论数学问题对数学发展的影响，本文主要内容关键词为：数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O1-1 文献标识码：A 文章编号：1003-5680(2002)05-0043-05
科学始于问题[1]，数学作为一门科学，同样具有这种特点。但与一般自然科学不同，数学作为研究纯粹量的形式关系（或称为模式关系）的一门学科，问题不仅来自客观世界，还依赖于自身的发展。数学发展到今天，其自我繁殖过程中产生的问题甚至还多于直接来自客观世界的问题。从而，数学问题对数学发展的影响也有其自身的特点，它表现为，数学问题的产生、解决与数学学科的发展的紧密的依赖关系，问题争论异常激烈之时，往往也是数学重大变革或重要发展之际，数学的变革与发展又会带来更多更有价值的问题。数学问题的价值不仅可以用“科学的重要性”（外部重要性）来衡量，同时也可用“数学的重要性”（内在重要性）[2]来鉴别，数学正是依赖于这些问题而生存与发展。按美国数学哲学家基切尔的观点，问题的提出与问题的解决都是数学发展的基本模式，就数学发展的纯粹模式而言，它遵循
这样一个无限循环的往复运动[3]。无怪乎数学家哈尔莫斯称：问题是数学的心脏[4]。
数学研究离不开问题。广义地说，未经证明的数学命题，以及为教学需要人为设置的问题都属于数学问题。这里所说的问题，主要指数学各分支中的一些基本的、经典的问题，以及这些学科中的一些专门问题，有些问题还被冠以“猜想”或“假设”，如著名的哥德巴赫猜想、黎曼假设等，它们往往表达清晰易懂，结论直观明显，证明极其困难。数学中充满了这类问题，并呈增长之势，这正是数学得以蓬勃发展的重要原因之一。
数学问题的解决，不仅促进数学的发展，也不断改变人类对客观世界的认识。一个好的数学问题，即具有科学重要性或数学重要性的问题，往往是对宇宙运动法则或人类认识观念的本质质疑。在某种程度上，它决定着数学发展的方向。因此，分析数学问题对数学发展的影响，将有助于认识数学问题的价值，使数学研究朝着有利于人类正确认识、改造客观世界的方向发展。数学问题对数学发展的影响是指围绕数学问题的提出、解决问题途径的探索，直至问题的最终解决所引起的数学观念、内容、方法，甚至整个数学体系的变化。谁也不会忘记，1900年，希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作的关于《数学问题》的演讲对整个20世纪数学发展产生的深远影响。
想要预见数学问题的价值有时是困难的，一般而言，对数学发展产生影响的问题都有一定价值。数学问题其价值的发现是一个动态的过程，需要在问题解决过程中不断挖掘，有时也会不断修改、更新、替换，甚至淘汰原有问题，重新获得真正有价值的问题。本文试图从数学观念的转变、数学概念的形成、数学方法的创新、数学理论的完善四个方面，分析数学问题对数学发展的影响，并简要论述中国古代数学中的数学问题，指出中国古代数学未能深入发展的一个重要原因是数学问题的匮乏。
一 数学问题影响数学观念的转变
数学观念即人们对数学及数学与客观世界关系的总的看法。数学，作为一门理性科学，自古希腊数学家开始发展以来，一直充满着危机与矛盾，原因在于思维的局限性，人类思维往往不足以完全反映客观世界的真实性，从而需要不断反思与深化，才能逐步认识其本来面目，正如罗马哲学家塞涅卡所说：“自然界不会一下子披露她所有的秘密”。数学中的危机与矛盾自然就形成一系列的数学问题，有些问题会直接与人们当时的数学观和哲学信念相悖，从而不断引起“智力悲剧”[5]。
