赖义生[1]2002年在《分片代数曲线与分片代数簇的若干研究》文中指出利用多元样条函数进行散乱数据插值是计算几何中一个非常重要的课题。本质上，解决多元样条函数空间的插值结点的适定性问题关键在于研究分片代数曲线，在高维空间里就是研究分片代数簇。 分片代数曲线作为二元样条函数的零点集合，分片代数簇作为一些多元样条函数的公共零点集合，它们是代数几何与计算几何中一种新的重要概念，显然也是经典代数曲线与代数簇的推广。本文应用代数几何，计算几何，函数逼近论等学科的基本理论，分别就分片代数曲线的N(?)ther型与Riemann-Roch型定理；分片代数曲线的实交点数；实分片代数簇以及多项式的B-网结式进行研究。主要工作如下： 1：利用王仁宏在文献([1]，[2])中关于多元样条函数的基本理论，本文将代数曲线的N(?)ther定理([71])推广到分片代数曲线上，给出了剖分为Δ_1和星形剖分上的C~μ分片N(?)ther型定理。 2：本文将奇异循环纳入分片代数曲线的线性列中，建立了由分片代数曲线的支组所构成的“线性列”理论，这一理论是相应代数曲线“线性列”理论([71])的推广。分片代数曲线的完全列是由所有属于同一等价类的有效正常循环以及所有与它特等价的有效奇异循环构成。利用这一理论以及多元样条函数的基本理论([1]，[2])，本文着重讨论并给出了剖分为Δ_1和Δ_+的C~μ分片Riemann-Roch型定理。 Δ_1上的C~μ分片Riemann-Roch型定理： 设p是次数为们的不可约C~μ分片代数曲线F的亏格。若i为完全列g_n~r的指标，且列g_n~r中不存在中心落在剖分线上的不动支，则r=n-p-m(μ+1)+i+1。 Δ_+上的C~μ分片Riemann-Roch型定理： 设p是次数为m的不可约C~μ分片代数曲线F的亏格。若为完全列g_n~r的指标，且列g_n~r不存在中心在剖分线上的不动支， 则r=n-p-4m(μ+1)+i+3。 大连理工大学博士论义：分片代数价线／I片代数簇的若十M穴 3：利用杨路，张景中，侯晓荣在文献V13］，［73］）中关于一元多项式实根的显式判准，以及二元样条函数的B－网形式，多项式的判别序列和 Sturm序列的最高次数项系数序列的变号数，本文给出了两个分片代数曲线的丈交点数（假设公共点是有限的）的计算公式。使用向量场的旋转度方法，也给出了交。l、）数的一个下界计算公上巳 4：应用多项式在单纯形上的B－网形式以及文献门21）中的实根理想，锥根理想，半代数簇分解定理，本文得出了实C”分片代数簇的＿二个维数定理和C。‘样条空间的实零点定理（Real Nullstellensatz）。 5：本文定义了多项式r网结式，导出了卜；叫结式的性质和分网结人与方程组的解之间的关系。
朱春钢[2]2005年在《分片代数曲线、分片代数簇与分片半代数集的某些问题研究》文中研究说明利用多元样条进行散乱数据插值是计算几何中一个非常重要的课题。但由于多元样条空间的结构不但依赖于剖分拓朴性质,而且紧密地依赖于剖分的几何性质,这就使得对样条空间的插值结点的适定性的研究变得十分复杂。目前样条空间的插值(特别是Lagrange插值)适定性问题始终研究的热点问题。王仁宏为解决这一问题提出了分片代数曲线的概念。对于平面上(复或实平面)单连通区域Ω的剖分Δ,曲线 Z(f):={(x,y)|f(x,y)=0,f∈S_n~μ(Δ)} 称为Ω中关于剖分Δ的n次C~μ分片代数曲线。显然,分片代数曲线是经典代数曲线的自然推广。王仁宏指出:样条空间的Lagrange插值结点组适定的充要条件是这些结点不在同一条非零分片代数曲线上。因此,本质上解决插值结点的适定性问题关键在于研究分片代数曲线,在高维空间里就是研究分片代数簇。