论经典命题逻辑公理系统L中的证明技巧论文

论经典命题逻辑公理系统L中的证明技巧

程和祥，刘 强

（西南政法大学行政法学院＆监察法学院，重庆 401120）

摘要： 在经典命题逻辑的学习中，公理系统L中的定理证明只能使用公理模式和推理规则，对于初学者而言，常常显得强人所难，主要表现为找不到证明的突破口。事实上，可以从两个方向出发：一方面，从公理模式出发，分析每条公理模式的特性，由此可得消件法和换位法两个小技巧；另一方面，通过使用演绎定理，一般我们可得到待证定理的演绎证明序列，而通过对演绎证明序列的“仔细观察”，可以获得相应公理证明的“突破口”。这些技巧，可以提高初学者的学习效率，优化数理逻辑的教学，也可以为定理机械化证明的理论和方法提供必要的实践准备，以促进新时代逻辑学教学现代化的实现。

关键词： 经典命题逻辑；公理系统L；消件法；换位法；演绎定理；构造性程序

一、概述

为了反映人类的演绎推理、有效性和真实性等直观概念，逻辑学家构造了经典命题逻辑公理系统L。在经典命题逻辑的学习中，公理系统L中的定理证明是非常重要的内容，也是非常基础的部分。对于初学数理逻辑的学生而言，尤其是对于文科生而言，在公理系统中仅仅根据三条公理模式和推理规则MP证明定理并不是一件容易的事。在目前的大学数理逻辑教科书中，几乎没有专门的关于定理证明的技巧和方法的介绍，只有一些定理证明的例子，缺乏对证明技巧深入而全面的探讨。初学者依靠死记硬背，也能在考试中取得高分，但缺乏举一反三的应变能力，更谈不上实践运用。教学过程中，寻找“证明的技巧”是一个颇为实际的问题。本文将根据公理模式的特性和演绎定理的作用，探讨面向初学者的证明技巧和方法，服务于数理逻辑的教学实践活动，服务于“逻辑现代化”的学术事业，从而促进新时代国民逻辑思维素质的提升。

从业人员包含单位在岗职工，再就业离退休人员，聘用的外籍人员和港澳台人员，领取补贴的兼职人员，直接支付工资的劳务工以及个体从业人员，农村从业人员和非正规从业人员。随着社会的发展，更多新的就业形式不断出现，使得从业人员种类也会不断增加和改变。那么工伤保险只有按各种从业人员情况制定不同的参保方式和费率，实行行业费率与人员费率相结合的参保方式才有可能在未来实现所有劳动者都有工伤保险保驾护航。

经典命题逻辑公理系统L定义及其证明和推演见哈密尔顿的《数理逻辑》^［1］。

目前H社区总人数只有10人，整个社区事业编制的就只有书记一人，其他人员都是参照事业编制，属于劳务派遣。 这导致许多人员必须身兼多职，无法专门负责某一块的工作。

演绎定理：如果Γ∪｝_LB，那么Γ_L（A→B），这里A和B是L的公式，Γ是L的公式集。特别地，如果_LB，那么_L（A→B）。

定理1 （A→A）

说明：该定理的证明在各种数理逻辑的教材中均有详细步骤，难度不大，不再赘述。

定理2 （A→B）→（（B→L）→（A→L））

因此，如果已知多边形Ω的面积为S，就可以这样来操作.由于剪拼后的正方形Ω″的边长一定为此时，我们无需执行步骤Ⅲ和Ⅳ，只需将Ⅱ中的每一个矩形按照Ⅲ″都剪拼转化为边长已知(其中一边长为的矩形，再将这些其中一边长为的矩形拼在一起，就构成了面积为S的正方形.如图4所示：