数概念发展的历史恰好就是数学观念不断转变的一个例子。古希腊毕达哥拉斯学派认为宇宙是以数学方式设计的，在他们的观念中只有整数与整数比，这是他们用来解释自然的第一原则[6]，对数的痴迷导致他们“万物皆数”的哲学信条，认为（整）数是万物之本，一旦发现世间还有不可公度的线段就显得措手不及，无法接受，据传还把发现者投海处死。不可公度问题导致无理数的发现，最终打破了他们“万物皆数”的信条。这是数学史上第一次“不幸”，常被称为“第一次数学危机”。观念的影响根深蒂固，数学的发展总在揭示宇宙的真谛，新真理的发现大多不在人的意料之中，接受它需要时间的考验与观念的转变。如果说无理数的出现还有线段做参照，那么“虚数”的登场则有点“无所依托”。16世纪中叶，卡丹在解决分10为两部分，使其乘积为40时，解方程x(10-x)=40，求得两“数”为
，这两个怪“数”在当时，无论从逻辑上、形式上还是实际意义，都让人无法接受，但“不管会受到多大的良心责备”，总算还能将这两个“数”相乘得到40。当时最伟大的数学家笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、柯西、德·摩根，以及哈密尔顿等都曾排斥过它，从笛卡儿称之为“虚数”就可见一斑，欧拉也将它称为不可能的数。哈密尔顿正是为了复数问题的这种“玄奥之障”，才刻意发展了他的数偶理论，并由此创立四元数，开创非交换代数的新方向。然而，使数学家相信复数的不是逻辑，而是威塞尔、阿尔刚和高斯等人的几何表示[7]。高斯、哈密尔顿等的工作使代数与几何有可能建立真正的联系（点与数的一一对应），四元数因为放弃传统的数的交换性而被誉为是代数学的解放。观念转变是在探索中逐步产生的，一旦发生转变，数学将会取得革命性的发展。观念转变是数学产生重大突破的关键。欧氏几何第五公设问题的解决，同样也可表明这一点，如果不是数学家放弃旧的数学观念，仍固守欧氏空间是现实空间唯一写照，非欧几何将永远无法诞生，现代数学也不会有今天这样的辉煌。
数学问题对数学观念转变的影响表现为：第一，问题的提出直接与原有的数学观念相抵触，如无理数的出现，这一般会遭到权威数学家严厉抵制，往往会延缓新概念诞生，影响数学发展进程，拒绝无理数也是希腊数学衰退的原因之一。尽管如此，真理仍会重视，观念终将改变；第二，转变体现在探索解决问题的途径中，如第五公设问题及将要论及的方程根式求解问题，都经历了成百上千年历程，才使数学家慢慢转变观念，让古老问题得以再生，并推动数学的发展；第三，这种影响伴随整个数学发展进程，在数学发展的许多重要时期，都可有这样的例子，如：至1900年，随着算术、代数、几何及分析基础问题的解决，数学家本以为可在坚实的基础上稍事休息了，彭加勒甚至夸耀地称“绝对的严格已经达到了”，可两年后发现，数学赖以寄存的基础——集合论出现严重缺陷，集合论悖论问题，使数学家们惊恐万分，引来了所谓的基础讨论，并导致逻辑主义、形式主义、直觉主义等多种数学观的产生；又如，四色问题，它的解决也是对数学观念转变的一个考验。尽管到现在，对计算机证明是否算数仍没有一个非常明确的肯定，但计算机已悄悄深入到数学的许多领域，实验数学、机器证明正在悄然发展着，计算机的深入发展将会进一步影响数学观念的改变。
可以说，有价值的数学问题，总会带来有生命力的东西，也多少会影响数学观念的进步或转变。正像J.V.格拉比纳所说：“数学的发展有两种方式，不仅有逐步的积累，而且还有及时的革命”[8]，他这里的革命是指对数学真理看法的改变，亦即数学观念的变化。
二 数学问题诱导数学概念的形成
数学概念是数学理论思维的基本成果与数学理论体系的基本要素，它的形成与发展，是和整个数学或数学的某个分支的形成和发展同步进行的，数学基本概念的形成，标志着一门新的数学分支的诞生[9]。数学问题的解决一般不会是原有概念与方法的重复使用与简单叠加，总会伴随某种观念的更新与方法的重建，而这种更新与重建往往会诱导新的数学概念的产生，数学以这种方式，不断诞生新的数学概念，为数学家族增添新的成员。