除此之外,分片代数曲线(簇)也与CAD、CAGD、CAE等领域中均有较为重要的应用。另一方面,人们发现它也是其他学科研究的一种有效工具。分片代数曲线(簇)作为二元(多元)样条的零点集合,它是代数几何与计算几何中一种新的重要概念,显然也是经典代数曲线(簇)的推广与补充。因此,研究分片代数曲线(簇)具有重要的理论与实用价值。本文的主要工作如下: 首先我们对多元样条空间的叁种定义方式进行了回顾,并着重介绍了光滑余因子协调法。给出了分片代数曲线(簇)的定义,并对研究的理论与应用背景进行了阐述。 众所周知,Bezout定理,N(?)ther定理与Cayley-Bacharach定理是经典代数几何的基本定理。将它们推广到分片代数曲线上也有重要的理论与应用意义。王仁宏等对于分片代数曲线的Bezout定理多了大量的研究工作。第二章我们主要是对分片代数曲线的N(?)ther型定理与Cayley-Bacharach定理进行研究。首先对代数曲线的一些概念与主要定理进行了绍,并将一些概念推广到分片代数曲线上。然后对[27]中关于星形剖分下分片代数曲线的N(?)ther型定理改进,并利用贯穿剖分与样条的性质,得到了贯穿剖分下分片代数曲线的N(?)ther型定理。利用此结果与分片代数曲线的Bezout定理,将经典代数几何中的Cayley-Bacharach定理推广到分片代数曲线上,给出了0阶光滑分片代数曲线的Cayley-Bacharach定理分片代数曲线、分片代数簇与分片半代数集的某些问题研究与Hilbert函数,并得到一些有趣的结论. 对分片代数曲线研究的最初根源是二元样条的插值问题,但是将分片代数曲线的理论应用于二元样条插值的研究还非常少.第叁章中,我们首先给出了沿分片代数曲线插值的概念.利用第二章中得到的分片代数曲线的N仪her型定理与,我们得到了一种崭新的构造二元样条Lagrange插值适定结点组的方法.它类似于构造一般多项式Lagrange插值适定结点组的迭代方法. 与代数曲线类似,在进行分片代数曲线的绘制时也会遇到很多问题.目前,一般都借助计算机来绘制分片代数曲线.实际上,计算机绘制出来的图形某些时候是不一定准确的.例如,当计算机屏幕显示不出来图形时,你并不能确定曲线就是空集,而且曲线在奇点附近的显示也是非常不精确的.因此对实分片代数曲线进行理论上的研究是非常必要和重要的.第四章主要对实分片代数曲线进行了研究.首先给出了实分片代数曲线的一些性质,然后定义了实二元样条的特征,利用实代数几何与代数学的基本知识,对某些二元样条及其定义的实分片代数曲线进行了研究,并给出了一种实分片代数曲线孤立点的判断方法.为了研究实代数曲线在叁角域上的拓扑结构提出了代数曲线局部G一P的概念,利用实多项式的Sturm一Habicht序列,分析了实代数曲线在叁角形:域上的正则点与关键点,并给出一种生成实分片代数曲线线性拓扑图的算法. 分片代数簇作为一些多元样条的公共零点集合,同样也是代数几何中一种新的重要概念,是经典代数簇的推广,丰富和发展.它不仅与许多实际问题如:多元样条插值,代数簇的光滑拼接,CAD,CAM和CAGD紧密相联,而且还为研究经典代数几何提供了理论依据.第五章中,我们利用代数几何的有关结果,对分片代数簇进行了研究,得到了分片代数簇的一些性质与维数公式,并且对分片代数簇的坐标环、正则函数与同构定理进行了研究. 半代数集为一些实多项式等式与不等式的公共零点集合.半代数集与半代数函数为实代数几何中的重要内容,在很多方面具有应用(如多项式实根计数,实体造型等).第六章中我们首次引入了分片半代数集的概念.对它的投影稳定性,维数等问题近行了初步的讨论,并给出了分片半代数集的Tarski一Seidenberg基本定理与维数公式.关键词:分片代数曲线;分片代数簇;样条插值;二元样条;多元样条一n一
