例谈数学直觉与直觉思维能力，本文主要内容关键词为：直觉论文,思维能力论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
笔者数遍阅读了文[1]，感触良多；下面故事的发生，又促使笔者思考，如何对学生进行直觉与直觉思维能力的培养. 笔者在上完“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”课后，立即给高一学生布置了一道引例作业. 引例 已知α、β均为锐角，且cosα=
，cos（α+β）=
，求角β. 学生上交的作业大多数（约占三分之二）是这样做的：
批改后，笔者深有感触.随后，把这一信息和当时的心情发到所在的一个数学教学研讨论坛上去：你们看看，真是哭笑不得，但大多数学生是这样做的啊！你们说，怎么去教啊？！ 浙江省东阳中学特级教师吴国建老师看了以后，一语道破：这是好事啊，这就是学生解题的直觉与直觉思维能力啊！ 是啊！我们怎么能忽视这一能力的存在呢？不但要正视它的存在，而且还要大力培养. 二、直觉与直觉思维能力 前几年国内、国外曾讨论中国的基础教育与美国的基础教育区别在哪里，许多人认为区别在美国的基础教育十分重视素质教育.就数学学科层面看，美国的教育十分重视学生的数学直觉思维能力和数学应用能力的培养.近年来，全国各地已在实施的新课程，正是体现了对这种素质的培养. 钱学森教授认为，“直觉是一种人们没有意识到的对信息的加强活动，是在潜意识中酝酿问题的解决与显性意识突然沟通，于是一下子得到问题的答案，而对应的具体进程，则没有意识到”.钱教授这一番话已经道明了数学直觉思维的涵义，因此，数学直觉思维一般可以分为直觉、灵感和想象三种形式.我们不难得出直觉思维应具有经验性、迅速性、跳跃性、必然性、模糊和非逻辑性等特征.
因此，我们可以认为，直觉就是运用有关知识组块和形象直感对当前问题进行敏锐的分析、推理，并能迅速发现解决问题的方向或途径的思维形式.也就是主体在解决问题时能运用形象直感敏锐地对问题进行分解式识别、补形或进行相似、转换等辨认，迅速与有关知识组块进行联结，并整合成对问题的整体综合判断，得出解决问题的方向或途径. 在具体解决数学问题时，应教会学生使用一些技巧，如考虑特殊值，借助图形观察，取极端情形思考，借助几何模型推测等. 需要指出的是，直觉思维需要很强的数学功底，它是以大量的做过的习题为经验、基础的，所以直觉思维能力也是数学基础知识扎实的体现. 三、如何培养直觉思维能力 数学高考复习教学主要是解题教学，要注重直觉思维能力的培养.这就要求在第一轮全面复习时，培养学生从宏观上进行整体分析，抓住问题的框架结构和本质关系，加强思维策略分析，把握解题方向或整体思路.在整体分析的基础上，确定思维进程，使学生在理清知识脉络、在应用上达到一定熟练程度后，通过一定的综合性训练，逐步达到思维的灵活、敏捷，能根据当前问题的特点灵活化归、表征知识，对问题做出直觉判断.练习中，注意方法的探求，思路的寻找和模型的识别，养成简短的、跨越式逻辑推理过程和迅速直觉判断的习惯. 历年全国各省市的高考数学试题也重视考查学生的数学直觉思维能力. 例1 （2006年浙江卷·文/理14）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB//平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________. 本题在考试时间限制下，学生很难用严密逻辑推理获得正确答案.如图1，凭直觉判断出CD//α时，射影面积最大；CD⊥α时射影面积最小.所以取值范围是
为了培养学生的直觉思维能力，平时教学时，要鼓励学生大胆猜测，养成善于猜想的数学思维习惯.猜想应该是一种合情推理，它与论证所用的逻辑推理相辅相成.对于未给出结论的教学问题，猜想的形成能正确诱导解决问题的思路产生；对于已有结论的问题，猜想也是寻求问题思路策略的重要手段.数学猜想具有一定的规律性并且要以数学知识和经验为支柱，因此，培养敢于猜想、善于探索等思维习惯，是形成数学直觉、发展数学思维、获得数学发现的基本素质.在教学中，既要强调思维的严密性、结果的正确性，也不应忽视思维的探索性、发现性和跨越性，即应重视数学直觉、猜想的合理性和必要性. 四、具备直觉思维能力的重要特征 具备较强直觉与直觉思维能力的人，在解决数学问题时，读完题就能根据问题给出的条件，很快地提取出头脑中已有的知识和经验，迅速分析、运算、推理，经过跨越式思维，直达问题的本质部分而做出判断. 例2 A、B、C坐标分别为（0，1），（4，2），（2，6），P（x，y）是△ABC围成区域（含边界）上的点，当w=xy取得最大值时，P点坐标为________. 分析：如图2，本题目标函数w=xy所表示的几何意义为：过P点（第一象限内）作两坐标轴的垂线并与坐标轴围成矩形的面积.但此时点P所在的区域，横纵坐标之间没有确定的关系，面积最大值难于确定.其实，由P点所在区域知，要使矩形面积最大，这个P点应该在规定区域内的最左边或最上边，因此就能推断出点P应该落在线段BC上（问题的本质部分），这样就将问题转化为求二次函数在给定区间上的值域问题.