二、从公理模式中寻找突破口

分析法与综合法是研究定理证明的两种方法。分析法，即首先承认定理成立，然后执果索因，从结论出发寻求定理成立的条件，一步步地逆而推之；综合法是直接从题设出发，根据已知条件由因导果地寻找结论，任意地推导。分析法的优点是针对性强，易于发现解决问题的正确思路，但是其过程稍显杂乱；综合法的优点是逻辑思维清晰，表达严密而简洁，但在实践过程中带有一定的盲目性和偶然性。因此，为了便于证明，我们应当各取所长，将分析法和综合法灵活运用。一方面，从题设出发寻找结论；另一方面，从结论出发进行回溯推理，寻找结论和条件之间的关系。如此，更便于发现证明的技巧。

总而言之，我们应当采用多种方法证明定理。就定理的证明而言，如何在实际的证明活动中，运用“分析法”与“综合法”呢？为了更好地回答这个问题，有必要研究公理模式。那么，接下来，我们将探讨三条公理模式的作用。

（一）三条公理模式的作用

1．L₁在证明中的作用。L₁是形如A→（B→A）的公式，分析L₁的前件A和后件B→A，我们发现后件B→A的后件为A，即原公式A→（B→A）的前件。这启发我们，通过L₁和分离规则MP，可以在证明的过程中，对任一公理、任一已证明的定理或证明序列中已出现过的任一公式Y附加任何所需要的前件X，使之成为形如X→Y的公式。换句话说，L₁在定理证明中的作用主要是附加。

为推进南充市旅游景区整体服务水平，提高旅游景区交通可达性，可采取的措施有：加快基础设施建设提升交通运输服务水平和质量、设计合理旅游路线和优化旅游产品结构、推进区域旅游合作机制建设。

2．L₂在证明中的作用。L₂是形如（A→（B→L））→（（A→B）→（A→L））的公式，如果使用 L ₂和MP规则，会得到如下公式序列：

（1）（A→（B→L））→（（A→B）→（A→L））L 2

（2）（（A→（B→L））→（（A→B）→（A→L）））→（（（A→（B→L））→（A→B））→（（A→（B→L））→（A→L））） L ₂

如果通过简单的观察就能写出任意公式的公理证明，那当然最好。如果确实如此，这也意味着本文讨论的大部分内容毫无必要。但事实上，并不是对任何公式“观察观察”，就能轻易获得公理证明的技巧，如公式（（～A→A）→A）。对于这个公式，它的公理证明并不容易被发现。即使是它的演绎证明，也较为隐蔽。事实上，对于这个公式的演绎证明，有两点可以确定：第一，可以假设（～A→A）；第二，需要用到公理L₃。但是，找到具体的演绎证明序列仍然有难度。为了找到它的演绎证明序列，我们只能将分析法和综合法并用。根据分析法，要得到结论（～A→A）→A，需要运用公理L₃，其中一定会产生公式～A→～（～A→A）；根据综合法，我们无前提可用，而假设（～A→A）似乎也毫无用处。将分析法和综合法结合，观察假设（～A→A）和公式～A→～（～A→A），我们会想到公理L₂。在公理L₂的启发下，根据结论中公式的形态，我们猜测演绎证明序列中一定会有公式～A→（A→～（～A→A））。在此，我们仍然不知道如何书写演绎证明，因为我们暂时无法得出公式～A→（A→～（～A→A））。观察这个公式的前件～A和后件A→～（～A→A），似乎能找到一些证明的线索。因为后件A→～（～A→A）有两个特征：第一，它的前件是A，和原公式～A→（A→～（～A→A））的前件～A构成矛盾命题；第二，它的后件～（～A→A）含有“～”，这似乎在暗示我们运用公理L₃。综合上述两点，我们大胆猜测运用公理L₃，通过公式A→～（～A→A）将得到公式（～～（～A→A）→ ～A）→（A→ ～（～A→A））。新公式（～～（～A→A）→ ～A）→（A→ ～（～A→A））的前件为～～（～A→A）→～A。现在，我们发现曾经被我们搁置一旁的原公式～A→（A→～（～A→A））的前件～A和公式～～（～A→A）→～A似乎有某种联系——这种联系是显然的，即它们组合，可以符合公理L ₁的模式：～A→（～～（～A→A）→～A）。至此，我们反推回去，即可写出完整的演绎证明序列。由它的演绎证明序列，我们不难得出它的公理证明序列。