张晓磊[3]2008年在《多元样条与分片代数簇计算的若干研究》文中研究说明本文主要对多元样条与分片代数簇计算展开若干研究。一方面,我们对多元样条函数在数值分析中的若干应用进行了讨论,主要包括二元样条在有限元,二维奇异积分的计算,以及近似隐式化中的应用。另一方面,我们讨论了分片代数簇计算的某些问题,主要包括零维分片代数簇的区间迭代算法和实根分离算法。主要工作如下:首先,我们讨论了二元B-样条有限元方法。在有限元方法中,多元样条函数主要用来构造各种类型的模型函数。本章我们主要构造了一类均匀(非均匀)2-型叁角剖分下的二元样条基函数组用以插值于边界函数,并且结合均匀(非均匀)2-型叁角剖分下带齐次边界条件的样条空间S_2~(1,0)(△_(mn)~(2)),利用有限元方法来求解椭圆型偏微分方程;而后,我们研究了二元样条函数在二维奇异积分中的应用。近年来国内外许多学者都采用多元样条函数来求解数值积分。特别地,拟插值算子常被应用于各种奇异积分,包括Cauchy主值积分和有限部分积分以及振荡积分的计算上。它们在奇异积分方程的求解中有着重要的应用。由于2-型叁角剖分下的二元B-样条基函数具有结构简单,对称性好,并且具有良好逼近性质的拟插值算子,因此它在实际应用中有广泛的应用。本章我们利用均匀2-型叁角剖分下样条空间S_4~(2,3)(△_(mn)~(2))上的两类具有良好逼近性质的拟插值算子,构造了具有更高精度的数值积分公式并且将其应用到Hadamard有限部分和的计算上。然后,我们讨论了叁次代数样条在参数曲线近似隐式化中的应用。由于参数曲线曲面的精确隐式化不一定可以实现。即使可以实现,许多情形下我们也不必这么做。这主要由于精确隐式化的计算很复杂并且系数很大,以及隐式曲线曲面具有不希望的自交奇异点和多余分支。这就引起了计算的不稳定性和几何造型中拓扑结构的不一致性,从而大大限制了隐式化在实际问题中的运用。与叁次参数曲线类似,叁次代数曲线成为人们广泛研究和应用的代数曲线。因此,我们构造了整体G~2-连续的叁次代数样条来逼近参数曲线以实现近似隐式化。最后,我们讨论了分片代数簇计算中的某些问题。分片代数簇作为多元样条组的公共零点集合,是经典代数簇的推广,丰富和发展。它不仅和许多实际问题如多元样条插值,代数簇的光滑拼接,CAD和CAGD等有关,而且还为研究经典代数几何提供了理论依据。CAGD中大量的曲线曲面类型是样条曲线曲面。因此给出样条曲线曲面的求交算法是CAGD中的重要问题之一,而这一问题的本质可以归结为分片代数簇的计算。因此,研究分片代数簇的计算是十分重要的。针对分片代数簇的计算,我们做了以下两方面的工作:一方面,我们讨论了任意剖分下分片代数簇的区间迭代解法,主要将代数簇的区间迭代算法有效应用到分片代数簇的计算上。该算法主要通过引入ε-偏差解和给出区域内极值的有效估计来实现。另一方面,我们给出了零维分片代数簇实根简单而有效的分离算法。该算法主要基于凸多面体内代数簇的计算和一元区间多项式实根的计算来实现。
郎丰贡[4]2007年在《多元样条、弱样条及分片代数簇若干问题研究》文中研究表明多元样条、多元弱样条及分片代数簇是本文的主要研究对象。它们在函数逼近、计算几何、有限元以及代数几何等领域都占有重要的地位，同时具有广泛的应用。本文的第二章和第叁章属于多元样条范畴；第四章和第五章属于多元弱样条范畴，最后一章属于分片代数簇范畴。在第二章中，我们主要研究了一种星型贯穿剖分上的多元样条整体协调方程组所对应的素模的生成基的计算方法。1975年，王仁宏采用函数论和代数几何的方法，提出了研究多元样条的“光滑余因子协调法”，建立了任意剖分下多元样条函数的基本理论框架。