方程求解问题是个古老的数学问题，尽管公元前两千年左右就已能解一般二次方程和特殊高次方程[10]，可到16世纪才刚刚获得三、四次方程的一般解法，前后相距三千多年，可见其艰难。更高次方程的根式求解，一直是代数学的中心问题，为许多著名数学家所探索，欧拉、拉格朗日、高斯等都为此付出过努力，直到19世纪才为两个年轻数学家阿贝尔和伽罗瓦解决，他们引入置换群、子群、正规子群、域等全新的概念，以致让他们同时代的数学家无法理解，但他们的成果及所引入的全新概念，对整个数学发展具有划时代的意义。由群、域等概念产生的代数结构思想影响数学发展近两个世纪，直至今日。代数学从阿贝尔、伽罗瓦时代起，其主要任务不再以解方程为中心，而成为一门研究各种代数系统的学科。可以说，方程根式求解问题对数学发展的影响是数学史上最重大的影响之一。费马大定理，20世纪最伟大的数学成果之一，是数学问题诱导数学概念形成的另一个重要例子。表述简明的费马大定理困惑了人类智者350多年，原以为这个古老而孤立的数论问题仅是个智力游戏，但在探索解答过程中却创立了许多新概念，例如分圆整数、理想数、唯一分解、椭圆函数、模函数等，形成了代数数论、理想数理论等新的数学分支，希尔伯特称它为“会下金蛋的鹅”。类似地，华林问题与哥德巴赫问题都曾极大地推动解析数论的发展。
数学问题难以解答，一是缺乏有效的方法与技巧，无法把握解决问题的关键；其次不知问题同其他事物对象的关系，即不知它在整个结构（如果有的话）中的地位；另外，按哥德尔不完备性定理，也许恰好遇上无法判定正误的问题。对数学家有深深吸引力的，往往是那些对大量特殊情形均成立，或与多个数学问题的解决关系密切的问题，如前面提到的哥德巴赫猜想与黎曼假设。尽管存在不可判定的数学问题，但到目前为止，好像还没遇到对大量特例成立，而最终结论不成立的例子，这也是不断鼓舞数学家追求完美、解决问题热情的一个重要原因。数学问题的解决，依赖于某些有效的方法或思想，通过这些方法或思想才能挖掘出问题所具有的本性，法国数学家让·迪多内说：“为了了解这些问题的真实性质（有时是十分隐蔽的），常常要打开全新的数学领域”。而新领域的创建来自新的数学概念的形成，“除了由于最初技术的完善而取得进展的少数问题之外，真正的进展大多是在深刻理解了被研究对象之后取得的，而这种深刻的理解往往是将这些对象放在比较广阔的范围内时产生的”[11]。新学科分支的建立，为原有问题提供了更广阔的背景，费马大定理正是在更广阔的范围，代数数论、代数几何的领域内被解决的，成为20世纪最光辉的数学成就。
三 数学问题导致数学方法的创新
数学方法即人们从事数学活动所采用的方式与手段。数学问题的解答就是在原有或新建的概念系统中，用合乎普遍规则的方式或手段，对问题中的疑虑做出符合逻辑的解释。由此可见，数学方法是连接已知与未知的纽带和桥梁。数学研究的基本目标，就是通过寻求普适的原理与有效的方法，联结已知与未知，建立适于自然科学研究的一般结论与方法，并最终达到认识自然、改造自然的目的。
由于数学活动主要是一种思维活动，数学方法实际上就是对这种思维活动的合理、有效的归纳与总结，使之形成一种可操作的程式，即有明显层次与程序性的思维过程。人们在获得问题解答的同时，也希望获得有普遍意义的方法，如果问题的解答既不能获得新的概念，也得不到普适的方法，那么它就不是有价值的问题。
自欧几里得《几何原本》问世以来，基于公理化的演绎推理方法，一般被认为是数学严格性的典范。从而，古代数学中的几何学也被认为是严格数学而受到青睐。算术与代数尽管在公元250年前，经过阿基米德、阿波罗尼斯、托勒密、海伦、尼可马修斯、丢番图等的努力，已使之成为一门独立的学科得以发展，但同几何学相比仍然逊色许多。原因在于，它不像几何那样，是从公理演绎推出的，作为一门独立分支“竟无其自身的逻辑结构这种情况，就成为数学史上的一大问题”[12]，这个问题甚至一直延续到19世纪。