（3）（（A→（B→L））→（A→B））→（（A→（B→L））→（A→L）） （1）（2）MP

观察 L ₂，很容易发现，L₂的前件为 A→（B→L），后件为（A→B）→（A→L），而 A→（B→L）的前件为A，后件为B→L。公理L ₂在定理证明中的主要作用是拆分，即将形如A→（B→L）的任一公式拆开，使之前件为A，后件为B→L，再组合成A→B和A→L，由此得到（A→B）→（A→L）（在这一过程中，需要将B→L拆分成B和L，再将它们与A组合，得到A→B和A→L）。

红花的生产区域多无污染，加之在红花的生产过程中，多不使用农药，红花生产符合农业持续发展的需求。现在中国许多地区把红花油作为高级烹调油食用，把红花花瓣作为提取天然色素的原料和中药材使用，红花产业化程度不高，规模较小，产品的质量档次及加工转化增值率较低，为了改变这一状况，红花必须进行产业化经营[8]。

例如步骤1，公式为（A→（B→L））→（（A→B）→（A→L）），前件为 A→（B→L），后件为（A→B）→（A→L），对于步骤1运用公理L ₂，可将后件（A→B）→（A→L）拆分成新的前件A→B和新的后件A→L，再组合得到（A→（B→L））→（A→B）和（A→（B→L））→（A→L），于是可得步骤2；对步骤1和步骤2，运用MP规则，可得步骤3。

3．L₃在证明中的作用。L₃是形如（（（～A）→（～B）→（B→A））的公式，从直觉上讲，L₃的主要作用是处理带否定的公式（一般需要MP帮助）。在实际的证明中，它通常与L₁或L₂结合使用，从而证明待证定理，例如对双重否定律的证明。

（二）两个小技巧

上文研究了公理模式的特性，分别讨论了L₁、L₂和L₃在证明中的作用。那么，如果我们将L₁、L₂和L₃联合使用，将获得两个证明的小技巧：消件法和换位法^［2］。鉴于李晟在《命题逻辑公理系统内定理证明的技巧和方法研究》^［2］一文中，对消件法和换位法进行了详细探讨，本文不再赘述。消件法和换位法是非常实用的技巧，这两种技巧完全是只通过三条公理模式和分离规则MP而来的。因此，这两种技巧简便易操作，便于初学者学习与掌握。

三、演绎定理的作用：从推演到公理证明

L中的公理证明是无前提的，在公理证明过程中只允许使用公理模式和推理规则；L中的演绎证明不仅可以使用公理模式和推理规则，还可以运用演绎定理。因为可以运用演绎定理，所以对于任意的形如X→（Y→Z）的待证公式，一般可将它拆分为前件X和后件Y→Z，对于后件Y→Z，又可拆分为前件Y和后件Z。那么，我们就可以在演绎序列中假定X和Y（当然，我们可以只做出一个假定X，但这通常将增加演绎的难度），从而写出完整的演绎证明。与演绎证明相比，公理证明的步骤往往难以寻觅，而且公理证明的步骤通常比演绎多，表达式较长且带有多层括号，不易书写，易出错。那么，有没有一种方法能够较为方便地找到证明的“突破口”，或者说，能不能根据演绎证明序列“破解”该定理的证明步骤？答案是肯定的。

对于这个问题的具体讨论，详见拙文《论命题演算系统L中的演绎与证明》^［3］。该文通过两个例子，详细探讨了演绎定理的作用，总结起来如下：（1）一个假设对应演绎定理的一次运用，假设越多，演绎定理的运用次数越多，演绎证明序列越短，演绎中的公式越简单，括号越少；（2）根据演绎证明序列，一般我们都能获得相应的“小技巧”去书写相应的公理证明；（3）演绎定理的使用将减少在演绎证明序列中对公理模式的使用，因而过多使用演绎定理将造成假设太多，从而不需要使用公理，也就不便于发现公理证明的“突破口”。