从这种观点出发，多元样条函数的任何问题可以通过整体协调条件转化为一个与之等价的代数问题来研究，整体协调条件影响和最终决定了多元样条函数。整体协调条件可以看作一个以各内网线上光滑余因子为未知数的有着多项式系数的代数方程组，而这个代数方程组的所有解构成了多项式环R[x，y]上的素模。所以整体协调条件的求解问题等价于一个多项式环上的素模求解问题。我们研究了星型贯穿剖分上的多元样条整体协调方程组所对应的素模的生成基的计算方法，所得结果可以应用到求解各类贯穿剖分上的多元样条函数空间的维数、基底和插值等问题。在第叁章中，我们研究了一种特殊的多元二次样条函数空间S_2~(1，0)(◇)。在这里剖分◇就是由一个正则四边形剖分按照第四型Powell-Sabin细分格式加细而得到的一种剖分。对于任意的样条s∈S_2~(1，0)(◇)，样条s的分片次数是二次，且在剖分◇上的绝大部分网线上是一阶连续的，而在其他剩余的少部分网线上是0阶连续的。我们求出了这个多元二次样条函数空间的维数，研究了基样条函数的显式表达式；同时构造了两个拟插值算子，讨论了它们的逼近性质，并提供了一些数值实验结果来验证这些逼近性质；最后我们还把此种多元样条和其他的多元样条做了一些比较。这样我们在一定程度上推广了Powell-Sabin细分格式的应用。在第四章中，我们研究了多元弱样条函数空间W_k~μ(I_1Δ)(其中k≥2μ+1)和W_2~1(I_1~*Δ)。多元弱样条以前的结果主要集中在贯穿剖分以及某些叁角剖分上。在本章中，根据研究多元弱样条的“光滑余因子协调法”，采用逐步计算自由度的方法，避免了列出并求解巨大整体协调方程组的困难，解决了一般正则直线段剖分I_1Δ上的多元弱样条空间W_k~μ(I_1Δ)(其中k≥2μ+1)和满足某些条件的直线段剖分I_1~*Δ上的W_2~1(I_1~*Δ)的维数，并给出了一个构造基底的方法。我们首先根据一个适定的多元Hermit插值问题，求出了星型域st(v)上的弱样条函数空间W_k~μ(I_1st(v))(k≥2μ+1)的维数，构造了它的基底；紧接着我们利用星型域st(v)上的维数结果求出了一般直线段剖分上的多元弱样条函数空间W_k~μ(I_1Δ)(k≥2μ+1)的维数，并给出了一个构造基底的方法。由于多元二次弱样条的次数2和光滑度1很接近，我们只能求得满足一定条件的直线段剖分I_1~*Δ上的多元二次弱样条函数空间W_2~1(I_1~*Δ)的维数。在第五章中，我们讨论了多元弱样条函数空间和最小确定集之间的关系。在本章中，利用研究多元弱样条的“B网方法”，我们给出了任意叁角剖分I_1Δ上的多元弱样条函数空间W_k~μ(I_1Δ)(其中k≥2μ+1)和W_2~1(I_1Δ)的最小确定集的构造方法，根据多元弱样条函数空间等于其最小确定集的基数的性质，从而求出了它们的维数。我们还讨论了最小确定集构造方法的理论基础以及由最小确定集里面的点所对应的对偶基的局部支集性质。在第六章中，我们研究了求两条给定的分片代数曲线交点的Groebner基方法以及分片代数簇和理想的对应关系。本章前半部分给出了求两条给定的分片代数曲线交点的Groebner基方法。在给定剖分流向后，引入截断符号参数，把每条分片代数曲线表示成整体函数的形式，求出它们在字典序下的Groebner基，并且在回代求解的过程中引入了区间算法，使得该方法数值稳定。我们给出的算例表明此算法是行之有效的。本章后半部分主要研究了区域D上关于剖分Δ的C~μ分片多项式环S~μ(Δ)里的理想的加、乘、交、除四种运算，以及分片代数簇和理想的对应关系。理清它们之间的关系对于深入研究分片代数簇是很有必要的。
