互补性与次协调性，本文主要内容关键词为：互补性论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B815.9 文献标识码：A 文章编号：1007-8444（2010）03-0302-07
一、引言
互补性概念由尼尔斯·玻尔于1927年在其著名的“科摩讲座”中引入量子力学的[2]。他的观点对量子力学哥本哈根解释的形成和发展具有根本性的影响，这一点作为对量子论发展的最主要贡献之一在专业文献中得到了广泛的认同[1][19][20]。
玻尔互补性的观点尽管很重要，但却引起了很多争议。事实上，对玻尔互补性原理的准确意义似乎并没有普遍协调的看法[1]；玻尔曾说过：“我认为，说没有一个被称为哲学家的人真正懂得互补性描述的意义是什么是不足为怪的”[14]，这句话可能暗示了为此原理寻求“合理化”的一切努力所要面对的困难。不管怎样，这句话也使我们要看一看与最近几年发展起来的次协调研究相联系的数理逻辑领域[12]。
因此，尽管已经表明玻尔从认识论的观点明确地理解了互补性原理[20]，但我们认为，探究将互补性原理纳入其基础的一种理论的逻辑结构是完全必要的。考虑到互补性的直观观点类似于矛盾的直观观点，这种理论的基本逻辑结构应当是清楚明了的。
回顾一下历史，我们想起一些作者如C.vonWeizsācker、M.Strauss和P.Février都已经试图从逻辑的观点对玻尔的互补性原理进行解释[17][20]。M.Jammer提到玻尔对von Weizsācker解释互补性原理的尝试的否定，并指出这应当被视为对分析这一原理的警告[20]。Jammer还提到Strauss打算发展出一种逻辑，其中两个命题α和β（代表互补性命题）都可以被接受为真，但它们的合取α∧β却不为真[20]；R.carnap认为strauss的逻辑是“不可取的”[10]。
近年来发展起来的一些次经典逻辑系统的引入可以丰富这种讨论，这也是我们现在正在做的。但是，让我们首先回想一下，正如一些标准的著作在“定义”互补性的时候所含蓄地暗示那样，“互补性描述”明显更多地与“不相容描述”有关，而不是与“同时性测量”的不可能性有关[22]。我们进一步的考虑是：在不讨论Von Weizsācker和Strauss的著作的情况下（只是为了推动本文的进展下文简单提到了Février的观点），我们引入一种承认互补性解释（用了M.Jammer的说法——见下）的理论这一概念。然后，我们认为，在对通过互补性所理解的东西进行一种可行的解释的情况下，那种理论的基本逻辑是一种次经典的（paraclassical）逻辑[13]。下面我们将概述这种逻辑的主要特征以应用于我们的目的。
顺便提一下，在本论文中，一方面要对玻尔的观点提出一种评论，另一方面将关注在某种意义上容纳了互补性的理论的基本逻辑结构。尽管我们认为第一个方面是非常重要的，但我们更关注第二个方面，即使我们没有提供在以后的著作中将会出现的全部技术性细节。因此，本文可以被视为是对第二个方面进行思考的产物。关于第一个方面，可以从参考文献[1]中详细地来了解“通过揭示和描述科摩讲座中含蓄对白的基本脉络”来对玻尔互补性原理进行解释的尝试。
最后，我们的论文可以被视为是一种对由P.Février所设想但并未得到发展的一系列创造性工作的尝试性研究。简言之，她把第三个值（不可能）赋予了互补性命题（不可合成的命题）的合取，这样一来，她的逻辑就类似于Lukasiewicz的三值逻辑①。尽管Février认为互补性命题的合取无法实现：“联结词‘并且’不可能适合于它们”[17，但她没想到由于“数学技巧的原因”使那种命题的合取有了某种可能性。在本文中，我们明确地提出了一种可能的方法以避免这些“困难”，这种方法的出现得益于当时还没发展起来的次协调领域的研究。我们对不回避互补性语句的合取方向的探索是可行的，但粗略地讲，这种合取不能被推出为包含互补性的理论的一个定理。
在我们看来，玻尔的观点为定义一组非常普遍的理论提供了依据，这组理论可以被认为是和可以推演出像γ和