为了使拖拉机能经常处于完好的工作状态，机手必须严格认真执行保养规程，精心维护，当天作业结束后应逐一完成下列保养内容。

四、进一步的思考

b．考察公式A₀→L_j，即公式（～A→A）→A，它也一定属于第（5）种情况。也就是说，它是由公式 L_i＝～A→ ～（～A→A）和公式 L_j＝（～A→ ～（～A→A））→（（～A→A）→A）通过分离规则得到的。

“一切自在的客体为主体所掌握都要经过主体已有的心智结构(包括已经内化了的知识、观念及思维模式等)的筛选与转换。”换言之,个体素质形成与发展的水平,在很大程度上就取决于个体将周围的精神文化有选择地逐步内化这个过程。对所参照的人格规范及价值体系的内化,决定着个体的理想自我的形成。教育活动中向学生所提出的外部的、客观的知识、规范,只有通过“内化”才能成为学习主体内部的知识和规范。考察职业院校学生责任文化素质形成的过程,其内化是一个由认知转化、知能转化、知行转化相辅相成的综合统一、反复交错的动态开放系统。

最后，即使通过观察能够猜测大致的证明思路，通常也需要借助于演绎定理来简化猜测，以便发现演绎证明的序列。有了演绎证明序列，我们往往能得到完整的证明——而这，正是演绎定理的核心作用之一。

定理2的详细证明不再赘述，理由同上。本定理一般被称为“假言三段论”，简记为HS，在后面的证明和演绎中可以简化证明。为了进一步简化我们的演绎和证明，在不引起歧义的地方，适当省略最外层的括号，如将（A→（B→A））记为 A→（B→A）。

本文讨论的小技巧有一定的特殊性，如何获得更一般的可以推广的结论，可以参考杜国平的《经典命题逻辑公理系统定理证明算法设计》^［4］一文。该文中，杜国平只考虑假设集Γ为有限集的情况，令Γ（A₁，A₂，…，A_m－1，A_m。假设存在 Γ∪｛A₀｝B的演绎证明。该证明的公式序列为：L₁，L₂，…，L_n－1，L_n＝B。那么，对于ΓA₀→B，通过观察公式A₀→B，可能出现如下情况：

（1）A₀→L_n是公理或者 A₀→L_n∈Γ；

加强工作人员专业素质可以采取以下措施：（1）施工管理单位需要树立正确的管理观念，帮助管理人员确立职业发展目标，并明确其职责，设立激励制度，从而充分地调工作人员工作的积极性，促进工作的顺利进行；（2）需要定期开展施工人员专业素质培训活动，帮助施工人员进行专业培训，提高其施工水平，进而提高整个团队的管理效果。

近年来，随着政府对秸秆还田的大力推进，还田率逐年提高，2016年已达到65.56%，成为最主要的利用方式。然而，较高的还田率必然导致秸秆离田数量减少，从而使收集作为他用的秸秆量减少，限制秸秆综合利用行业发展。近年关于秸秆还田过量、发酵不充分而造成的病虫草害加剧、地下水污染等问题[10-12]的争议日益增多，秸秆还田量和还田技术的合理应用需重新审视[1]。在满足省对秸秆还田率要求的基础上，适当减少秸秆还田量，既是最大限度避免秸秆还田的负面效应，也是保障秸秆综合利用产业持续发展的必要基础。

（2）L_n是公理；

（3）L_n是A₀（L_n不是公理，但是属于“特殊”的公式）；

（4）L_n＝A_k∈Γ，k∈｛1，2，…，m｝；

（5）L_n是由 L_i，L_j（＝L_i→L_n）（i，j∈｛1，2，…，n－1｝经使用分离规则 MP而得到。

对于这5种情况，分别执行相应的程序，具体见杜国平的《经典命题逻辑公理系统定理证明算法设计》一文。对于A₀→B，反复使用上述程序m次之后，就可以得到个A_m→（A_m－1→…→（A₁→（A₀→B））…）的公理证明。