王少帆[5]2010年在《分片代数曲线与离散Willmore问题研究》文中进行了进一步梳理分片代数曲线定义为二元样条函数零点的集合.分片代数曲线不仅有其特有的代数几何方面的性质,而且与二元样条的插值问题,计算机辅助设计中的几何造型,图论中的四色猜想命题及传统代数几何的问题有密切联系.本文针对分片代数曲线与传统代数曲线本质上不同的性质,以及分片代数曲线在二元样条插值问题上的应用进行研究.考虑的问题包括：任意叁角剖分上分片线性代数曲线的Bezout型定理,贯穿叁角剖分上零阶分片代数曲线的Cayley-Bacharach定理,沿分片线性代数曲线的插值适定点组的性质及其在零阶二元样条函数插值问题上的应用,叁角网格上离散曲率的计算公式及Willmore问题的离散格式.本文的主要工作如下：1.分片代数曲线的Bezout数定义为两条交点有限的分片代数曲线的最大交点个数.我们利用奇圈上分片线性代数曲线的交点性质,给出了仅含一个奇内网点v的叁角剖分上分片线性代数曲线的Bezout数的上界,即叁角剖分的胞腔数与奇内网点v到剖分边界的(图论意义下的)距离的差：T-dist(v,(?)Δ).并且,当仅含一个奇内网点的叁角剖分满足某一项点染色条件时,我们计算了该剖分上分片线性代数曲线的Bezout数,其值等于T-dist(v,(?)Δ).此外,我们引入叁角剖分的奇圈覆盖数的概念,计算了任意叁角剖分的奇圈覆盖数的表达式,由此得到任意叁角剖分上的分片线性代数曲线的Bezout数的上界.这一结果表明,含奇内网点的叁角剖分上分片线性代数曲线的Bezout数与叁角剖分的奇内网点之间的距离以及奇内网点到剖分边界的距离有关.2.代数几何中的Cayley-Bacharach定理研究平面上给定点集在给定次数的多项式空间上的独立条件的个数.其常见形式为：若m次代数曲线与n次代数曲线恰有mn个不同交点,则任何通过这些交点中的mn-1个点的m+n-3次代数曲线亦过余下的一点.我们指出,若贯穿叁角剖分上m次0阶分片代数曲线与n次0阶分片代数曲线恰有mnT个不同交点,则任何通过这些交点中的mnT-1个点的m+n-2次分片代数曲线亦过余下的一点.并且,如果余下的一点所在的胞腔以△的两条或叁条内网线为边,则满足上述条件的分片代数曲线的次数为m+n-1或m+n.此外,我们研究了沿分片代数曲线的插值点组(所谓沿分片代数曲线的插值点组,是一类位于给定的分片代数曲线上的点集,它与任何低次样条空间的插值点组的并集构成高次样条空间的插值点组,只要低次样条空间的插值点组的任何点不落在给定的分片代数曲线上)的性质并将其应用于二元样条插值问题.我们指出,星形域上沿分片线性代数曲线的k次0阶样条空间的插值点组在星形域各个胞腔的点数满足交错分布的性质.借助这一性质,我们给出了任意叁角剖分上k次0阶样条函数空间的插值点组的新的构造方法.与传统的B网方法相比,此方法只依赖于点集在各个胞腔落在给定分片代数曲线上的点数,而与点集的几何位置无关.3.微分几何中的Willmore问题是在R3曲面的某个允许集中寻找曲面,使得其平均曲率平方的积分最小.从计算叁角网格上顶点的平均曲率出发,我们首先给出了传统的两类平均曲率公式：余切和公式及二次拟合公式的收敛性质.利用余切和公式的误差函数分析,我们给出了一类新的计算平均曲率的公式,它由1邻域顶点的余切和公式的加权平均得到.渐近分析和数值实验均表明,该公式对计算叁角网格上顶点的平均曲率具有很好的收敛性.并且,我们给出了基于二次拟合法的离散平均曲率的数值积分作为离散Willmore能.分析表明,若网格满足二次适定条件,离散Willmore能收敛于曲面的Willmore能；若网格的离散单位法向具有叁次收敛阶,则离散能量泛函的极小元收敛于曲面的Willmore能的极小元.由此可以建立基于该能量泛函的Willmore问题曲面形变的数值模拟.
