建构新函数，串联其性质，比较数大小，巧证不等式，本文主要内容关键词为：不等式论文,函数论文,性质论文,大小论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
关于比较两数大小与证明不等式的方法多种多样，在学习了导数以后，利用建构函数的方法来解决一些形式困难、表象抽象的问题显得轻而易举。《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“高中数学新课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历史，发展他们的创新意识。”而在数学教学中不断进行数学思想方法的渗透则是培养学生创新能力的重要措施。其中建构新函数的方法是一种富有创新、提升了学生学习层面境界的方法。在数学问题解决中有着极为重要的作用。前苏联数学家雅诺夫斯卡娅在问答“解题意味着什么”时说：“解题——就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题。”建构新函数就是依据学生的现有的知识水平、思维水平在解题教学中合理运用建构的方法，实现问题的转化。从而达到体现思维过程、发展学生转化问题能力的目的。
本文的重点是探究建构新函数，以解决有关数大小的比较和不等式证明的相关问题。如何建构一个新函数，建构一个什么样的函数才能解决问题？关键在于分析问题的结构，充分利用问题所提供的信息，善于进行联想，给高三复习一些启示。
1.串联单调性
函数的单调性是函数最重要的性质之一，在比较大小、证明不等式以及求参数范围等方面都有着广泛而独特的应用。运用函数单调性解题，其难点和关键在于合理地利用题设条件，建构出相应的函数，并将原问题进行等价转换，通过函数的增减性讨论，从而使问题得到圆满解决。这也是建构新函数方法中最基本、最重要的一类，广受高考、竞赛的青睐。
点评 上述是常规的思考过程，笔者认为此类问题关注三点：①单调性——必然作为解决问题的大方向给予肯定，否则南辕北辙；②导数应用——导数是研究函数的利器，利用一阶导数研究单调性事半功倍；③有机组合——在解决问题过程中，如何选择函数和建构新函数是关键。正如牛顿所预言的“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现”，数学家们发现数学规律的过程，往往是先有一个猜想建构，而后才是对其进行验证或修正的过程。
问题2 （人教A版选修4-5不等式习题B组）求证：
点评 在某些赋值问题中，各种式子呈现出统一和谐的结构，此时，只需将它们看作同一函数在不同点的函数赋值，问题便可解决。
点评 这是一个涉及含有多参数的不等式试题，可以考虑其中一个字母作为变量，另一个作为常数来建构，即处理问题时要注意哪个为主元。本题中把b看成未知量x可以得到关于x的函数，通过研究建构函数的单调性解决此类函数问题。
点评 在运用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，由假设当n=k时命题成立推出当n=k+1时，命题也成立，具有一定的难度，需要较高的技巧，建构相应的单调函数，归纳假设可通过函数单调性这条“渠道”引渡过去，从而顺利地完成归纳推理。建构函数解题，能突出函数——高中数学主线的重要地位，对培养学生的应用意识、化归思想和创新精神具有不可估量的作用。值得一提的是，所建构的函数应符合以下条件：①适用性切题；②单调性易证；③表达式简明。
2.利用最（极）值
点评 解题教学中，对问题的本质理解得越深刻、越透彻，其解法自然更简单。与通性通法相比，利用凹凸性的解法更简洁明了，无懈可击，它是在更高的视野、更高的观点下进行解题，可谓高屋建瓴，势如破竹。凹凸性尽管是高等数学的一个内容，但在高中数学中却有着广泛的应用，如能灵活应用，可事半功倍。
点评 本题以高等数学中的著名数列
为背景设置问题，主要考查函数、导数、均值定理、放缩法、函数凹凸性的妙用，尤其是对函数凹凸性的应用，往往能收到奇妙的效果。初等数学是高等数学的准备和基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。在教学辅导中适当介绍这些观点高、立意新的题目不但可以培养学生思维的广阔性和深刻性，而且还能使他们产生既熟悉又陌生的良好心理效应。
4 运用拉格朗日中值定理
若函数f(x)满足在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则在开区间内至少存在一点λ∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'（λ）(b-a)，称此式为拉格朗日公式。由定理还有两个重要推论：
推论1 若在区间(a,b)内，导函数f'(x)≡0，则在区间(a,b)内函数f(x)为一常数。
推论2 若在区间(a,b)内，函数f(x)，g(x)满足f'(x)=g'(x)，则在(a,b)内有f(x)=g(x)+c，其中c为常数。
近几年的省市高考中，出现了以拉格朗日为背景的试题，这类试题情景新颖，独到。利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数f(x)和区间[a,b]，使它们满足拉格郎日定理条件，然后运用定理或推论，经过适当的变形或运算得出所要的结论。
问题8 试证当x∈[1,∞)时，
分析 这类题原本在高等数学中是常见题型，求解这类题的通常思路是先将一边移到另一边，建构一个函数，然后对它求导，近些年来，这类题备受高考命题者青睐。
点评 若函数在(a,b)内有m＜f'(x)＜M，则有m(a-b)＜f(b)-f(a)＜M(b-a)，因此形如前式的不等式通常用拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理是高等数学的一个重要定理，把这些定理与中学数学的知识联系起来，这样不仅可以使我们加深对现代数学的理解，而且能使人们更好的把握中学数学的本质和关键，从而可以居高临下的处理教材。
5 小结
本文介绍了运用建构函数法比较数大小和证明不等式的一些方法。利用建构函数法需要认真分析所求问题的特点，引用不同的建构法，然后运用其特性对不等式加以证明。建构法在数学中的应用非常广泛，对高中数学来说前文1、2是基本，3、4是提高。运用建构法解决不等式问题培养了学生具有创造性的数学能力和解决实际问题的能力，而创造性的能力体现出的是创造性思维。
它对于数学思维的培养及数学方法的培养也有一定的加强作用。有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，有利于激发学生学习兴趣，有利于提高学生学习的自觉性，把学生和教师从题海中解放出来，从而减轻教与学的过重负担。
最后，说明一点，任何方法需要适可而止。当代著名数学家波利亚曾说过：“构想一个辅助问题是一项重要的思维活动。”说明建构是一项极为有意义的数学思维活动。当然在解题教学中，不必过于崇拜和迷信建构法，刻意追求技巧，人为地拔高，为“建构法”而建构，忽视题目的结构特征和通法，使学生感觉数学深奥，技巧性太强，从而对数学学习产生畏惧感，要根据学生实际，合理运用，才能使学生逐步掌握建构函数的方法。