5．（～A→（～～（～A→A）→ ～A））→（～A→（A→ ～（～A→A））） 3、4MP

a．公式 A显然不属于（1）（2）（3）（4）这 4种情况，它一定属于第（5）种情况，即 L_i（～A→A）∈Γ，L_j＝（～A→A）→A，公式A由L_i和L_j通过MP规则得到。

阿里便搀着罗爹爹，三人一路又沿东湖山庄翠柳街黄鹂路往回转。罗爹爹跟阿东说：“你放心去学校。阿里平常没得事，下午喜欢在四强的发廊里坐。我们会招呼他的。他其实蛮乖。你姆妈忙的时候，都是把他交给我们。”

前文对证明技巧的讨论，比较翔实和实用。一般而言，仅仅使用前文所探讨的技巧，足以应付课程教学过程中的绝大多数定理的证明，即使是国内逻辑学的硕士生入学考试和博士生入学考试，其中的定理证明也可以运用上述技巧破解（中山大学和武汉大学的研究生入学考试可能难一点，但多花点时间，也能解决）。关于演绎证明和公理证明，还要补充说明一点，即有些公式的演绎证明序列并不容易获得，如公式（（～A→A）→A）^［1］。对于有些公式，我们通过简单的观察，即可猜测出大致的证明思路。如公式（（A→（B→L）→（B→（A→L））），它的前件为（A→（B→L）），后件为（B→（A→L）），观察表达式（B→（A→L））中的（A→L），它一定是通过 L ₂将（A→（B→L））展开为（（A→B）→（A→L））得到；在新公式（（A→B）→（A→L））中，（A→B）一定和待证公式的后件（B→（A→L））有关——具体地说，和 B→（A→L）中的公式B有关；若公式（A→B）和公式B有关，那么我们自然会想到运用公理L ₁得到B→（A→B），再结合后件B→（A→L），可以猜测证明中一定有公式B→（（A→B）→（A→L））。至此，我们可以联想到L₁的附加作用——在公式（A→B）→（A→L）上附加前件B，从而轻松写出相应的证明。

c．因为公式（～A→ ～（～A→A））→（（～A→A）→A）是公理 L ₃，所以我们重点考察公式 ～A→ ～（～A→A），显然它也一定属于第（5）种情况。也就是说，它是由公式 L_i＝（～A→A）和公式 L _j＝（～A→A）→（～A→～（～A→A））通过分离规则得到。

癌症性格：是指容易导致罹患癌症的个人性格。据有关统计资料显示，癌症病人一般有某些特定的性格特征，具有这些性格的人较其他性格的人，容易得癌症，因此称“癌症性格”。

4．（～A→（（～～（～A→A）→ ～A）→（A→ ～（～A→A））））→（（～A→（～～（～A→A）→ ～A））→（～A→（A→ ～（～A→A）））） L ₂

e．因为公式（～A→（A→ ～（～A→A）））→（（～A→A）→（～A→ ～（～A→A）））属于公理 L ₂，且 A₀＝∅，所以我们重点考察公式～A→（A→～（～A→A）），显然它也一定属于第（5）种情况。可以合理推断，它是由公式 L _i＝～A→（～～（～A→A）→ ～A）和公式 L _j＝（～A→（～～（～A→A）→ ～A））→（～A→（A→ ～（～A→A）））通过分离规则而得的。

f．因为公式 ～A→（～～（～A→A）→ ～A）就是公理 L ₁，且 A₀＝∅，所以我们重点考察公式（～A→（～～（～A→A）→～A））→（～A→（A→ ～（～A→A））），显然它也一定属于第（5）种情况。可以合理推断，它是由公式 L _i＝～A→（（～～（～A→A）→ ～A）→（A→ ～（～A→A）））和公式 L _j＝（～A→（（～～（～A→A）→ ～A）→（A→ ～（～A→A）））→（（～A→（～～（～A→A）→ ～A））→（～A→（A→ ～（～A→A）））通过分离规则得到的。