吴金明[6]2007年在《近似隐式化和分片代数簇某些问题的研究》文中研究说明开展隐式曲线曲面的研究在计算机辅助几何设计和几何造型中既有深刻的理论价值又有广泛的应用前景。本文主要针对参数曲线曲面的近似隐式化和分片代数簇的某些问题展开研究。主要工作如下：第二章我们讨论了参数曲线曲面的近似隐式化。参数曲线曲面和隐式曲线曲面是计算机辅助几何设计和几何造型中两种常见的表示形式。将参数形式的曲线曲面转化为代数形式的曲线曲面的过程称为隐式化。然而，精确隐式化(尤其是曲面的精确隐式化)在几何造型中没有得到广泛的应用。这主要是参数曲线曲面的精确隐式化过程很复杂而且不一定可以实现，再加上隐式曲线曲面的阶数很高并且具有不希望的奇异点和多余分支，从而会引起计算的不稳定性和几何造型中拓扑结构的不一致性，这就大大限制了精确隐式化在实际中的运用。为了解决上述问题，我们提出了如下叁种近似隐式化算法：首先，我们利用二阶二次代数样条曲线对参数曲线进行近似隐式化，所得到的代数样条曲线不会产生多余分支和自交点，并且具有良好的误差估计和逼近性质。其次，我们利用Multiquadric拟插值和径向基神经网络，提出了参数曲线近似隐式化的另一种方法。该方法具有保形性好，光滑度高，逼近性能好，样本节点数据少等优点。最后，考虑到很难将上述两种方法直接推广到参数曲面的近似隐式化，我们利用紧支集径向基函数作多元散乱数据插值的技巧提出了参数曲面近似隐式化的一种算法。第叁章我们讨论了分片代数簇的某些问题。分片代数簇作为多元样条的公共零点集合，是经典代数簇的推广，它不仅和许多实际问题如多元样条插值，CAD和CAGD等有关，而且还为研究经典代数几何提供理论依据。因此，研究分片代数簇是很重要的。首先，讨论了分片代数簇的维数性质，通过引入分片代数簇完全相交的概念讨论了分片代数簇的维数与其定义方程组个数的关系．其次，简要讨论了分片代数曲线的奇点性质。再次，为了有效计算分片代数簇，我们讨论了凸多面体内任意维代数簇的计算问题。通过添加超平面技巧将Groebner基方法应用到凸多面体内任意维代数簇的计算上，从而把凸多面体内的代数簇转化为另外一组多项式方程组的正解，并且得到了该代数簇在凸多面体内的极小分解．最后，基于B-样条系数的Descartes符号准则和Bézier曲线的de Casteljau算法，我们给出了一元样条实根分离算法，也就是计算出一列不相交区间，使得每个区间恰好只包含此样条函数的一个实根。第四章我们主要构造了一类具有紧支集的无穷次可微径向函数。众所周知，Gauss分布函数是一类广泛应用于多元插值和径向基网络的正定径向函数。它具有非常好的逼近效果和指数衰减性质。对Gauss分布函数离中心远处截断，可以马上得到紧支集径向基函数。然而，这样得到的紧支集径向基函数用于多元插值和函数逼近显然是不连续的。因此，结合Gauss函数的特点对其进行改进，我们构造了一类具有可控自由参数的紧支集无限次可微函数。在对自由参数一定的约束条件下，此类函数能够有效地应用到多元函数逼近和多元散乱数据插值中。
曹欢[7]2007年在《叁角样条函数的变差缩减性》文中研究指明计算几何是近些年来兴起的一门通过计算机手段来研究几何问题的学科。计算几何包括计算机辅助几何设计，计算机图形学，科学可视化，计算机视觉等以几何为研究目标的分支。它涉及代数几何，微分几何等经典数学理论和方法。样条函数在计算几何中起着重要作用，它是理论和应用研究中的基本工具。其定义如下：样条函数就是具有一定光滑度的分段或分片定义的函数，在每段或每片上定义的函数是多项式，则称为多项式样条函数；若在每段或每片上定义的函数是非线性的，则称为非线性样条函数。