γ（γ的否定命题）命题的公理结合在一起的，但正如我们下面将要看到的，那样的一种理论在这一意义上是非平庸的，即上述事实并不意味着由那样一种理论的语言所形成的所有公式都是定理。换句话说，我们在下面将要刻画的这组理论是不能从γ和γ推导出γ∧γ这一矛盾式的。
二、一种理解互补性的方式
为了根据本文所考虑的术语“互补性”来说明我们这组理论的意义，我们先看一下一些学者是如何分析这一概念的。
当然，几句孤立的引语并不能证明理解了概念，尤其对于本文所讨论的“互补性”更是如此，但通过这些引语我们也许能够强调一点，即与表示“同时性测量”（一种类似于某种时间逻辑的用法表述）的不可能性相比，互补性在某种意义上（下面几节解释这种“意义”）更多地表示一种不相容性。
不管怎样，应当指出，我们会发现玻尔曾谈及不能在同一时刻使用互补性的概念（如我们在参考文献[9]中的几篇论文中可以看到的那样），但按照他的观点，这些情况需要孤立地分析。也许提供一种可以使我们用来处理所有这类问题的普遍描述是不可能的，按照玻尔的看法，“一个人务必非常小心地分析这些概念，因为它们实际上构成了某些限制”[9]。
例如，泡利曾经表明：“（如果）一个经典概念的应用排除另一个经典概念的应用，像玻尔一样，我们把这两个概念称作互补性的（相互的）”[23][14]。James Cushing也曾强调说：“不管沿着何种历史途径，玻尔提出了一种互相排斥、互不相容且必不可少的关于经典图像的学说，其中任何一种明确地强调一组概念的做法肯定排斥另一组。”[14]。
互补性命题互相“排斥”（不相容性）的观点被玻尔本人在几段文字中一再强调：
对一物理系统不同方面的描述似乎是不相容的，但对此系统的完整描述而言，它们都是需要的。尤其是波-粒二象性[16]。
在原子领域，对象显示出粒子和波的特性，而在经典的、宏观物理学中，它们是互相排斥的两种现象[16]。
因此，正是量子论的本性迫使我们不得不承认时空一致和因果要求是依次代表着观察的理想化和定义的理想化的一些互补又互斥的描述特点，而时空一致和因果要求的结合则是经典理论的特征[2]。
从E.Scheibe的书中（见参考文献[24]）还可以找到玻尔的几段叙述，如：
用不同的实验设备对对象进行观测所得到的一些显然不相容的信息在通常的方式下彼此之间毫无关系，但若对对象的所有表现作一彻底的说明，这些信息都是同样必要的且可以被认为彼此是“互补的”[16][24]。
Scheibe也说：
……这里所说的“互补的”也被说成是“明显相容的”，这种指称无法用于经典概念、数量或者一些其组合先前被断定为是经典理论特征的方面。因为“明显地不相容”在经典领域肯定意味着不相容[24]。
下一引文与我们这里极力强调的互补性的“排他性”特征也是相关的。玻尔说：
不过，按照原子物理学中经常使用的一个术语，在确定的实验条件下得到的一个原子对象的信息对于排除这一实验条件而在其他实验条件下得到的同一对象的信息来说是具有互补的特征的。尽管这两类信息不能通过普通的概念结合进一个单一的图像，但它们却代表着在此领域中所得到的关于对象的必不可少的、不同方面的知识[24]。
换句话说，把事物互补的方面组合成一种单一的描述会带来困难，在这个意义上，把这些互补的方面视为不相容的似乎极为合理，也正是在这个意义上，量子世界与“经典”世界大相径庭。
应当表明的是，直接看上去，“经典世界”可以通过运用标准逻辑和数学来进行描述，即如果α和β都是一个（建立在经典逻辑上的）理论的命题或定理，那么α∧β也是这个理论的命题或定理。当我们说根据经典逻辑一个真命题不能“排斥”另一个真命题时，这是我们直观上的认识。
在经典逻辑中，如果我们从一个理论T的一组公理
推导出γ，从另一组公理
推导出γ，那么γ∧γ也是可从T中推导出来的。
正常情况下，一个理论T的公理集△是一个有限集，因此我们可以讨论△中语句的合取而不讨论△本身。这样，如果α和β各自是与上文中的和相联系的语句的合取，那么我们就可以寻找一种理论，其中α
γ并且βγ，但γ∧γ却不是T的一个定理。
因此，既然我们不打算排除掉“互补性情形”，我们就要找到一种形式上避免从∪（或α∧β）衍推出矛盾的方法。尽管我们强调指出玻尔的观点并不十分清晰，但正如下文所表明的那样：