g．因为公式（～A→（（～～（～A→A）→ ～A）→（A→ ～（～A→A））））→（（～A→（～～（～A→A）→ ～A））→（～A→（A→ ～（～A→A））））属于公理 L ₂，且 A₀＝∅，所以我们重点考察公式 ～A→（～～（～A→A）→ ～A）→（A→ ～（～A→A））），显然它也一定属于第（5）种情况。显然，它是由 L_i＝（～～（～A→A）→ ～A）→（A→～（～A→A））和公式 L_j＝（～～（～A→A）→ ～A）→（A→ ～（～A→A））→（～A→（（～～（～A→A）→ ～A）→（A→～（～A→A））））通过分离规则得到的。而公式（～～（～A→A）→ ～A）→（A→ ～（～A→A））就是公理L ₃，公式（～～（～A→A）→ ～A）→（A→ ～（～A→A））→（～A→（（～～（～A→A）→ ～A）→ ～A）→（A→～（～A→A））））就是公理 L ₁，至此，程序终止，反推回去，整理一下，可得公式（～A→A）→A的公理证明序列：

1．（～～（～A→A）→ ～A）→（A→ ～（～A→A））L 3

2．（～～（～A→A）→ ～A）→（A→ ～（～A→A））→（～A→（（～～（～A→A）→ ～A）→（A→ ～（～A→A））））L 1

3．～A→（（～～（～A→A）→ ～A）→（A→ ～（～A→A））） 1、2MP

d．因为公式（～A→A）∈Γ，且A₀＝∅，所以我们重点考察公式（～A→A）→（～A→ ～（～A→A）），显然它也一定属于第（5）种情况。可以合理推断，它是由公式L _i＝～A→（A→～（～A→A））和公式L_j＝（～A→（A→ ～（～A→A）））→（（～A→A）→（～A→ ～（～A→A）））通过分离规则得到的。

运用这种方法，我们可以得到（～A→A）→A的公理证明。假设集Γ为有限集，令Γ＝｛～A→A｝。假设存在 Γ∪｛A₀｝A的演绎证明，其中 A₀＝∅。该证明的公式序列为：L₁，L₂，…，L_n－1，L_n＝A。那么，对于A₀→A，通过观察公式A₀→A（即公式A），对照上述讨论的5种情况，我们简要讨论它的公理证明构造程序：

6．～A→（～～（～A→A）→ ～A） L ₁

7．～A→（A→ ～（～A→A）） 5、6MP

8．（～A→（A→ ～（～A→A）））→（（～A→A）→（～A→ ～（～A→A））） L ₂

9．（～A→A）→（～A→ ～（～A→A）） 7、8MP

10．（～A→ ～（～A→A））→（（～A→A）→A） L ₃

11．（～A→A）→（（～A→A）→A） 9、10HS

12．（（～A→A）→（（～A→A）→A））→（（（～A→A）→（～A→A））→（（～A→A）→A）） L ₂

双及物构式对动词意义的压制主要表现在：原来动词没有“给予”意义，但进入双及物构式后，构式赋予了动词“给予”意义，比如“steal”表示“索取”义，没有“给予”义，但在下列的例句中，就表现出了“给予”义。

13．（（～A→A）→（～A→A））→（（～A→A）→A） 11、12MP

14．（～A→A）→（～A→A） 定理1

15．（～A→A）→A 13、14MP

通过上述证明过程，我们可以发现，该公式（～A→A）→A的公理证明并不简单。就人工证明而言，需要有相当的观察能力。若是使用机器证明，计算过程虽然谈不上复杂，但也不是“显而易见”那样简单。当然，上述公理证明序列再次验证了杜国平设计的算法具有可行性。

五、余论

本文讨论了经典命题逻辑公理系统L中的几种证明技巧，但并不意味着数理逻辑的教学就会变得容易。事实上，高中偏文科方向的学生因为缺乏足够的数理训练，学习数理逻辑还是非常艰难的，即使在国内一流高校，学得好的也是寥若晨星。因此，根据学生的实际水平，如何选取适当的内容进行教学，如何选取丰富有趣而难度适中的习题，都是数理逻辑教学过程中非常实际的问题，也是新时代实现逻辑学教学现代化必须要考虑的问题。逻辑学教学现代化事关中华文化振兴和整个现代化事业发展的历史进程，我们还需努力^［5］。