利用多元样条函数对散乱数据插值是计算几何中一个非常重要的课题。一元样条函数的插值无论在理论上还是应用中都比较成熟，但多元样条函数的插值的研究却颇为困难。人们在研究多元多项式插值过程中发现，无论是构造插值的适定结点组还是研究插值的适定性，都与多元多项式的零点集合—即代数曲线有着密切的关系。由此启发我们研究多元样条函数的零点集合—分片代数曲线。分片代数曲线是代数几何与计算几何中一种新的重要概念，显然也是经典代数的推广，分片代数曲线也是研究传统代数曲线的一种有效的工具。众所周知，Bezout定理是传统代数几何的开卷定理，其弱形式是：两条交点有限的代数曲线交点上界不超过其次数的乘积。我们将两条代数曲线次数的乘积称为Bezout数。鉴于Bezout定理在传统代数曲线理论的重要地位，考虑Bezout定理在分片代数曲线的推广对于分片代数曲线的研究十分重要。王仁宏和施锡泉在文([22])中给出了0阶光滑分片代数曲线的Bezout数的上界。王仁宏和许志强在文([24])中给出了任意光滑的分片代数曲线的Bezout数的上界。本文的研究内容也是关于分片代数曲线的Bezout数。主要是基于叁角样条函数的变差缩减性从而得出两条分片代数曲线在星形区域下的Bezout数，虽然无法显示的给出其上界，但是其理论上还是有着重要的价值。
厉学亮[8]2009年在《数据拟合中的模型与误差》文中指出本文介绍了一些常用于数据拟合的曲线和曲面模型;给出了多元样条、分片代数簇、代数样条、Bezier曲线曲面、B-样条、NURBS曲线曲面的一些相关定义、定理;介绍了他们的发展情况,并对用它们进行曲线曲面拟合的优缺点进行了分析和比较。数据拟合的另一个关键是对距离进行合理定义,找出方便进行误差分析的距离函数。本文对曲线曲面拟合常用的一些距离函数的定义进行了总结归纳,并给出了一些实际应用中的图例。
郭庆杰[9]2014年在《多元样条若干理论与应用研究》文中研究说明函数是数学最基本的研究对象,而连续函数又是其中十分重要的一类。Weierstrass逼近定理保证了闭区间上任意连续函数都可以用多项式来逼近。由于多项式的整体性太强,使得其在实际应用中出现诸多不便,分段光滑多项式一样条函数应运而生。1946年,数学家I. J. Schoenberg系统地建立了一元样条函数的相关理论基础。近几十年来,针对样条函数的研究越来越广泛与深入,许多现实问题已不能用简单的一元样条函数来刻画、描述,于是开展多元样条函数的研究变得十分必要。1975年,王仁宏先生利用函数论与代数几何的方法开创性地建立了任意剖分下多元样条函数的理论框架,提出了光滑余因子协调法。到目前为止,有关多元样条的理论与应用研究已经取得了丰硕的成果。本文对多元样条的某些理论和应用问题进行研究,主要有带T圈的T网格上样条函数空间维数不稳定性问题,叁维四方向四面体剖分上的样条空间的局部支集样条函数,平面封闭曲线的符号距离函数逼近问题,平面数据点的样条函数隐式曲线拟合问题,空间散乱数据点的曲面重构研究。本文包含六章内容,具体安排如下：1.第一章,介绍多元样条基本理论框架及其在数学多个领域的广泛应用,曲线曲面造型的背景知识和主要研究进展。2.第二章,维数是样条空间研究中的一个基本且困难的问题,研究了带T圈的T网格上样条空间维数的不稳定性问题,修正了带T圈的T网格上样条空间维数公式,并且给出了一些特殊剖分上维数不稳定性的例子。3.第叁章,研究了叁维四方向四面体剖分上的样条函数空间,利用光滑余因子方法计算出1-型四面体剖分上样条空间A41(△(1)lmm)的局部支集样条函数,并分析了B样条函数的一些性质。4.第四章,符号距离函数能够提供有效地距离估计,广泛应用在多种几何处理上,如光滑化和形状重构等。