四川省南部县谢河镇九年一贯制学校 637300
摘 要：二次根式是初中代数的主要内容之一，二次根式的化简和运算更是初中数学的重点和难点，它以二次根式的概念和性质为基础，同时与整式和分式运算紧密相连。注重二次根式运算教学，可以防止错解，能够巧妙地找到化简和运算的捷径。一方面，二次根式运算在几何的勾股定理里有着广泛应用；另一方面，它又是学习一元二次方程的基础。
关键词：二次根式 速算技巧 系统性 归纳法
二次根式是初中代数的主要内容之一，二次根式的运算是初中数学的重点和难点，它以二次根式的概念和性质为基础。
一、研究内容和内容解析
1.研究内容：《二次根式的乘除》（第2课时）。
2.内容分析：二次根式的除法法则反过来就得到了商的算术平方根的性质，利用这条性质可以对二次根式进行化简。化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后就在利用积的算术平方根的性质进行化简的基础上，学习了一种化简二次根式的方法。利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质对二次根式进行化简时，要求最后运算结果满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。借此提出了最简二次根式的概念。最简二次根式的概念是加减运算的基础，实际上也是对二次根式运算结果的一种要求，同时为二次根式的运算明确了方向。
二、教学重难点及突破意见
1.重难点分析：二次根式乘除法法则的理解。
2.突破建议：
（1）与二次根式的乘法运算法则类似，教材设置了“探究”栏目，让学生通过计算发现规律，进而对结论一般化，得到除法法则。在方法上沿用的是二次根式乘法法则的处理方式。
（2）运用二次根式的除法进行运算时，一般要将分子分母同时乘分母的相同因式。教学时要结合实例，先引导学生计算、讨论，再加以说明。如： ＝ ，但同时要根据数的结构进行，有时直接运算更方便，如＝。开始时要求不要过高，要让学生通过练习达到熟练。
（3）在进行二次根式的除法运算时，要用到二次根式的乘法以及算术平方根的性质 a2=a（a≥0）进行化简。练习时，要让学生先说后做，做到步步有据、过程清晰。
（4）二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去。教学时，要强化二次根式与整式之间的联系，强化用整式的运算法则、乘法公式等简化二次根式运算的方法，进而培养学生的运算能力。在二次根式性质和乘除运算的基础上，本课进一步学习二次根式的加减运算。二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的，实数的运算律对二次根式的运算仍然适用。
三、教学过程设计
设计意图：由复习二次根式的乘法引导学生猜想除法运算的法则，激发学生探索新知识的兴趣。
1.计算下列各式，发现什么规律？
（1）=____=____；（2）=____=____。
规律：=；=。
2.利用计算器计算填空:
（1） =____；（2） =____。
规律： = ； = 。
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提出问题：计算的结果有什么规律？你能用含字母的式子表示吗？教师提出问题，请学生自己计算出结果,并力争独立发现规律。学生总结出二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质。
一般地，二次根式的除法法则为： = （a≥0，b＞0）。
反过来,商的算术平方根的性质为： ＝ （a≥0，b＞0）。
设计意图：让学生通过探究活动经历了一个由具体到抽象的认识过程，然后归纳出除法法则。
3.计算:
（1） ；（2） ÷ 。
解：（1）＝＝ 8＝ 4×2＝2 2。
（2） ÷= ÷ = ×20= 3×5= 15。
练习： 36÷ 9；； 4x÷ 20x3；÷ 。
设计意图：检查学生对基础知识的掌握情况，使学生亲身经历二次根式的化简过程,找出自己还不太理解的知识点。
四 目标检测设计
1.填空。
（1）2 2×3 3=______。
（2） 2×2 7÷3 7=______。
（3）3 3÷2 2=_____。
设计意图：考察用乘除法规律运算。
2.化简。
（ 1）；（2） 。
设计意图：算术平方根的性质进行简单的二次根式化简。
3.小结作业。
（1）问题：本节课主要学习了什么呢？本节课要掌握 =（a≥0，b＞0）和= （a≥0，b＞0）及其运用。
（2）作业：教材P50习题16.2，第2，第3(3)、(4)，第4，第8(3)、(4)。
4活动方略。教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程。学生独立完成作业，教师批改、总结。
设计意图：通过归纳总结、课外作业，使学生优化概念、内化知识。
五、总结反思
1.注意了对平方根和算术平方根的复习，从而引入了二次根式的乘除法则，得到二次根式乘除的计算方法和计算公式。公式就是工具，只有用好了工具，工作才有好的效率。
2.注意了二次根式乘除法的计算公式的逆用。乘法公式的逆用就是用来使“被开方数不含能开得尽方的因数或因试”，除法公式的逆用就是用来使“被开方数不含字母”，从而保证结果为最简二次根式。注重教学策略的引导。
3.教学过程中强调了前面学习过的运算法则和运算律对二次根式同样适用，反映了数学理论的连贯性，让学生在学习中感到所学的并不难，从而培养了学生的学习激情。
论文作者:姚刚
论文发表刊物:《中小学教育》2018年第332期
论文发表时间:2018/9/17
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