中图分类号：G623.24文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982 （2019）02-188-02
《周易?系辞下传》说：“穷则变，变则通，通则达。”数学中变式训练就是保持原命题的本质不变，不断通过不同的角度、不同的背景变换问题的条件或结论、或图形等产生新的情境，引导学生从不同的角度、用不同的思维去探究问题，让学生掌握事物的本质与规律。
现在，我们首先通过回顾一个初一的习题，进而来探讨下变式训练在习题教学中的运用。
如图,射线OC将平角分成任意两个角，其中射线OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC；
求证：OD OE
这个题属于一个典型的常规习题，对于他的解答，大部分学生都可以顺利完成，下面我们来看下具体过程。
证明：∵ OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC
∴ ∠1= ∠AOC；∠2= ∠BOC
∴ ∠1+∠2 = ∠AOC + ∠BOC
= （∠AOC + ∠BOC）
∵ ∠AOC + ∠BOC=180°
∴ ∠1+∠2= 180°=90 ° 即OD OE
完成了上面复习、回顾，下面我们从一个初二数学习题入手，来对一道习题再探究：
例1：如图，△ABC中，BO、CO为两个内角平分线，试说明：∠BOC=90°+ ∠A。
对于这道题，我们可以利用角平分线的性质和三角形内角和的知识进行解答，具体过程如下：
解：∵BO、CO为角平分线
∴∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠ABC。
在△BCO中：∠O＝180°－（∠1＋∠2）
＝180°－ （∠1＋∠2）
＝180°－ （180°－∠Ａ）
＝180°－ ×180°＋ ∠Ａ
＝90°＋ ∠Ａ
完成了例1的证明，下面我们改变题目中的条件，将两个内角平分线改成两个外角平分线，这样，我们又得到了这个习题。
例2：如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，
试说明：∠D=90°－ ∠A。
我们发现，这个习题条件的改变，结论也发生了改变，但不变的是解题的思路和方法。我们仍然是利用角平分线的性质和三角形内角和的知识可以解决。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆具体过程如下：
解：∵ BP、CP分别平分∠DBC和∠ECB
∴ ∠1= ∠DBC ； ∠2= ∠ECB
∴ ∠1+∠2 = ∠DBC + ∠ECB
= （∠DBC + ∠ECB）
∵ ∠DBC +∠ECB =∠A+∠ABC+∠A +∠ACB= 180°+∠A
∴ ∠1+∠2= (180°+∠A)=90°+ ∠A
∴ ∠BPC = 180° (∠1+∠2)
= 180° (90°+ ∠A)
= ∠A
用第一个例题类似的方法我们解决了这个问题，但是，知识间的横向联系给我们带来了思考。联系复习、回顾及例1我们得到的结论，我们可以淘到一个简便的方法。来看一下，我们找到的另一个方法。
如图3：由前面的复习、回顾及例1得到的两个结论：
①∠OBP = 90°∠OCP = 90°
②∠BOC = ∠A
又∵四边形OBPC内角和为360°
∴∠BPC = ∠A
通过对比，我们不难发现利用前面我们证明、验证的结论，使我们的证明大为简化。我们不满足于此，如果我们继续改变题目中的条件，将两个外角平分线改成一个外角、一个内角的平分线我们又得到第三个习题，如下：
例３：如图，在△ＡＢＣ中，ＢG、ＣG分别平分∠ＡＢＣ和∠ＡＣF。试猜想：∠BGC与∠A有何关系?
按照前面两个例题的常规解题思路，我们不难得到下面的解题过程：
解：∵ BG、CG分别平分∠ABC和∠ACF
∴ ∠1 = ∠ABC ；∠2= ∠ACF
∴ ∠G = ∠2 ∠1
= ∠ACF ∠ABC
= （∠ACF ∠ABC）
∵ ∠ACF =∠A + ∠A BC
∴ ∠BGC = ∠A
如果我们在图4中把GC延长就得到了△ＡＢＣ的一个外角平分线，同时延长AB，再做出∠D BC的平分线，设两条平分线交于点P，则得到了我们例2中的两个外角平分线的夹角。如图5：
由前面的例2等题可得到的结论：
①∠GBP =90°
②∠BPC = 90° ∠A
∴ ∠BGC = ∠A
我们再来回顾一下本题的三个结论：
１、当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）；
２、当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）；
３、当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；
采用变式训练来探索三角形的两条角平分线的夹角与第三个角之间的数量关系；首先用常规证明方法分别证明了三种情况下的每个结论，一是习题通过改变题目中的条件使习题成组呈现，便于学生归纳、总结。二是我们然后再互相利用结论，本题的三个结论既可以相互独立存在，也是一个有机整体，相互佐证。这样，使证明过程大为简化，同时使学生的训练量和记忆效果都有较大的提升，有效提高学生的思维创新力和思维的广度和深度。
论文作者:付海贵
论文发表刊物:《中小学教育》2019年2月4期
论文发表时间:2019/2/18
标签：外角论文; 内角论文; 如图论文; 习题论文; 平分线论文; 夹角论文; 结论论文; 《中小学教育》2019年2月4期论文;