利用二元样条函数来逼近平面简单闭曲线的符号距离函数,给出了一种自适应的利用2-型叁角剖分上B样条函数来逼近给定曲线的符号距离函数方法,同时得到了给定曲线的裁剪偏移曲线。5.第五章,研究对平面散乱数据点的曲线拟合问题,利用二元样条函数进行曲线的隐式重构。对于封闭曲线情形,利用样条函数重构目标曲线的符号距离函数的方法,实现了曲线的隐式重构。对于一般曲线情形,采用分片代数曲线最小二乘拟合,同时对数据点的法向量、切向量及曲线能量进行约束,得到最终的隐式拟合曲线。6.第六章,考虑叁维散乱数据点的曲面重构问题,构造了一类多层非张量积型B样条拟插值算子,并将其应用于空间数据点的曲面重构。该方法具有计算简单、计算量小及能够自适应的加细剖分的优点。
徐晨东[10]2006年在《代数曲线曲面设计与造型的研究》文中研究表明几何造型是计算机辅助几何设计和计算机图形学的一项重要内容，而曲线曲面的设计与造型又是几何造型的一个主要内容。曲线曲面造型技术可分为参数和隐式两大类，参数方法的研究由来已久并已相当完善，而近年来隐式方法受到了越来越多的关注。与参数曲面相比，隐式曲面在构造复杂形体方面具有不可替代的优势。在所有隐式方法中，以代数曲线曲面最具代表性。 本文主要研究代数曲线和曲面的设计与控制问题，具体包括代数曲线不同构造形式的性质分析和应用、代数曲面的构造、分片代数曲面blending问题中的自由参数选取等内容。 在代数曲线设计方面，首先介绍一种从给定的带权值的控制顶点集出发，利用多边形的重心坐标构造代数曲线的方法，并分析其特点进而将这种方法应用于端点插值曲线的构造；然后基于对一种特殊的泛涵样条的分析和研究，提出了一种端点插值叁次代数样条曲线的构造算法，这种样条曲线在段与段之间满足G~2连续，在端点处亦满足二阶插值条件；最后提出一种基于由控制顶点连成的多边形几何信息在空间延拓产生的指导向量结合一定的端点插值条件构造代数曲线的方法，且给出了该方法生成曲线的简洁的显式表达式，并在理论上分析了其性质。 在代数曲面造型和控制方面，将上述基于指导向量构造代数曲线的方法推广到高维，应用于隐式曲面的构造；另外，给出了一套用于选取在分片代数曲面blending问题中经常出现的自由参数的方法。通过极小化代数曲面的光顺能量并在必要时添加一些点约束条件，我们较好地解决了这个问题，由选取的这些参数可以得到具有合理外形的(分片)代数过渡曲面。
参考文献：
[1]. 分片代数曲线与分片代数簇的若干研究[D]. 赖义生. 大连理工大学. 2002
[2]. 分片代数曲线、分片代数簇与分片半代数集的某些问题研究[D]. 朱春钢. 大连理工大学. 2005
[3]. 多元样条与分片代数簇计算的若干研究[D]. 张晓磊. 大连理工大学. 2008
[4]. 多元样条、弱样条及分片代数簇若干问题研究[D]. 郎丰贡. 大连理工大学. 2007
[5]. 分片代数曲线与离散Willmore问题研究[D]. 王少帆. 大连理工大学. 2010
[6]. 近似隐式化和分片代数簇某些问题的研究[D]. 吴金明. 大连理工大学. 2007
[7]. 叁角样条函数的变差缩减性[D]. 曹欢. 大连理工大学. 2007
[8]. 数据拟合中的模型与误差[D]. 厉学亮. 吉林大学. 2009
[9]. 多元样条若干理论与应用研究[D]. 郭庆杰. 大连理工大学. 2014
[10]. 代数曲线曲面设计与造型的研究[D]. 徐晨东. 中国科学技术大学. 2006
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