已经被使用的“互补性”这一术语也许更多地使我们注意到这一事实，即正是那些在经典描述模式中统一的但却在量子论中表现出分裂的特征的组合使我们最终把量子论看成是经典物理理论的一种自然的概括[4]。
不管怎样，下文对互补性的论述可以和玻尔的这种更一般的观点联系起来。
三、C-理论
为了给我们思考互补性命题的方式提供更为充分的观点，让我们引用Max Jammer的一段话：
正如我们所知，尽管很难给玻尔的互补性概念下定义，但互补性解释这一概念似乎并没有引起什么定义上的困难，以下就是对这一概念所提出的定义。如果下列条件得到满足，一个确定的理论T就接受一种互补性解释：（1）T（至少）包含两种关于其实体-对象的描述
和
；（2）和，指同一论域U（如玻尔的微观物理学）；（3）和都不能单独对U的所有现象作全面的说明；（4）把和组合成一种单一的描述会导致逻辑矛盾，在这一意义上，和是互相排斥的。作为由哥本哈根学派所理解的互补性解释特征的这些条件很容易从已有的研究中总结出来。按照这一学派主要代表人物之一罗森菲尔德（Léon Rosenfeld）的观点，互补性是下述这一问题的答案，即在我们遇到不得不使用互相排斥的、但对于现象的完整解释却都是必要的两个概念的情况时，我们该怎么办？“互补性表征了两类概念之间这样一种新型的逻辑关系，这种关系相互排斥因而不能在同一时刻被考虑（否则将导致逻辑错误），然而在对现象作完整描述时却必须都被用到。”或者引用玻尔本人与条件（4）有关的看法：“在量子物理学中，当试图把通过不同实验设备（……）得到的关于原子对象的证据组合成一种单一的图像时，这些证据之间会表现出矛盾性。”（……）事实上，玻尔的科摩讲座强调了因果描述（）和时—空描述（）相互排斥却同时并存的必然性，即玻尔对互补性解释的首次表述，科摩讲座提供了一个和上文的定义完全协调的例证。如常说的那样，玻尔的互补性发现是他对现代科学哲学最伟大的贡献[20]。
下面是对Jammer引文的解释。首先，我们把和看成是在理论T的语言中形成的语句，由于和涉及同一论域，因此它们都可以由这一论域的语言形成。所以，条件（1）和（2）被认为是固有的。由条件（3）可衍推出：从T的观点看，和对有关对象各相关方面的全面解释都是必不可少的；因此，我们把和都看成是“真”语句（在一个充分的T“模型”中）。条件（4）值得进一步思考。Jammer所说的“相互排斥”意思是“把和组合成一种单一的描述会导致逻辑矛盾”，罗森菲尔德强调了这一点，既然这样会衍推出一个“逻辑错误”，那么就“不能在同一时刻考虑”这些概念。所以，我们认为，在日常意义上，“相互排斥”或互补就是指其合取导致矛盾的（在一个以经典逻辑为基础的理论T中）、不相容的语句或命题。
因此，按照Jammer和罗森菲尔德的观点（如上述引文所示），如果一个理论T包含了两个在其特殊论域中不相等价的真公式α和β（分别表示Jammer的和），并且如果根据经典逻辑它们的合取在T中会产生矛盾，在此意义上，公式α和β是“互相排斥的”，那么我们就可以说，理论T接受了互补性解释或者说T是一个C-理论。
与上述互补性语句的特征相关的问题是：如果T的基本逻辑是经典逻辑或者说是直觉主义逻辑，那么T是矛盾的或不协调的。很明显，在上述引文中罗森菲尔德所表达的这一思想是相当明确的。由此可见，如果我们要在上述意义上坚持互补性命题的观念，就必须要改变T的基本逻辑，尤其是我们“推演”事物的方式。因此，我们将通过对推演的经典概念的修改来获得一种被称为次协调逻辑的新型逻辑[13]。
四、C-理论的基本逻辑
正如我们已经表明的那样，如果一个包含互补性的理论T是以经典逻辑甚或最通常的逻辑系统为基础的，那么，如前几节所描述的相互排斥定理的存在就意指T是平庸的，即T语言中的所有公式都是T的定理。不过，应用另一种合适的逻辑系统来建立这样一个理论T也是可能的，即通过这种逻辑系统我们能够处理γ和γ都是T的定理，但γ∧γ却不是T的定理这样一些情况。因此，如果被合适引入，这种新逻辑将允许我们在T中处理吸引人的“互补性命题”并且不会产生矛盾和平庸性，或者按上述引用的罗森菲尔德的话说，不会产生“逻辑错误”的危险。在下文中我们就概括地描述一下这种新逻辑的基本思想。