语文学习是一个知识积累的过程，只有通过知识的长期积累，学生才能有语感，才能做到厚积薄发。通过课内外的阅读，学生才能积累到大量的语文知识，久而久之，语文素养也能得到有效提升。所谓“熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟”，就是知识积累的写照。

参考文献：

［1］ HAMILTON A G.Logic for Mathematicians［M］.北京：清华大学出版社，2003：32－34.

［2］ 李晟.命题逻辑公理系统内定理证明的技巧和方法研究［D］.秦皇岛：燕山大学，2011.

［3］ 程和祥.论命题演算系统L中的演绎与证明［J］.贵州工程应用技术学院学报，2018（3）：20－25.

［4］ 杜国平.经典命题逻辑公理系统定理证明算法设计［J］.哲学动态，2004（S）：16－17.

［5］ 张建军.关于全面实现“逻辑教学现代化”的几点认识［J］.西南大学学报（社会科学版），2012，38（4）：24－30.

On proving skills in axiomatic system L of classical propositional logic

CHENG Hexiang，LIU Qiang

（Administrative Law School＆Supervision Law School，Southwest University of Political Science and Law，Chongqing 401120，China）

Abstract： In the study of classical propositional logic，the axioms in the axiomatic system（prove that they can only use axioms and reasoning rules.For beginners，they often find it hard to find a breakthrough that can not be found.In fact，we can proceed from two directions：on the one hand，starting from the axiom model，analyzing the characteristics of each axiom model，we can get two tips，i.e.，the elimination method and the transposition method；on the other hand，by using the deduction theorem，generally，we can obtain the sequence of the deductive proofs of the theorem to be proved，and through the“careful observation”of the sequence of deductive proofs，we can obtain the“break-through”that the corresponding axioms prove.These skills can improve the learning efficiency of beginners，optimize the teaching of mathematical logic，and can also provide the necessary practical preparation for the theory and method of theorem mechanization to promote the modernization of logic teaching in the new era.

Key words： classical propositional logic；axiom system L；disulling method；transposition method；deduction theorem；constructive procedures

中图分类号： B81

文献标识码： A

文章编号： 1674－8425（2019）03－0007－06

doi： 10.3969／j.issn.1674－8425（s）.2019.03.002

本文引用格式： 程和祥，刘强.论经典命题逻辑公理系统L中的证明技巧［J］.重庆理工大学学报（社会科学），2019（3）：7－12.

Citation format： CHENG Hexiang，LIUQiang.On proving skills in axiomatic system L of classical propositional logic［J］.Journal of Chongqing University of Technology（Social Science），2019（3）：7－12.

主持人语：

中国逻辑学会会长 邹崇理研究员

《论经典命题逻辑公理系统L中的证明技巧》一文讨论了经典命题逻辑公理系统中内定理的证明方法和技巧，对数理逻辑的教学有重要的意义。公理系统内定理的证明对初学者来说是非常困难的，有些定理的证明类似奥林匹克数学竞赛题，对资深专家来说也不是一件容易的事。因此，探讨证明的规律和技巧其价值显而易见。

《维特根斯坦的“反私人语言论证”及其消解》在简要阐述维特根斯坦“反私人语言论证”的基础上，试图借助格莱斯的理论来反驳维特根斯坦的反私人语言论证。作者的分析论述有一些自己的观点，值得关注。

收稿日期： 2018－12－05

基金项目： 重庆市社会科学规划青年项目“假说检验的网状证据模型研究”（2016QNZX04）；西南政法大学研究生科研创新项目“白居易《百道判》的判词说理研究”（2017XZXS－032）

作者简介： 程和祥，男，逻辑学博士，主要从事数理逻辑和法律逻辑研究；刘强，男，硕士研究生，主要从事法律逻辑研究。

（责任编辑 张佑法）

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