，3]=6，a[，4]=9，a[，5]=10，a[，6]=12，….
将数列｛a[，n]｝各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图3的三角形数表：
（1）写出这个三角形数表中的第四行、第五行各数；
（2）求a[，100].
分析 对于（1），只需按照集合中元素的特征写出三角形数表中前三行各数，并观察指数规律，据此归纳、抽象出第四、第五两行上数的指数规律，即可写出第”四、第五行各数.对于（2），关键是判断出a[，100]是这个三角形数表中第几行第几个数，进而便可用（1）中所得的指数规律求出a[，100]了.
解 （1）将前三行各数写成2[t]+2[s]的形式：
即第4行各数依次是17，18，20，24；第5行各数依次为33，34，36，40，48.
（2）由于每行上数的个数与行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，….故前13行共有1+2+3+…+13=91个数.
因此，a[，100]应当是第14行中第9个数.
所以 a[，100]=2[14]+2[8]=16640.
点评 这里我们运用了试验、归纳、猜想的方式解决了本题.特例试验、归纳猜想是理性思维的重要体现，是获得发现的源泉.正如牛顿所说的：没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现.因此，在中学数学教学中，我们应鼓励、支持学生运用归纳猜想的思维方式，在特殊到一般的进程中，充分发掘理性思维的功能，凸现理性思维在发现知识、习得知识方面的巨大价值.
例4 用一张钢板制一个容积为4m[3]的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有4种不同的规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m）.若既要够用，又要所剩最少，则应选择的钢板规格是（
）.
（A）2×5
（B）2×5.5
（C）2×6.1
（D）3×5
分析 本题只要求我们从这4种不同规格的长方形钢板中选择一种，使得用一张这种钢板制作一个容积为4m[3]的无盖长方体水箱，既能保证够用（这里指面积够用），又能保证所剩最少（即裁下来的边角料面积最小）.至于怎样制作这个水箱，题中未作任何要求.因此，我们只需先探求容积为4m[3]的无盖长方体水箱表面积的最小值，然后与4个选项比较，即可作出正确的选择.
设长方体水箱的长、宽、高分别为am，bm，cm，则abc=4.显然，a，b，c∈R[+]，故无盖长方体水箱表面积为
当且仅当ab=2ac=2bc，即a=b=2c时取等号.故S[，min]=12（m[2]）.
由此可知，选项（A）、（B）两种规格的钢板不够用，D中提供的钢板剩余太多，而（C）中提供的钢板既够用，又所剩最少，因此选（C）.
点评 这类水箱制作问题，习惯的做法是在长方形钢板的4个角上各裁下一个面积相等的小正方形，然后折成一个长方体水箱，并且据此求无盖长方体水箱表面积S的最小值（不少学生甚至考虑求表面积的最大值——这是思维方向的错误）.尽管也求得S[，min]=12，但在这种设计方案下，易求得长方形钢板的规格为4×4型，无此选项——这是设计方案造成的偏差.事实上，本题对水箱的制作方式未作任何限制，旨在要求我们不受习惯思维的束缚，大胆创新，自行设计方案（上面的解法就是一种），只要符合要求，即按设计方案能够找到这样的钢板制作出水箱（即存在性），而这正是本题设计中对理性思维要求的点睛之笔.本题中“既要够用，又要所剩最少”，蕴涵着“用料（指面积）最省”之意.显然，对这一要求的深刻分析，具有很高的理性思维价值.