略解：线段BC：y=-2x+10（2≤x≤4），此时w=xy=x（-2x+10）=-2
+10x，当x=
时，w最大为12.5，所以点P的坐标是（
，5）.这样的试题经常会出现，请看： 例3 （2007年上海卷·文11）如图3，A、B是直线l上的两个点，且AB=2，两个半径相等的动圆分别与l相切于A、B点，C是这两个圆下面的公共点，则圆弧AC、CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是________.
这个问题的常规解决办法是考虑用弧AC的圆心角x做变量，建立面积S与x的函数的关系，然后求S的最大值与最小值；但是这个函数很难建立，就是建立了也是个比较复杂的函数（事实上
），要用导数和函数的单调性来求，花大量时间，也很难求出最值.因此命题者出题的目的就是用隐含条件：（凭直觉判断出）当两圆半径相等且等于1时C点在最高处，此时面积S最大，为2-
，当两圆半径很大时（趋向于无穷大时候），面积S趋向于0. 所以答案应该是
在一般的客观题的解题过程中，要注重对隐含条件的挖掘；因为一旦忽略了它，不仅会增加一些无效的结论，也还会漏掉一些有效的条件，会导致很多学生对解决问题的方向无法把握；而实际上对隐含条件的存在及有关性质的判断需要数学的直觉与直觉思维的能力，对这样的隐含条件的判断，有时还能为我们提供解题思路，成为解决相关问题的有力手段，使解题变得精彩. 例4 如图4，实线部分的月牙形公园是由分别在半径是2km的圆P上的一段优弧和圆Q上一段劣弧构成，点P在圆Q上，点Q在圆P上，现在要在公园里建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地.
（1）如图4，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积； （2）如图5，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积.
分析：对于应用问题的处理方法往往是：先恰当选择自变量，然后构造目标函数，进而通过基本不等式、导数、二次函数求出最值.而这道题将哪个边或角做自变量，难于选择.由圆的实际限制，最大弦只能是直径，因而，可以跨越式认可为（实际上已经发现隐含条件）：要使△RST面积最大，则RT一定为圆P的直径，且S到RT的距离为圆P的半径（如图6）；而要使等腰梯形ABCD的面积最大，则底边AD同样是圆P的直径，而当底边AD确定，再选择一个角做自变量（如图7）.
从上面可以看出，隐含条件在解决一些看似复杂问题时所起到的关键作用，而破解（识别）这个隐含条件是依靠扎实的数学基础以及对结论的直觉敏感、准确推断，也是我们解题的精彩所在；还有，这类题型往往以选择题或填空题为主，解题时可以省去很多说明的步骤，直接到位就可以. 例5 （2006年全国Ⅰ卷·理11）用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm）的5根木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）.
看到本题要求的第一反应是，在三角形周长不变时，正三角形面积最大；周长一定时，越近正三角形则面积越大.直觉判断周长一定，边长越接近，面积越大.从而边长分别为7，7，6时面积最大，选B.这样的思考就是数学直觉的体现.
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