由于上述原因，解析几何发明以前，很多代数问题都被西方数学家归为几何问题处理，“数形结合”更多的是以形代数，笛卡儿对此深感不安：欧几里得几何中每一证明，总是要求某种新的、往往是奇巧的想法[13]。这种过度抽象与依赖图形，将不利于创造力的发挥，他主张将代数与几何中最好的东西，相互取长补短，他相信代数具有更大的潜力，在他伟大想象力指引下，作为处理几何问题的普遍方法——解析几何终于问世，通常将解析几何看作是笛卡儿与费马的共同成果。恩格斯对此给予极高的评价：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分与积分也就立刻成为必要的了”[14]。事实上，数学也由此进入近代数学时期。解析几何是数形结合思想的最好体现，它的出现是笛卡儿科学方法论思想在数学中的表现，这在数学史上具有多种方法论意义，在此我们不一一阐述，可参见通常的数学史著作。
由问题导致方法创新的例子，在数学中俯拾皆是，微积分的产生是又一个经典例子。微积分是数学史，乃至人类历史上最伟大的发明，无论作为数学思想、数学理论还是数学方法，对整个数学的影响，都是长期、深远、多方面的，对数学的观念、内容、方法及整个数学理论的发展都具有深刻的影响。微积分的创立，首先是为了解决这样一批物理与数学问题，即求瞬时速度与加速度、切线（它来源于几何、光学、运动等多个方面）、最大值最小值问题及求曲线长、面积、体积、重心。这类问题的一个共同特点是，每一个具体的时刻或特殊的位置，所要求的值（如速度、面积等）都不是常量，因而不能用经典的常量数学的方法去求解。这其中有些问题在古希腊时就被研究过，但成效不大。至17世纪，由于开普勒等人在天文学中的巨大成功，使科学家彻底放弃旧的理论与宗教理念，充分相信数学在自然科学研究中的重要性，同时，贸易、技术、航海、军事、物理等的发展，也迫切需要解决上述各种问题。因此，寻求这类问题的普遍解法成为应时之需，牛顿、莱布尼兹在技术上完成了关键的最后一步，创立了微积分。奇怪的是，微积分这样有效的方法，其基础却是含混不清的，为此，又花费了数学家200多年的时间。
数学科学的特殊性，使得考虑问题的方式也具有自身特质。对通常问题的数学化考虑，形成了数学的抽象化方法，它是数学的基本方法之一；对结论或理论的严格性、合理性考虑，就产生数学公理化方法；对具体问题的考虑，又会形成各种各样具体的数学方法，如代数方法、几何方法、分析方法、数学归纳法等等。数学不会停留在原有的概念或方法上，数学总是在不断提出新概念、创建新方法的过程中求得进一步的发展。
四 数学问题促进数学理论的完善
数学历来被认为是最严格的学科，从概念表述、定理证明，到内容组织、体系安排，无一不是按严格的逻辑规则给出。数学给人的印象就是定义、性质、定理的有序组合，极度抽象，远离现实。可令人惊异的是，这个抽象系统不断带来惊喜，其结论出奇地有效，经常能够不可思议地反映宇宙的运动规则。尽管数学体系严格按照逻辑的要求精心组织，以确保数学结论的绝对可靠，可从欧氏几何形成比较完整的系统以来，仍是问题不断，不时发现这样那样的漏洞，数学的地位也从古希腊时代的绝对真理（数学是宇宙的结构），下降为近代的相对真理（数学是世界的近似描述）与现在的模式真理（数学是关于模式结构形式的）[15]。即便如此，数学家仍孜孜不倦地追求严密，这似乎是数学家的天然职责，毕竟大多数数学还是严密有效的，只是数学家在发展概念、建立理论时更加小心翼翼，不时要问“何以如此？”许多数学问题盖出于此。这促使数学理论不断改进与完善。