次经典逻辑P在参考文献[13]中提出了一种处理非平庸系统的新方法，在那篇论文中提出的逻辑在包含互补性的情况中可能也是有用的（根据在参考文献[12]中提出的那些逻辑的特征），这种逻辑就是一种次协调逻辑，对于我们要达到的目的来说，它是非常适用的。既然这种逻辑仍不为人所知，我们就在此回顾一下它的主要特征并强调一下与我们的目的相关的那些方面。之后，我们将指出这种逻辑如何被用来作为C-理论的基本逻辑。在最后一部分我们将概略介绍一种方法用来总结已提出的有关观点。如在[13]中一样，我们把新逻辑P限定在命题层次上，当然，很容易把P扩展至一阶甚至高阶系统。
令C表示经典命题演算的一个公理系统。C的演绎的概念与标准的一样；我们用符号表示C演绎。而且，C的公式用小写希腊字母表示，大写希腊字母表示公式集。符号，→，∧，∨和
具有其通常的意义，公式书写中的标准惯例也一如既往。所有句法上的概念和细节可以在参考文献[21]中发现。我们尤其对下述定义感兴趣，即：如果一个理论T（一个在演绎下封闭的公式集）包含一个定理α并且其否定α也是T的一个定理，那么T是不协调的；否则，T是协调的。如果F表示C语言中的所有公式集且T的定理集恰好和F相重合，那么T是平庸的；否则，T是非平庸的。
所有P的句法概念类似于C中相应的概念。演绎的概念介绍如下：
定义4.1 令Γ是P的一个公式集，α表示一个公式（P语言中的），那么我们说α是Γ的一个（语法）P-后承，记为：
Γpα
当且仅当：
（
）α∈Γ，或者
（
）（根据经典逻辑）存在一个协调的子集△
Γ使得（在经典逻辑中）△α。
我们把p称作P-后承关系。下述结论可以直接得到证明：
定理4.1
1.如果α是经典命题演算C的一个定理并且Γ是一个公式集，那么Γpα。特殊情况下pα。
2.（根据C）如果Γ是协调的，那么Γα（在C中）当且仅当Γpα（在P中）。
3.如果Γpα并且Γ△，那么△pα（所定义的P-后承的概念是单调的）。
4.P-后承（p）的概念是递归的。
5.既然P命题是C的命题，P是可判定的。
定义4.2一个公式集Γ是P-平庸的当且仅当对于每一个公式α，Γpα。否则，Γ是P-非平庸的。
定义4.3一个公式集Γ是P-不协调的，如果存在一个公式α使得Γpα并且Γpα。否则，Γ是P-协调的。
定理4.2
1.如果α是一个原子公式，那么Γ=｛α，（α｝是P-不协调的，但却是P-非平庸的。
2.如果公式集Γ是P-平庸的，那么（根据经典逻辑）它是平庸的。如果Γ是非平庸的，那么它是P-非平庸的。
3.如果Γ是P-不协调的，那么根据经典逻辑它是不协调的。如果根据经典逻辑Γ是协调的，那么Γ是P-协调的。
像[13]中所表明的那样，对P进行语义分析，可以不费力地得到一个完全性定理。
我们注意到｛α∧α｝在经典逻辑中是平庸的，但却不是P-平庸的，尽管我们并没有提出应当把互补性命题作为成对的矛盾性语句来理解。
定义4.4一个C-理论是一个在P-后承的关系p中闭合的公式集T，即对任何使得Tpα成立的α来说，α∈T。换句话说，T是一个其基本逻辑是P的理论。
定理4.3从经典逻辑的观点看，存在尽管P-非平庸的但却是不协调的C-理论。
证明：定理4.2的直接后承。
在一般的应用中，协调的公式集的存在通常仅以一种日常的方式被设想成是一种内在的假定。直观地，它指如下事实，即科学家们所接受的一些“经典的”（即以通常的数学为基础的）理论和假说原则上被认为是无矛盾的（协调的）。
定理4.4每一个协调的经典理论即以经典逻辑（和集合论）为基础的每一个协调的理论是C-理论的一个特例。
最后，我们来阐明一个结论（下面的定理），这一结论的证明是上文关于P-后承定义的直接后承。正是这种P-后承把我们的逻辑和上文所述的“互补性命题”的特征连接了起来。在阐明结论之前，我们先下一个定义：
定义4.5令T是一个C-理论并令α和β是T语言的公式。我们说α和β是T-互补的（或只说是互补的），如果有一个T语言的公式γ使得：
1.Tpα并且Tpβ
2.αpγ并且βpγ
我们也可直接得出：矛盾性命题如α和α在上述意义上是互补的；但再一次声明的是：我们并不是坚持认为这种特殊的逻辑构成了对玻尔所有观点（包含在2节末尾的引文中）的一种简练的说明。上述直接的、有趣的结论是从下面这一定理得到的。
定理4.5如果α和β是一个C-理论T的互补性定理并且αpγ且βpγ，那么总的来看γ∧不是T的一个定理。
证明：定理4.2的直接后承。
由于我们可以接受这样的命题（互补性命题），即其中一个可以衍推出某个命题而另一个可以衍推出这一命题的否命题，但它们（指互补性命题）的合取并不衍推出矛盾，所以定理4.5实际上是有趣的。考虑涉及C-理论情况的一个例子。假设我们的理论T是可以通过一个Suppes谓词[11][27]被公理化的经典力学，并且我们给T的公理增加如下两个公理：
（Ax1）p是一个粒子
（Ax2）p是一个波
既然（Ax2）暗含着（Ax1）否命题，那么T就可被视为是C-理论的一个例子，因为从T中我们可以推知“p是一个粒子”和“p不是一个粒子”（即p是一个波），但却不能推出“p是一个粒子并且p不是一个粒子”，显然，后者在物理学中没有意义。因此，假定T的基本逻辑是次协调逻辑P似乎是有道理的。
T作为一个C-理论的基本特征是：在进行推理时，假定了我们所研究的一些假说是协调的。换句话说，与包含经典演绎概念的理论相比，C-理论更贴近科学家们日常实际应用的理论。
五、更普遍的互补性情况
众所周知，玻尔试图把他的互补性原理应用到其他知识领域[20]。不久以前，Englert等人提出，互补性不像那些认为“两个互补性变量如位置和动量不能被同时绝对精确地测定”[15]的人所提倡的那样仅仅是不确定关系的一个结果，而是：
（……）不确定性不是互补性唯一的表现形式。我们设计和分析忽略掉不确定关系的真实实验和思想实验实际上是“哄骗了”研究中的量子对象。不过，结果总显示出自然界保护它自身不受这种侵犯——即使不确定关系失去了效用互补性却未受丝毫影响。我们断定互补性比人们已知的更深刻：对量子力学而言，互补性比不确定性原理更普遍、更基本[15]。
如果Englert等人是对的，那么次经典逻辑似乎也可以用来处理那些在自身意义上包含互补性的理论。
不管怎样，这种逻辑经过修改可以用来处理更普遍的不相容性的情况，如“物理不相容性”、与物理不相容假设相结合的人类行为的特征，等等。不过，我们要离开这一话题来讨论另一个问题。
六、与逻辑L相联系的次逻辑
本论文中所使用的给予经典逻辑相联系的次经典逻辑下定义的方法可以被概括到任一逻辑L中（包括无否定符号的逻辑，但这里我们不考虑这种情况）。更确切地说，从一种逻辑L开始，我们可以定义与L相联系的PL-逻辑（与L相联系的“次逻辑”（paralogic）），具体如下：
令L是一种逻辑②。L的推演符号是L，它是根据所考虑的特殊逻辑标准被定义的。我们依然假定L语言有一个否定符号。
定义6.1一个以L为基础的理论（一个L-理论）是L语言的一个公式集Γ，这一公式集在L中闭合。换句话说，对于每一个公式α，α∈Γ使得ΓLα。
定义6.2一个L-理论Γ是L-不协调的，如果有一个L语言的公式α使得ΓLα并且ΓLα，其中α是α的否定。否则，Γ是L-协调的。
定义6.3一个L-理论Γ是L-平庸的，如果对L语言的每一个公式α来说，ΓLα。否则，Γ是L-非平庸的。
然后，我们通过修改推演的概念，给和L相联系的其语言和句法概念就是L的语言和句法概念的
-逻辑下定义，具体如下：我们说α是一个公式集Γ的-句法后承，记为ΓPLα，当且仅当：
1.α∈Γ或者
2.存在∧Γ使得△是L-非平庸的，并且△Lα。
如，我们可以把次协调演算
[12]看作这里的逻辑L，那么，和相联系的次逻辑就成了一种“次—次协调”逻辑。
七、评论
留意以后与理论的次经典处理方式相联系的内容似乎是值得的。当一个次经典理论T使得Tpα并且Tpp时，存在合适的命题β和γ使得T可以由一个经典的、协调的理论T（其中β→α和γ←α是T的定理）来代替。如果这样的话，逻辑困难原则上就消除了，经典逻辑就得到了维护。这种方法将在以后的论著中加以发展。
（本文由达科斯塔教授于1999年6月22日寄给武汉大学桂起权教授的文稿译出。湖北大学哲学学院宋伟博士译，武汉大学哲学学院桂起权教授校对）
收稿日期：2010-02-10
注释：
① Jammer的书提供了对这些逻辑的一般看法，参看参考文献[20]自341页起。
② L可以是经典逻辑、直觉主义逻辑、某种次协调逻辑或者原则上任一别的逻辑系统。