数学中最奇怪的事，莫过于算术与代数的发展，这门学科居然毫无逻辑基础地发展了近两千年，更奇怪的是，最先从客观世界抽象出来的自然数，其逻辑框架却是最后（与其他数的理论相比）建立的。而且，如果不是17世纪微积分的发展，这种状况不知会延迟到何时。即使在古希腊文明衰退，包括中国、印度、阿拉伯等在内的东方数学（主要是代数）蓬勃发展的时候，也没有考虑过这样的问题，这一方面与东方数学注重实用不无关系，另一方面也与数概念的抽象与复杂有直接关系。“为数系和代数建立逻辑基础是一个非常困难的问题，远比17世纪数学家能体会到的要难”，19世纪分析的严密化不仅为微积分建立了严密的基础，也促成了数与代数逻辑基础的最终完善，这项工作到19世纪末才完成。问题可以促使数学严密化，但逻辑不能使得数学创新，过分地严谨有时还有碍于创新，许多数学家都持有这种观点。事实上，微积分不是从欧几里得的严密思想中发展而来的，它只是建立在经验与不很审慎直观的基础上，时常还是先验思辨的基础上的[16]，但从严密性考虑，数学家按欧几里得留下的美好传统，仍在自觉地考虑微积分的逻辑基础，让数学家暂时忘掉“基础”的是17世纪下半叶及整个18世纪微积分的巨大成功，其算法的有效性掩盖了概念的模糊性，幸运的是，居然没出大问题。然而，经过一百多年的发展，到19世纪初，微积分已成了一个庞大的数学分支，由于初始概念不清，导致这个庞大的分支模糊概念丛生，缺乏逻辑的推理不断出现，这对追求理性与完美的数学家来说是不能容忍的，分析严密化正是在这样的背景下开始的。严密化不仅使分析的基础得以建立，也促使整个数学的基础逐步完善。
数学理论的无矛盾性是数学理论完善的一个基本要求，从欧几里得《几何原本》问世以来就是数学家考虑的首要问题。第五公设问题正是从理论的和谐性与完美性出发，对《原本》的质疑。由此开始了两千多年的探索，至19世纪非欧几何的发现。非欧几何产生以后，无矛盾性仍然成为其是否有立足之地的重要问题，最终，数学家通过“模型方法”，在欧氏几何中建立非欧几何的模型，证明了非欧几何的相对相容性。事实上，任一个形式系统的相容性都不能在其内部被证明。随后，黎曼几何的发现，更是从整体上表明，三角形内角和大于、等于、小于π的三种几何是一个和谐、完整的整体。
五 中国传统数学中的数学问题
中国传统数学的发展具有悠久的历史，从十进制记数法发明、商高定理（勾股定理）发现到欧几里得《几何原本》的传入，大约经历了近三千年的历史，这么悠久的历史在世界数学发展史上是少见的。顾今用（吴文俊）对中国古代数学在世界数学史上的地位作了客观的评价，特别是中国古代代数学有着极其辉煌的成就，“到宋元之世，已经具备了西欧17世纪发明微积分前夕的许多条件。不妨说我们已经接近了微积分的大门”，并认为：从世界数学发展的历史看，有两条路线，一条是从希腊欧几里得系统下来的，另一条是发源于中国，影响到印度，然后影响到世界的数学[17]。它表明，不仅希腊数学的演绎推理体系是近现代数学思想发展的源泉，中国数学的归纳算法体系也是其源泉之一，吴先生几何定理机械化证明的研究，在某种意义上说明了这种合理性。无论从局部地区数学的发展还是世界范围的发展看，几何与代数的发展总是交替前进、相互促进的。
现代数学发展的历史表明，数学发展的动力源于两个方面，即科学技术与数学自身的发展，前者是数学发展的外部动力，后者是数学发展的内在动力，这两个方面都会对数学提出大量问题，数学问题是这两种动力在数学中的具体表现形式，数学通过解决这些问题得以发展。如希尔伯特所说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题的缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止”[18]。近现代数学的发展正是在不断提出问题、解决问题的过程中飞速发展的。对数学自身的思考，使数学能够独立于自然科学而自由地发展。
回顾中国古代数学发展的历程，许多人都对近代数学未能在中国产生充满疑问。“这是世界科学发展的一个重大问题，也是世界数学发展史的一个很有意义的问题”[19]，许多学者都分析了其原因，如[19-24]。社会环境、文化传统、哲学思潮、科技生产、符号系统等都是制约其发展的重要原因，在此我们不再重复细论。我们认为，缺乏数学问题特别是对数学自身提出的问题，如对概念、原理、方法等合理性的深刻思考，是中国古代数学不能脱离具体生产生活实际成为一门独立发展学科的又一重要原因，当然，这种状况与上述各种原因有密切关系，外部环境也会制约对具体学科自身的思考。如波普尔所说，科学始于问题。无论数学按照什么方式，是希腊的演绎推理还是中国的归纳算法模式，都应有大量问题提出，才是其存在与发展的必要前提。中国古代数学未能深入发展的原因之一正是缺乏这样一种前提。
在中国古代数学研究中，几乎没有历史延续下来的数学问题。从问题的广义理解看，中国古代数学著作中几乎都是问题，被称为是“问题集”，但大多都是具体的、现实的问题，问题的表述几乎都用当时生产生活中的术语，或经直接改变后的语言，具有浓烈的生活气息。尽管对这些具体问题都能给出一般的解法，即所谓的“术”，而且还有很多高明的“术”，如李冶的“天元术”、朱世杰的“四元术”等，在当时世界数学中都具有领先地位，但总的来说，这些“术”只是技能性的，有的还带有一题多解的韵味。很少能从这些“术”中产生新的概念、原理，大多数数学家都是在给前辈数学家的著作作注中发展自己的“术”。能明确作为数学问题留给后人的，也许是刘徽作《九章算术》注时留下的“球体积计算问题”，有人称之为“刘徽猜想”[25]，他指出为求球积必须先求“牟合方盖”之积，给出了具体的求积思路，遗憾的是，因其“外棊”形状复杂未能如愿。“欲陋形措意，惧失正理。敢不
疑，以俟能言者”。两个半世纪以后，由祖暅完全解决，导致“刘祖原理”发现，早于卡瓦列里原理一千多年。刘徽问题对体积计算的发展有一定影响。另外，π计算是又一个数学问题，圆的普遍认识与应用是导致π计算的重要原因，π计算一直可延续到现代，中国古代也早有π之近似值，到祖冲之计算至7位精确小数，非常不易。此后，国外又有各种形式的计算方法，但这些都已与我们无关。事实上，π的计算不是统粹计算的问题，涉及到算法与工具的发展，同时还有一定的“结构”问题，π的多种漂亮的级数表示，是近代计算得以进行的关键。中国古代数学中的有些内容，如果仔细思考、深入发展，也能成为现代数学的内容，如中国剩余定理在环论中推广后仍然有效[26]。历史表明，过分注重实用不利于数学的深入发展，缺乏问题同样不能促进它们进一步的发展。
数学往往从两个方向发展，自然科学各种问题的解决，给人类认识自然、预测并控制自然带来直接的效果；数学自身问题的解决，使数学向更纵深的领域发展，向人类思维的深度挑战，这两者相互作用、相得益彰。数学发展并不完全是数学知识系统内容的积累与丰富，也是数学观念系统认识的进步与深化。哥德尔不完备性定理在某种意义上告诉我们，这两种系统都是开放的，从而也在一定程度上表明，数学是一门可以不断深入发展的学科。
数学问题对数学发展的影响往往是多方面综合交叉的，这种影响有目共睹，正如让·迪多内所说：“如果说从16世纪以来数学以前所未有的速度持续不断地前进，那么首先应该归功于数学家从不间断地提出各种各样的问题”[27]。世纪交替之际，也有数学家试图提出21世纪的数学问题，但现代数学已今非昔比，没有一个数学家能像希尔伯特那样在所有分支中提出问题、法国克莱数学研究所组织包括维尔斯在内的世界顶尖数学家共同提出了七个世纪数学问题，每个悬奖100万美元，以鼓励数学家攀登高峰。然而，数学问题之广泛，已远远不是这些问题所能涵盖，世纪问题的意义在于让更多人深刻认识它们的重要性。正如维尔斯所说，没有为发明飞机、计算机悬奖，没有为兴建芝加哥城悬奖，但它们已是美国的一部分，这在17世纪是完全不可想象的[28]。新世纪的数学大门为所有有为者敞开，愿中国在其中占有一席之地。
本文完成于内蒙古师范大学科学史研究所，真挚感谢李迪教授、罗见今教授的热情指导
【收稿日期】2001-11-06
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